適用于機床柔性進給驅動的最優反饋控制技術研究*

黃忠仕，余光懷，張為民

(1.百色職業學院 機械工程系，廣西 百色 533000;2.沈機集團 昆明機床股份有限公司,云南 昆明 650203;3.同濟大學 機械與能源工程學院,上海 201804)

0 引 言

進給傳動系統是機床設計中的關鍵部件，用來實現刀具與工件之間所需的進給運動，因此它們的定位精度和速度決定了機床的質量和生產率[1-2]。

進給傳動系統的動態精度受到系統中結構諧振的限制，在過程力或參考軌跡等因素的干擾下會引起諧振。平滑的軌跡生成和濾波技術有助于避免引起傳動系統結構的輕微阻尼。然而，因外部干擾而產生的激發只能通過反饋控制進行主動抑制。因此，現代伺服控制系統需要實現的是機械諧振下的控制帶寬擴展和提高進給驅動的抗干擾能力。

研究人員可以通過使用加速度反饋、輔助設備，或采用魯棒滑動模式、廣義預測控制器等復雜的控制方案，來實現具有主動減振特點的高帶寬反饋控制[3]。復雜的控制系統通常是難以實現的，并且可能需要提供輔助傳感器，這給機器設計帶來了更高的成本并且產生了更多的限制[4-5]。主動振動控制最成功的實現是在滾珠絲桿傳動系統上，并且使用雙面(電機和工作臺)位置和速度信號來引入“速度阻尼”。極點配置控制技術可用于調整帶寬和模態阻尼。然而，在電機和工作臺上使用兩個反饋回路，會導致前饋補償設計效率低下。其他解決方案旨在通過使用觀察器或直接測量負載側動力，來減少傳感器數量[6-8]。

本文為柔性機床進給傳動系統提出一種新型最優控制方法。

1 進給傳動控制建模

柔性滾珠絲桿進給傳動器系統模型，如圖1所示。

圖1 柔性滾珠絲桿進給傳動系統

由圖1可知，進給傳動系統的動態性能極大地受到因結構部件和接頭的柔性而產生的機械諧振的影響。

通常，簡單的2自由度(2-degree of freedom，2-DOF)模型充分捕獲了柔性進給傳動系統的剛體和主要振動模式[9]，并且它可以有效地用于高帶寬控制設計，2DOF模型如圖2所示。

圖2 2DOF模型

可以從圖2模型中導出控制輸入u與電機GM(s)和工作臺GT(s)位置之間的開環傳遞函數(TFS)，如下所示：

(1)

(2)

式中：x1—電動機m1；x2—負載(例如工作臺m2)；k—傳動剛度；b1,2—作用在移動元件上的粘性摩擦；u—控制輸入；c—阻尼。

其中：a0=0；a1=(b1+b2)k；a2=(b1b2+c(b1+b2)+k(m1m2))且a3=m1b2+m2b1+c(m1+m2)。

從式(1，2)的分母可以看出，兩個TFS都具有四階動力學，并忽略了阻尼c。

2 最優控制方法設計

最優控制方法主要思路是設計極點配置控制，分別分配剛體和結構動力。然而，這使得閉環系統失去了抵御干擾、參數不確定性和非建模動態的魯棒性。

為了解決這一局限性，對SS表示增加了一個“積分狀態”，如下所示：

(3)

并給出了極點配置跟蹤控制規則，如下所示：

(4)

式中：Kp，KV，KA，KJ，KI—需要基于期望極點位置確定的控制器增益；x2r—工作臺參考軌跡。

通過上式可以對閉環系統的5極進行分配。請注意，現代數控系統產生的加加速度有限參考軌跡能夠實現上述控制規則。

因此，上述控制規則可以用來實現位置信號PID控制：

(5)

其中，工作臺加速度和加加速度可以通過數字編碼器獲得。通常，進給傳動器系統的剛性體和的結構動力是分開分配的，而不考慮它們的相互作用。較為普遍的啟發式方法是簡單地將模態阻尼添加到結構模式。

這種方法改善了進給傳動器系統的動態剛度，但它并沒有大大提高抗擾的性能。為此，結構模式的固有頻率需要通過控制器來改變。這需要電動機發出更大的力，以滿足要求并且在高加速度和負載下限制實際的跟蹤帶寬。此外，由于與工業串聯P-PI控制器[11-12]相比，PPC無法通過一組增益輕松調整，其實現需要經過培訓的控制工程師進行。

因此，筆者將對用于平衡進給傳動系統性能的最優控制設計框架進行分析，以實現跟蹤、振動和控制，同時允許設計人員使用一組增益或直接針對頻域要求進行調整。

2.1 柔性進給傳動系統的線性二次型調節器(LQR)

尋求跟蹤、振動抑制和控制力之間平衡的最優控制問題可以被視為LQR問題，以找到最小化成本函數J的最優極點位置，如下所示：

(6)

式中：x—狀態矩陣；u—控制力矩陣；Q—狀態x的權重矩陣；R—控制力u的權重大小。

需要對控制器進行主動減振。許多機床研究文獻將參考軌跡的加加速度內容與剩余振動連接起來，這使得加速度成為目標函數的潛在候選項。

為了克服這個問題，負載側誤差的積分，即其積分狀態，需要與式(6)中的加加速度一起進行處理。因此，最終的成本函數為：

(7)

