小跨高比RC開口梁彈性扭轉性能計算方法

陳圣剛 ，謝 群，郭全全，刁 波，葉英華

(1.濟南大學 土木建筑學院，濟南 250022；2.北京航空航天大學 交通科學與工程學院，北京 100191)

基于開口薄壁結構輕盈美觀、強度較高的優點，該類結構廣泛應用于城市軌道交通工程、橋梁工程及航空航天等領域中.忽略剪切變形影響的傳統扭轉計算理論在計算短跨開口構件或者非彈性扭轉性能時總存在較大的偏差，因此剪切變形的影響在分析開口薄壁構件扭轉性能時應引起足夠的重視.

1910年，文獻[1]首先致力于研究開口薄壁構件的約束扭轉性能，并以工字鋼為例進行了計算分析.文獻[2-3]在前人研究成果的基礎上，采用一套新的主扇性坐標系，推導了約束扭轉的變形、作用力表達公式，同時利用扭矩的平衡微分方程，獲得了開口薄壁結構復合扭轉的彈性解，建立最經典的開口薄壁結構扭轉理論，又稱為Vlasov理論.隨后，文獻[4]對Vlasov理論進行了系統總結、拓展和完善.基于Vlasov理論，文獻[5-6]發展了新的扭轉理論并應用于復合材料開口截面扭轉性能研究，文獻[7]探究開口薄壁構件的彎扭復合受力，文獻[8-9]探究曲線開口梁的扭轉性能等.

Vlasov理論在推導過程中采用了中面無剪切變形的假定，其計算結果與試驗結果不可避免地存在偏差.文獻[10-11]表明，在開口薄壁短梁或者閉口截面薄壁梁的約束扭轉中，翹曲扭矩的剪切作用的影響不能忽略.同時，文獻[12-14]提出中面剪切變形對鋼筋混凝土U形薄壁梁的扭轉性能的影響不能忽略，尤其是混凝土開裂后的非線性扭轉階段.近年來，探究剪切變形對開口薄壁結構的扭轉性能的影響已成為一大研究熱點.文獻[15]假定中面的剪應力沿截面長度方向的變化率為定值，通過推導獲得了考慮剪切作用的開口薄壁梁扭轉的近似解.文獻[16]從能量的角度，利用余能駐值原理建立了考慮剪切效應的翹曲彎矩的微分方程和相容條件，針對預設的不同應力場，可得該應力場下解析解.利用翹曲扭轉與梁的二次彎曲理論的相似性，文獻[17-18]將考慮剪切作用的翹曲扭轉類比于梁的二次彎曲理論，直接建立剛度矩陣，但是該過程缺乏嚴謹的理論推導.

目前，考慮中面剪切變形的扭轉計算理論研究仍處于起步階段，尚沒有系統成熟的理論來解決該問題.本文以Vlasov扭轉理論為基礎，通過設定截面中線的剪應變γzs(γzs≠0)，推導了考慮剪切作用的平衡微分方程，并利用初參數法，獲得了變形及作用力關于初始參量的表達式.此外，針對U形薄壁梁的算例，將本文扭轉理論的計算值與經典的Vlasov理論進行了對比.

1 考慮剪切變形的開口構件扭轉計算公式的推導

1.1 中面剪切變形的引入

圖1給出了微元dsdz剪切變形前(實線)、后(虛線)的示意圖.z為開口構件的縱向坐標軸，s為開口構件橫向截面的曲線坐標軸，兩者所對應的坐標分別為w和r.微元的剪切變形大小為

(1)

圖1 微元的剪切變形

Vlasov理論做出兩個基本假設：1)剛周邊；2)中面無剪切變形，即γzs=0.顯然，Vlasov理論只考慮了單元整體扭轉所引起的轉角，見圖2(a)，而忽略了圖2(b)中剪切變形所引起的另一部分扭轉角.

圖2 兩類扭轉角的成因

本文摒棄中面無剪切變形假定，即認為開口構件截面中線的剪切變形作用γzs≠0.假設截面中線剪切變形γzs所引起的扭轉角表示為θc.圖3可知，γzs與θc之間的關系為

(2)

式中ρ(s)為扭轉中心P到點M處切線的距離.

在純扭矩作用下，繞扭轉中心P點的總扭轉角θ(z)所對應的沿s方向的切線位移r(s,z)可表達為

r(s,z)=ρ(s)θ(z).

(3)

將式(2)、(3)代入式(1)可得曲線位移w的偏分：

(4)

圖3 中面剪應變形所引起的扭轉角

1.2 翹曲扭轉應力計算

假設構件的彈性模量為E，則沿構件縱向的翹曲正應力表達式為

σM=E[w′0-θ″w(z)Ω(s)].

(5)

扇性坐標轉換為主扇性坐標，式(5)轉換為

σM=-Eθ″w(z)ω(s),

(6)

式中ω(s)為截面的主扇性面積坐標.

由微元dsdz在z軸方向的應力平衡條件

(7)

式中τM為翹曲剪應力，t為截面厚度.

