圓弧齒線圓柱齒輪接觸應力預測模型研究*

童 欽，張 祺，梁 君，侯 力

(1.綿陽師范學院 機電工程學院，四川 綿陽 621000;2.攀枝花學院 智能制造學院，四川 攀枝花 617000;3.四川大學 機械工程學院，四川 成都 610065)

0 引 言

齒輪被廣泛應用于工業的各個行業[1]，其中，漸開線圓柱齒輪是應用最廣泛的圓柱齒輪。但漸開線圓柱齒輪中，直齒圓柱齒輪的承載力有限；而斜齒輪則存在軸向力，人字齒輪的加工工藝又過于復雜，故漸開線齒輪都存在種種的不足[2]。

為解決漸開線齒輪的不足，日本學者長谷川吉三郎等人[3]提出了一種新型圓弧齒線齒輪傳動裝置。這種新型的齒輪傳動具有嚙合性能好、重合度高、無軸向力、傳動平穩等優點。針對這種齒輪，學者們也進行了深入的研究。Tseng等人[4-7]先后對其數學模型、根切條件、接觸等方面進行了研究；曹磊等人[8]對圓弧齒線齒輪的精確三維建模方式進行了研究；馬登秋等人[9]研究了其接觸分布；陳帥等人[10]研究了其動態接觸；王虹等人[11-13]針對圓弧齒線齒輪的接觸性能進行了研究。

為研究圓弧齒線齒輪設計參數對其接觸應力的影響，筆者提出利用Kriging代理模型來建立圓弧齒線齒輪的設計參數(齒寬、模數、壓力角、齒線半徑)與圓弧齒輪接觸應力的數學模型；為提高Kriging模型的建模精度，筆者采用鯨魚優化算法(WOA)對傳統Kriging模型變異函數的參數進行優化。

1 圓弧齒輪數學模型

根據其成形原理[14-16]，圓弧齒線圓柱齒輪的成形原理坐標系如圖1所示。

圖1 圓弧齒線圓柱齒輪成形原理坐標系R—加工齒坯的分度圓半徑；RT—加工刀具的刀盤半徑；Rn—加工刀具分度圓切線方向上內刃半徑；Rw—加工刀具分度圓切線方向上外刃半徑，Rw=RT+πm/4；m—齒輪模數；ω—加工刀具的刀盤旋轉角速度；VT—加工刀具的刀盤移動速度

圖1中，S(O—XYZ)為靜止坐標系，S1(O1—X1Y1Z1)為齒坯固化坐標，ST(OT—XTYTZT)為刀具坐標；它以VT=R×ω的速度相對于S(O—XYZ)坐標移動。

在ST(OT—XTYTZT)坐標系統中，刀具切制過程中所形成的曲面參數方程的矢量表達式為：

(1)

式中：a—加工刀具切削刃的壓力角；θ—齒坯當前包絡點到中間截面的轉角；q—刀盤坐標系中刀具切削面上的點沿切削錐面母線方向距離包絡參考點的長度。

將ST(OT—XTYTZT)變換到S(O—XYZ)，其坐標轉換關系為：

(2)

將S(O—XYZ)變換到S1(O1—X1Y1Z1)，其坐標轉換關系為：

(3)

如果將ST(OT—XTYTZT)轉換到S(O—XYZ)，則坐標變換矩陣為：T1T=T10T0T。

1.1 刀具曲面的單位法向矢量

刀具曲面方程為：

(4)

(5)

1.2 刀具和齒輪在嚙合點的相對速度

由于：

(6)

則刀具與齒輪在嚙合點處的相對速度為：

(7)

1.3 嚙合函數Г

基于嚙合原理，嚙合函數表示如下：

(8)

因為ω1≠0，由上式可以得出:

(9)

1.4 共軛曲面

將式(9)代入式(1)中，則刀具與被加工齒輪接觸線方程為：

(10)

將ST(OT—XTYTZT)中的坐標轉換到S1(O1—X1Y1Z1)后，可以獲得所切制齒輪的齒面方程為：

(11)

1.5 瞬時接觸線

嚙合函數Г=Г(q,θ,φ)是參數變量q,θ,φ的函數。因為φ1=ω1t，在此將φ1看作是某一瞬時代入Г的一個函數，從而可得到此刻齒條刀具和齒坯的瞬時接觸線的函數表達式。

如果把任意時刻的φ1值代入式(7)，就能得到整個表面的接觸線方程為：

(12)

1.6 齒廓方程

在齒輪軸向中間截面，由其展成坐標系可知：b=0，那么θ也為零。將這兩個值代入式(11)中，得到中間截面的齒廓方程為：

(13)

