構造函數在高中數學解題中的應用

周曉琳

(江蘇省南通市天星湖中學 226009)

一、概述構造函數法

類似于構造方程法，高中數學教學中函數知識與方程間聯系緊密，合理應用構造函數法，利于培養并提高學生數學解題能力，特別是在幾何與代數類型數學題干信息求解中有明顯的適用性.數學題目實際求解過程中，將數學問題轉換為形式簡單的函數，以此簡化求解過程，準確解答題目，為學生思維創造性發展創造條件.

數學解題過程中，要注意所構造的函數必須要滿足以下內容：(1)函數與原題聯系緊密.(2)創建的函數能夠確保便于應用常規解題方法解答題目.(3)值域、單調性、奇偶性及周期性等方面，函數要符合題干要求，提高函數準確性.(4)根據題干條件構造函數.函數構造過程中，首先要全面分析命題條件、結論及特點，在提取其中邏輯與構想基礎上，參考題目條件重新組合，一次獲得滿足解題要求的構造函數；此外還要觀察并分析函數，聯系分析條件與結論，最終獲得正確結論.該解題方法邏輯性強，且解題方便，適用范圍大，已成為高中數學解題中一種比較常見的解題方法.

二、高中數學解題中構造函數法的具體應用

1.利用構造函數比較式子大小

比如比較an與bn兩個式子的大小.分析：通過觀察這兩個數可以看出，其有相同的指數但底數不同.因而，實際解題過程中，可通過構造冪函數y=xn，利用該函數單調性判斷兩個算式的大小.(1)如果n>0，在(-∞，+∞)區間范圍內函數y=xn為單調遞增，所以an與bn的大小取決于a與b的大小，即假若a>b，那么an>bn，反之則anb>0，那么anbn.

通過構造函數對比幾個數的大小，是函數單調性應用的重要體現，此種情況下實際學習中，必須要了解構造函數的單調性，通過單調性對比函數大小.一般，構造函數是日常比較常用的初等函數或其復合形式，因此利用構造函數對比算式大小，了解一次、二次、指數、對數、冪函數及三角函數圖象與單調性是非常重要的.

2.構造二次函數解答數學題

數學解題中，比如已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a的取值范圍.

解答b+c=1-a，b2+c2=1-a2，那么構造函f(x)=2x2-2(b+c)x+b2+c2=(x-b)2+(x-c)2≥0是恒成立的，因此Δ=4(b+c)2-8(b2+c2)≤0，換言之4(1-a)2-8(1-a2)≤0，由此求出-1/3≤a≤1.

該題目解答過程中，將b+c與b2+c2視為一個整體，以此為二次函數f(x)=2x2-2(b+c)x+b2+c2的構造創造了條件，最后借助二次函數性質獲求出最終結果.

3.構造函數應用于分解因式

比如分解因式a3+b3+c3-3abc.

該題目屬于三元三次多項式，結構特殊且根與系數聯系緊密，因而實際解題過程中，基于a、b、c三個單位構建三根三次多項式函數，利用函數求解問題.具體解題過程主要為：假設函數f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3+yx2+zx+r，得出a+b+c=-y，ab+ac+bc=z,abc=-r，獲得以下三個公式：f(x)=a3+ya2+za+r=0，f(x)=b3+yb2+zb+r=0與f(x)=c3+yc2+zc+r=0.結合這三個等式，推導出(a3+b3+c3)+y(a2+b2+c2)+z(a+b+c)+3r=0，并求出最終結果，即a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc).

4.構造一次函數解答數學題

解決以下問題時，可通過構造一次函數有效提高解題效率.假設不等式為2x-1>m(x2-1)，其滿足|m|≤2的所有值條件下不等式恒成立，求未知數x取值范圍.解答該類型題目是，首先可將不等式轉換為(x2-1)m-(2x-1)<0，在此基礎上構造一次函數即f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(|m|≤2).然后結合該一次函數圖象基本性質得到f(-2)<0，最后代入未知數x求出其最終取值范圍.

5.構造可導函數

此過程中，采用換元法簡化原不等式對數的真數部分，并構造兩個可導函數，以此證明原不等式成立，其在不等式證明中應用比較廣.

綜上所述，隨著新課標改革的深入推進，高中數學學科教學中，函數教學是非常重要的內容，應用構造函數法已成為解決數學問題的重要應用思想，對解題效率與學生解題能力的提高具有非常重要的意義.因此，高中學習階段，老師要引導學生深入了解構造函數法解題思想應用的作用，了解函數性質及形式，靈活應用該方法解決實際學習生活中遇到的問題，從根本上提高自身數學解題能力，獲得更加準確地結果.