將式(6)代入式(7)可得翹曲剪應力τM的表達式為

τM=Eθ?w(z)Sω(s)/t,

(8)

1.3 翹曲扭矩及翹曲彎矩

由翹曲扭矩的定義可知

(9)

將式(8)代入式(9)可得翹曲扭矩的另一表達方式為

TM=-EIωθ?w,

(10)

聯立式(8)和式(10)建立TM與τM的關系式為

(11)

同理，翹曲彎矩的計算公式為

(12)

翹曲彎矩與翹曲正應力的關系為

(13)

2 相容條件

本文涉及3個扭轉角，即總扭轉角θ、剪切變形引起的扭轉角θc以及整體扭轉引起的扭轉角θw，三者存在關系：

θ′=θ′w+θ′c.

(14)

采用虛功原理，由外虛功等于內虛功可知

(15)

式(15)等號兩邊同時對z求導得

(16)

將式(10)代入式(16)建立θc與θw的關系式：

(17)

將式(17)代入式(14)可建立θ與θw的關系式：

(18)

3 扭轉平衡微分方程的建立及求解

3.1 扭矩平衡微分方程的建立

引入式(16)，扭轉角協調方程式(14)可轉化為

(19)

由外扭矩T由翹曲扭矩TM和自由扭矩Tc共同抵抗可知

T=TM+Tc.

(20)

等號兩邊同時對z求導，式(20)轉換為

T′M=T′-T′c.

(21)

由圣維南原理可知自由扭矩的計算公式為

Tc=(GK)θ′,

(22)

式中GK為自由扭轉剛度.

聯立式(21)、(22)和式(19)建立關系式：

(23)

式中：T′(z)為作用外荷載的一階導數，對于集中扭矩作用T′(z)=0，對于均布扭矩q作用，T′(z)=-q.

等號兩邊同時對z求導，且考慮到TM=B′M，式(23)可進一步轉化為

(24)

對式(24)再次求導，同時引入式(21)、(22)，可得通過θ表達的平衡微分方程式：

(25)

為方便扭矩平衡微分方程的求解，式(25)可轉換為以θw為變量的平衡微分方程：

(26)

3.2 扭矩平衡微分方程的求解

四階平衡微分方程(26)采用初參數法求解.方程的解包括兩部分：通解和特解.本文就通解的計算過程詳述如下：

通解所對應的齊次方程為

(27)

方程(27)的解可采用雙曲函數表示為

θw=C1+C2z+C3sinh(χωz)+C4cosh(χωz),

(28)

式中C1、C2、C3、C4為常系數.

聯立式(10)、(12)、(18)、(20)和式(28)，可得轉角及各作用力：

(29)

該構件的初始參數，即邊界約束截面處的初始力學狀態參數θ0、θw0、θ′w0、BM0和T0可通過構件的邊界條件獲得，不同邊界條件所對應的參數值見表 1.將初始參數代入式(29)，常系數可由式(30)算得.

(30)

將式(30)代入式(29)可知，四階平衡微分方程的通解為：

(31)

表1 不同邊界條件所對應的初始參數

4 算例應用

針對文獻[12, 14]中U型試驗梁進行算例分析.該U型梁邊界條件為兩端固結，跨中截面承受集中扭矩T=10 kN·m，截面幾何尺寸見圖4，混凝土的彈性模量為3.607×104MPa.梁跨度分別取為：1)l1=6.65 m；2)l2=3.325 m.分別采用本文計算方法，Vlasov理論和有限元分析計算.其中，有限元分析采用 ABAQUS軟件建模，混凝土采用C3D8R實體單元，單元長度0.01 m.限制端部截面的6個自由度以模擬完全固支的邊界條件.梁跨中施加大小相等方向相反的集中力以模擬跨中扭矩的作用.有限元模型見圖5.

將本文計算方法、Vlasov理論及有限元模擬3種方法的計算結果匯總，從U型梁的扭轉角及內力兩個方面進行對比分析.

4.1 剪切變形對扭轉角的影響

圖6給為不同跨度(6.65 m和3.325 m)的U型梁沿梁長方向(Z向)各截面的扭轉角變化曲線，包括本文計算方法、Vlasov理論、有限元模擬和試驗結果得到的曲線.由圖6(a)可知，6.65 m跨U型梁不同截面扭轉角的試驗值和有限元模擬結果擬合良好.由表 2可知，3個不同截面的扭轉角的有限元模擬結果與試驗結果的誤差分別為0%、1.75%和1.32%，平均誤差為1.02%，說明有限元模擬結果可以可靠有效的預測U型梁的扭轉性能，因此，有限元軟件多參數分析結果具有科學性和可靠性.