根據式(13)可以看出，該齒輪軸向對稱面的齒廓形狀為漸開線。

同理，在軸向非對稱面上，令z1=b，根據式(11)中Z1和q的表達式，可以得到：

φ={[-b/tanθ+(RT±πm/4)cosθ]/sin2α-
(RT+πm/4)cosθ-RT}/R

(14)

從而可得到非中間截面的齒廓的表達式為：

(15)

2 基于有限元的圓弧齒線圓柱齒輪接觸應力分析

基于有限元的圓弧齒線圓柱齒輪接觸應力分析步驟如下：

(1)模型材料屬性定義

在ABAQUS中建立材料信息，如彈性模量E=2.08 MPa，泊松比=0.298，材料17CrNiMo6。

(2)建立分析步和相互作用

建立分析步，主要包括：定義分析類型(static)、定義分析增量步、確定迭代方法，創建場變量與歷史變量，并確定輸出參數，開啟非線性，定義相互作用為接觸，設置圓弧齒線齒輪副有限元分析的接觸類型為“無摩擦”；主動與從動以各自旋轉中心建立MPC(multi-point constrain)約束。

(3)施加約束和力矩

在主動輪上施加扭矩，其大小為6.08×104N·mm；同時，對主動輪添加MPC約束，并將其旋轉軸方向設置為自由，其他旋轉和平移設置為固定。對于從動輪而言，MPC固定約束,全向固定。

(4)網格劃分

筆者采用掃掠方式對齒輪副進行網格畫分。網格類型采用C3D8I，齒輪整體的單元大小設置為2 mm,接觸區域進行局部細分，大小設置為0.02 mm。如果不滿足要求，則要繼續調整參數。在后續計算中，可以進一步細化網格，提高劃分質量，并通過多次試算對比分析結果；若計算結果變化不大，則該網格可作為最終分析網格。

分析過程中，應對接觸區域進行局部細分，每對齒輪的網格數量大概在1.2×106個左右。

齒輪網格劃分結果如圖2所示。

圖2 齒輪網格劃分結果

(5)求解與可視化

考慮每對齒輪的網格數量大概在1.2×106個左右，故求解時采用并行計算。求解后的主動輪和從動輪的應力云圖如圖3所示。

由圖3的仿真分析結果可以看出：接觸區域為靠近分度圓附近；主動輪的接觸區域該在分度圓以上，且最大應力值為503.3 MPa；從動輪的接觸區域該在分度圓以下，且最大應力值為501 MPa，故接觸應力的最大值為503.3 MPa；且主動輪與從動輪之間的差值為2.3 MPa，僅為接觸應力最大值的0.457 0%，幾乎一致，可以忽略。

同樣，通過圖3可以看出，在載荷的作用下，筆者所研究的齒輪其接觸區域為橢圓，正確地印證了點接觸齒輪在載荷的作用下接觸區域為橢圓的事實。

圖3 主動輪和從動輪的應力云圖

3 基于代理模型的齒線圓柱接觸應力預測模型

3.1 試驗設計與響應結果

常用的試驗設計方法主要有均勻試驗設計、正交試驗設計、拉丁方試驗設計等方法，本文研究了齒寬、模數、壓力角、齒線半徑與接觸力之間的關系，利用回歸正交試驗法原理設計仿真方案選擇了4個因素3個水平,齒輪設計因素水平表如表1所示。

表1 齒輪設計因素水平

本文采用正交試驗進行了樣本抽樣，然后利用有限元方法得到了不同樣本數據下的齒輪的接應力，根據正交表可知，抽樣的樣本為9個樣本,L9(34)正交試驗圓弧齒輪接觸應力仿真結果如表2所示。

表2 L9(34)正交試驗圓弧齒輪接觸應力仿真結果

3.2 改進Kriging模型

3.2.1 Kriging代理模型

在解決非線性程度較高的問題時，Kriging(克里金)模型可較容易地獲得理想的擬合結果，其插值結果定義為已知樣本函數響應值的線性加權，即：

(16)

式中：fj(x)—函數，一般為多項式；βj—相對應的系數；Z(x)—靜態隨機過程，其滿足均值為0，方差為σ2。

且對于設計空間內，不同兩點處所對應的隨機變量之間的協方差為：

Cov[Z(xi),Z(xj)]=σ2R(xi,xj)

(17)

(18)

式中：R(xi,xj)—相關性函數，它表示不同位置處隨機變量之間的相關性，常用的相關性函數為高斯型函數。

式(18)中，θ為Kriging模型的變差函數的參數，其大小通過極大似然估計法求解優化問題的方式來確定，即：

(19)

為保證Kriging預測值與真實函數值之間的均方根誤差(RMSE)最小，Kriging模型的近似表達式為：

(20)

3.2.2 鯨魚算法

鯨魚算法的原理來自于座頭鯨的“泡泡網”覓食行為，基于這一特殊捕食策略的數學表達式如下：

D=|C·X*(t)-X(t)|

(21)

