借用真題“同構(gòu)” 破解一道壓軸題

杜海洋

(四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗中學(xué)校 610000)

一、引題呈現(xiàn)

成都七中2019-2020學(xué)年上期高2022屆半期考試壓軸題22題：

設(shè)函數(shù)fk=2x+(k-1)2-x(x∈R，k∈Z).

(2)若2m+f1(m)=5，f1(2n)+2log2(n-1)=5，求m+n的值.

解析(1)略.

二、真題再現(xiàn)

(2009·遼寧)若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2(x-1)=5，x1+x2=( ).

分析本題涉及的是兩個非整式方程，其中一個是指數(shù)超越方程，一個是對數(shù)超越方程，這兩種方程均不在高考考綱范圍之內(nèi)，因此此題中不用分別解出兩個方程，分別求出x1，x2，再求x1+x2．尤其高一學(xué)生才學(xué)完指對函數(shù)，又屬于第一期半期考試題，所以解決本題的突破口應(yīng)該是從指對本身隱含的關(guān)系去入手破解.我們知道人教A版必修一指對數(shù)這部分內(nèi)容重點突出指對互化，單調(diào)性，尤其圖象的運用更明顯，隨后提及同底的指對函數(shù)定名互為反函數(shù).并在教材76頁探究與發(fā)現(xiàn)研究互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系.接下來筆者就利用學(xué)生最近發(fā)展區(qū)知識進(jìn)行探究.

探究一、轉(zhuǎn)化化歸為同種函數(shù)

由于兩方程不能求解，但又要求出兩根的和，唯一的想法只有想到含兩根的式子均是某一方程的兩根(容易聯(lián)想到一元二次方程的兩根之和)，這樣才能夠建立兩者關(guān)系，所以只有將兩方程在形式上進(jìn)行化歸統(tǒng)一.

方法一巧妙配湊，轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，并利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

纏尸布碎成了絮，紛紛揚揚地飄落，吹散了一地。尸體重新落回臺面，臉面朝下，后背朝上，已一絲不掛。天葬刀并不稍停，鋒利的刀刃在筋骨與關(guān)節(jié)間如龍游走。猩紅的血順著刀身上纖細(xì)的云紋倒流而上，所經(jīng)之處，刀身閃現(xiàn)起熒熒紅光。血水繼續(xù)蜿蜒向上，直流入刀柄前端墨玉骷髏的口中。

探究二、代數(shù)換元，結(jié)合配湊合理轉(zhuǎn)化

分析尤其一些代數(shù)式求值問題，可將代數(shù)式整體用新元表示，這樣一來多建立了方程，與題中的方程聯(lián)合構(gòu)成方程組，進(jìn)而相互可進(jìn)行代換轉(zhuǎn)化.

方法三令x1+x2=t，則x1=t-x2，代入2x1+2x1=5得2t-x2=5-2(t-x2)=2x2-2t+5.

方法四令x1+x2=t，則x2=t-x1，代入2x2+2log2(x2-1)=5進(jìn)行變形.下同解法三.請讀者自推.

方法五配系數(shù)換元

分析先由題中已知分別將x1、x2所滿足的關(guān)系表達(dá)為2x1=2log2(5-2x1)…系數(shù)配為2是為了與下式中的2x2對應(yīng)2x2+2log2(x2-1)=5.觀察兩個式子的特點，發(fā)現(xiàn)要將真數(shù)部分消掉求出x1+x2，只須將5-2x1化為2(t-1)的形式，則2x1=7-2t，t=x2.

由題意2x1+2x1=5①,2x2+2log2(x2-1)=5②.

所以2x1=5-2x1，x1=log2(5-2x1)即2x1=2log2(5-2x1).令2x1=7-2t，代入上式得7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1).

同理，本法也可將對數(shù)結(jié)構(gòu)向指數(shù)轉(zhuǎn)化.(請讀者自己證明)

探究三、數(shù)形結(jié)合(利用一對反函數(shù)圖象)

分析試題中求x1+x2，即會聯(lián)想到中點坐標(biāo)公式，又由題意指對涉及到同底，聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)y=2x與對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象關(guān)于y=x對稱這一特性，利用該特性可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決．

從以上幾種解法可以看出，這是一道指對互化的經(jīng)典試題.為了追求在結(jié)構(gòu)上統(tǒng)一，利用轉(zhuǎn)化思想實行了互化.其中運用構(gòu)造方程和函數(shù)思想，尤其是探究一體現(xiàn)了函數(shù)的單調(diào)性的運用.方法六將同底的指對函數(shù)圖象關(guān)系運用達(dá)到極致，數(shù)形結(jié)合顯直觀.

那么以上兩題能在教材找到相應(yīng)的題根嗎？回答是肯定的.此上兩題其實就是來自教材習(xí)題變式.

三、試題探源

(蘇教版必修一課本習(xí)題)已知x+lgx=10,y+10y=10，求x+y的值.

(請大家借助教材習(xí)題及高考試題可以進(jìn)行不同的變式，期待更多精彩類題呈現(xiàn))

其實我們知道很多新問題是在原問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了某種程度的改頭換面，或者進(jìn)行了適當(dāng)?shù)淖兪交虬b，只要能看透變式與包裝背后的本質(zhì)的東西，那么問題無論如何變幻莫測，解決起來我們總能游刃有余和得心應(yīng)手.我們深知隨著高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，以后涉及知識點多，范圍廣，每次題目不斷變化更新的同時考查方式也是多種多樣，但數(shù)學(xué)考查知識點是相對固定的.因此在平時學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)備考時注重回歸教材，以教材為根據(jù)地，認(rèn)真研究例題、習(xí)題，進(jìn)行一題多變，一題多解.在強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維、方法的訓(xùn)練的同時歸類和比較方法的優(yōu)劣，以及找到共性，提高自己的學(xué)習(xí)能力，刷高質(zhì)量題，進(jìn)一步在學(xué)習(xí)備考中取得事半功倍的效果.