圖4 U型梁截面尺寸(m)

圖5 U型梁的有限元模型

表2 不同截面扭轉角的試驗結果與有限元模擬結果

圖6 集中扭矩作用下沿梁長方向扭轉角變化曲線

將本文計算方法及Vlasov理論所得到的跨中截面扭轉角匯總于表 3.由圖6(a)可知， 對于跨度較大(l/h=14.3)的U型梁扭轉角，本文計算方法的計算結果與ABAQUS模擬結果吻合良好，最大扭轉角的相對誤差為0.185%；Vlasov理論的計算結果比試驗值略小，但是誤差仍然在可接受的范圍內(相對誤差為7.056%)，且Vlasov理論的計算結果與θw基本一致.以上現象說明：1)對于跨度較大的U型梁，本文計算方法、Vlasov理論的計算結果與試驗結果差別不大;2)中面剪切變形所引起的扭轉角θc很小(θc/θ=1.04/10.75=9.67%)，可忽略其影響，可用θw近似估計總扭轉角θ，兩種計算理論都可適用.

由圖6(b)可知，對于跨度較小(l/h=7.15)的U型梁扭轉角，本文計算方法計算結果與ABAQUS模擬結果吻合良好，最大扭轉角相對誤差為7.889%，而此時Vlasov理論計算結果與ABAQUS模擬結果偏差很大，最大扭轉角相對誤差達到27.85%.同樣的，Vlasov理論計算結果與θw基本一致.以上現象說明，當U型梁跨度減小時，中面剪切變形所引起的扭轉角占總扭轉角的比例不斷增大(θc/θ=0.594/2.03=29.26%)，此時如果忽略該影響，而采用Vlasov理論計算只考慮扭轉角的部分值θw，極大低估了扭轉角數值，使構件的使用及承載功能存在巨大的安全隱患.本文計算方法在θw基礎上，考慮剪切變形影響所引起的另一部分扭轉角θc，能夠很好的預測短跨U型梁的扭轉性能.

表3 跨中截面扭轉角計算結果對比

圖7 跨中截面扭轉角增長率隨跨高比的變化曲線

4.2 剪切變形對內力分布的影響

分別采用本文計算方法和Vlasov理論對本例中U型梁的內力作用(翹曲彎矩和翹曲扭矩作用)進行了計算和對比分析，計算結果見圖8.同時，特征截面，即跨中截面和l/4截面的翹曲彎矩、翹曲扭矩和自由扭矩的計算值匯總于表4.

由圖8(a)可知，不論是U型長梁(l=6.65 m)還是U型短梁(l=3.325 m)，兩種理論的計算結果曲線幾乎完全重合；表4給出的兩種理論對跨度為6.65、3.325 和2 m的U型梁的翹曲彎矩的計算值差異率分別為-1.83%、-2.08%和-2.08%.以上現象說明，不管是長跨還是短跨的U型梁，剪切變形對翹曲彎矩值的計算影響較小，本文提出的計算方法和Vlasov理論都可應用于翹曲彎矩的計算.

同樣地，本文計算方法和Vlasov理論應用于長跨和短跨U型梁所獲得的翹曲扭矩的計算曲線(見圖8(b))基本一致，且兩種理論對翹曲扭矩的計算值的最大差異率為2.18%，平均差異率為2.04%.說明剪切變形對翹曲扭矩的計算影響很小，可忽略不計，因此，本文提出的計算方法和Vlasov理論都可應用于翹曲扭矩的計算.

圖8 兩種理論對翹曲彎矩和翹曲扭矩的計算曲線

表4 跨中及l/4截面翹曲彎矩及翹曲扭矩的計算值對比

5 結 論

本文考慮了中面剪切變形的影響，推導并提出適用于開口薄壁彈性構件的扭轉性能計算方法，并針對一根U型薄壁梁的扭轉試驗，將本文計算方法的結果、Vlasov理論計算結果、試驗及有限元模擬結果進行對比分析，得到如下結論：

1)本文提出的考慮剪切變形影響的扭轉計算方法，與試驗及有限元模擬結果吻合良好，不僅適用于大跨高比的開口薄壁構件的扭轉計算(誤差為1.115%)，還適用于小跨高比的開口薄壁結構的扭轉分析(誤差為7.889%).

2)Vlasov理論未考慮中面剪切變形的影響，當用于計算大跨高比的開口薄壁構件(本文算例要求l/h>10)的扭轉性能時準確度尚可；但當應用于跨高比較小的構件(本文算例中U型梁l/h<6)時，嚴重低估截面的扭轉角，無法準確計算構件的扭轉效應.

3)剪切變形能夠影響開口構件的扭轉變形性能，影響程度的大小取決于構件的跨高比、邊界條件；考慮剪切變形對開口構件的翹曲彎矩和翹曲扭矩分布影響較小，翹曲彎矩和翹曲扭矩計算值的平均差異率分別為1.997%和2.044%；但是，對自由扭矩分布影響較大，隨跨高比不斷減小(l/h=13.3～4)，自由扭矩計算值差異率從4.61%增大到71.53%.

4)本文計算方法克服了Vlasov經典理論中中面無剪切變形假定的局限，能更準確地預測小跨高比U型梁的扭轉變形，更好地滿足工程設計需求.