回歸知識本質 形成解題思路
——以一道解析幾何證明題為例

北京市第八十中學 (100102) 孫世林

解析幾何研究的是幾何問題,其研究方法是代數方法,即解析幾何的知識的本質是用代數的方法研究幾何問題;解析幾何題綜合性強，難度大，對能力要求高，在高考中普遍存在解題思路不清、方法選擇不當、計算不過關等現象，下面就談談如何回歸解析幾何知識本質,從多角度探究解析幾問題.

圖1

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設O為原點，P為橢圓上一點(點P不是橢圓的長軸端點)，AP的中點為M．直線OM與直線x=4交于點D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E．求證:∠ODF=∠OEF.

思路一:本題的第一問比較簡單,第二問是證明兩個角相等.要想證明這兩個角相等,我們先看這兩個角是怎樣形成的?P為橢圓上一點，AP的中點M與原點O連接并延長與直線x=4相交，形成了點D，點E是過O且平行于AP的直線與直線x=4相交形成的，這樣才出現了線段DF和EF，從而有了∠ODF與∠OEF,可見這兩個角與點P有緊密的聯系，所以可以從直線AP的方程或點P的坐標入手.

評析：解析幾何綜合問題常在運動變化過程中探究某些不變的性質與規律，對于這類運動變化問題，解題時要從已知出發深入探究產生運動變化的根源，從產生運動變化的根源入手，解法一從直線AP的方程入手，解法二從點P的坐標入手，對比發現解法二運算量小，究其原因是因為本題運動變化的根源是點P，所以解題時要選擇好從直線方程入手還是從點的坐標入手，這樣就可以優化解題過程,減少計算量，自然快捷地解決此類問題．

思路2:本題的第二問是一道證明題,我們可以從結論出發反推成立的條件,若∠ODF和∠OEF相等,則它們的三角函數值就應該相等.我們選擇哪種三角函數?如圖不難發現∠ODF=∠ODH-∠FDH，而∠ODH和∠FDH分別位于Rt△ODH和Rt△FDH中,可見這些角的正切值很容易得到；同理∠OEF=∠OEH-∠FEH也容易求得正切值，這樣我們就可以借助證明兩個角的正切值相等來說明兩個角相等.

評析:解決解析幾何綜合問題時，有時直接求解，常常感覺不知從何入手，我們可以嘗試從結論入手，本解法中我們借助證明兩個角的正切值相等來說明兩個角相等，這就實現了由幾何條件向代數運算的轉化，體現了解析幾何的本質；幾何條件代數化的途徑很多，如本題我們也可以求出三角形的三邊借助余弦定理求角的余弦值，也可以借助向量的數量積求角的余弦值，選擇哪種途徑要依據題目的特點，要有利于接下來的代數運算.

思路3:在解決解析幾何的綜合題時,要善于將問題進行轉化,從多個角度,用不同的方法探究同一個問題，對于本題我們還可以繼續深入探究題目中圖形的幾何特征,從幾何角度尋求突破!本題是證明兩角相等,觀察圖形發現,兩個角分別位于有公共邊OF的兩個三角形中,由此可以聯想到三角形的外接圓,聯想有公共弦的兩個圓,如果這兩個圓的半徑相等,那么其公共弦所對圓周角相等,這樣我們便有了本題的第4種解法:

點評:“解析幾何”研究的是幾何問題，恰當利用平面幾何知識的有關知識解決問題,也是不可或缺的方法，解析幾何問題中蘊含很多幾何條件，這些幾何條件間有什么關系？從這些幾何關系出發又能得到什么樣的新幾何關系？某些幾何關系成立需要有怎樣的幾何條件？隨著這些疑問的探究和解決，解題思路也就自然的生成了.