X(t+1)=X*(t)-A·D

(22)

式中：t—當前迭代次數；X(t)—當前一座頭鯨的坐標向量；X(t+1)—下一次迭代后的目標坐標向量；X*(t)—到目前得到的最佳位置向量，它將隨時間不斷更新；D—當前這條座頭鯨和最佳位置之間的距離。

上式(21～22)中，A和C是系數，其表達式分別表示為:

A=2a·r-a

(23)

C=2r

(24)

式中：a—在值域[0,2]上并隨迭代時間線性遞減的參數；r—區間[0,1]內的隨機向量。

當|A|>1時，對應鯨魚群的游走覓食行為。利用種群的隨機個體坐標Xrand來定位導航尋找食物,其數學表達式如下：

X(t+1)=Xrand(t)-A·D

(25)

當|A|<1時，對應鯨魚群的包圍捕食和攻擊獵物這兩種行為，其數學模型描述如下：

X(t+1)=X*(t)-D·ebl·cos(2πl)

(26)

式中：b—與螺旋形狀的常數；l—區間[-1,1]上的隨機數。

由于鯨魚的收縮包圍機制和螺旋更新位置是一種同步行為，筆者在數學上選取概率相同方式來對其進行位置更新，于是可以得到以下表達式：

(27)

根據基于Kriging和WOA算法，基于WOA算法的Kriging代理模型改進流程如圖4所示。

圖4 基于WOA算法的Kriging代理模型改進流程

4 數值仿真

筆者利用Matlab數字仿真平臺，分別利用Kriging和基于WOA算法改進的Kriging算法，建立了圓弧齒輪接觸應力的預測模型。

優化前后，相關系數(R2)均方根誤差(RMSE)以及相對最大絕對誤差(RMAE)評價指標情況如表3所示。

表3 優化前后評價指標情況

從表3中可以看出：

(1)相關系數(R2)從0.992 2提高到了0.997 4，提高了0.52%，且更加接近于1；優化后的Kriging模型全局近似能力更好(RMSE用于表示估計值與真實值之間減值大小)；

(2)優化后，RMSE從2.856 9降低到1.654 0，降低了42.11%，則說明優化后的Kriging模型能夠更好地對樣本進行估計；

(3)優化后，RMAE從0.132 2降低到0.075 4，降低了42.97%，且更加接近于0，則說明其優化后減少了局部誤差。

綜合來看，采用WOA算法對Kriging算法進行改進，提升了Kriging算法的擬合能力和精度。

利用Kriging和基于WOA算法改進的Kriging算法，筆者分別建立了圓弧齒輪接觸應力預測模型的測試集殘差圖，分別如圖5、圖6所示。

圖5 基于Kriging的圓弧齒輪接觸應力預測模型殘差圖

圖6 基于WOA-Kriging的圓弧齒輪接觸應力預測模型殘差圖

從圖5、圖6中可以看出：

(1)基于傳統Kriging算法和基于WOA算法改進的Kriging算法均能很好地建立圓弧齒輪接觸應力預測模型，精度都在可使用的范圍之內；

(2)Kriging的誤差范圍在[-2,4]，而基于WOA算法改進的Kriging算法誤差范圍在[0,3]，由此可見，采用改進的Kriging算法，其精度得到了明顯的提高。

5 結束語

為研究圓弧齒線圓柱齒輪設計參數對其接觸應力的影響，筆者利用Kriging代理模型建立了齒輪的齒寬、模數、壓力角、齒線半徑與圓弧齒輪接觸應力的數學模型，同時，提出了一種基于鯨魚優化算法(WOA)的Kriging模型建模方法，通過鯨魚優化算優化傳統Kriging模型變異函數的參數，提高Kriging模型的建模精度。

研究所得到的結論如下：

(1)基于WOA算法改進的Kriging算法，相關系數(R2)從0.992 2提高到了0.997 4，MSE從2.856 9降低到1.654 0，RMAE從0.132 2降低到0.075 4，改進后的算法其相關系數(R2),均方根誤差(RMSE)以及相對最大絕對誤差(RMAE)均得到了不同程度的改良，提高了傳統Kriging算法的全局近似能力，減少了局部誤差，提升了擬合精度；

(2)基于傳統的Kriging算法和基于WOA算法改進的Kriging算法均能很好地建立圓弧齒輪接觸應力預測模型，精度都在可使用的范圍之內，但是Kriging的誤差范圍在[-2,4]，而基于WOA算法改進的Kriging算法誤差范圍在[0,3]；精度得到了明顯的提高，能夠為其優化設計參數和各參數對其接觸應力影響的顯著性分析，提供更加精確的數學模型。