式中：w—調節矩陣,w=[0,0,0,α,1]；α—與加速度相關的權重；ρ—與控制力相關的權重。

α和ρ是使成本函數J最小化的客觀權重。積分狀態的權重是“1”，因此，可以通過調整2個目標權重來實現預期控制。如果結構存在輕微阻尼，設計人員可以增加α來加大模態阻尼。或者將其設置為較低值，以強調干擾性能。最后，通過調整控制力權重ρ來調整帶寬。該框架簡單易行，能夠以真正優化的方案滿足進給傳動系統控制的關鍵要求。

最后，通過求解LQR的式(7)并利用代數Riccati方程(ARE)[13]，可以獲得極點位置和控制增益Kp，KV，KA，KJ和KI。雖然這種方法在計算上是有效的，但它不是封閉形式的解決方案，因此不能直接分析客觀增益(α和ρ)的影響。以下部分為“最優”閉環極點推導出的直接閉合形式解決方案，便于進行控制分析，實現有效的動態優化調整。

2.2 控制權重分析

如果不是利用ARE來尋求LQR的解決方案和計算控制增益，而是從哈密頓動力學中解決優化問題，則可以建立最優控制問題(式(7))的哈密頓函數為：

(8)

對式(8)執行偏導數，以建立如下的齊次哈密頓系統：

(9)

式中：λ—哈密頓矩陣。

通過用代數方法處理H的特征方程，即|sI-H|=0，其特征值的軌跡在客觀權重(α和ρ)方面可以通過標準的根軌跡形式表示為：

(10)

閉環極點的軌跡根據式(10)計算，可以得出最優控制器的根軌跡，如圖3所示。

圖3 最優控制器的根軌跡

由圖3可知，可以看出，設計人員可以即時分析并輕松調整α和ρ，以獲得最優控制性能。

3 實驗及結果分析

3.1 實驗設置

將提出的最優控制方法在單軸滾珠絲桿設置上進行具體測試，滾珠絲桿實驗設置如圖4所示。

圖4 滾珠絲桿實驗設置

在圖4中，滾珠絲桿直徑為20 mm，導程為20 mm，行程為500 mm。它配備100 nm分辨率的旋轉線性編碼器，由dSpace系統[14]以20 kHz控制。利用量程為10 g的DC加速度計(PCB-3711E1110G)對加速度和加加速度進行測量，其靈敏度為200 mV/g，低通濾波為1 kHz。

頻率響應函數(Frequency Response Function，FRF)測量如圖5所示。

圖5 開環FRF

由圖5可知，2DOF模型清楚地捕獲了傳動系統在228 Hz處的軸向和扭轉載荷。電動機和工作臺側的反諧振分別在177 Hz和157 Hz處可見。與最先進的級聯P-PI控制進行比較分析。

所提出的控制具體參數為：ρ=2.30×106V2/m2s2，α=7.70×10-11s4。P-PI控制的具體參數為：Kp=20.41 s-1，KV=0.042 V/m，KI=12.68 V/m。由于行程的原因導致滾珠絲桿剛度變化小于10%，不使用增益調度，并且將控制系統的相位裕度(PM)匹配到40°以進行穩健操作。

3.2 結果分析

筆者在Amax=25 m/s2和Vmax=8 m/s高速前后軌跡上對控制方法的跟蹤能力進行了測試，跟蹤性能比較如圖6所示。

圖6 跟蹤性能比較

由圖6可知，所提出的控制技術在高加速度時提供更好的跟蹤性能，最大誤差為±40 μm。所提出的控制方法可以控制諧振、抑制諧振，并獲得>300 Hz的跟蹤帶寬，從而實現更高的性能以滿足穩定性要求。

最后，控制方法的干擾響應性能比較如圖7所示。

圖7 干擾響應性能比較

由圖7可知，與使用電機和工作臺(雙)反饋的傳統級聯P-PI和主流PPC伺服控制相比，所提出的最優控制具有更好的干擾抑制性能。特別是在高頻率下，由于進給傳動結構的反諧振，控制器具有更優異的性能。在低頻和高頻下，最優控制效果更好，干擾抑制能力強。在大約157 Hz時，它可以實現大于5倍的干擾衰減。

4 結束語

針對機床柔性進給傳動系統的傳動控制問題，本文提出了一種最優的反饋控制技術。

首先，筆者提出的最優控制僅需要負載(工作臺)側反饋信號，以實現高跟蹤帶寬、干擾抑制和模態阻尼，可消除對高分辨率編碼器的需求，從而降低傳感器的成本并簡化機械設計。值得注意的是，僅通過工作臺反饋，該控制方法就可以增加滾珠絲桿傳動系統的動態剛度，這是傳統雙面(電機和工作臺)反饋無法實現的。其次，筆者提出一種調優程序，允許設計人員利用2個權重對控制進行調優，以有效地平衡帶寬和模態阻尼。

該控制技術可用于具有柔性結構的進給傳動系統，并解決現有伺服控制中存在的不足；所提出的控制方法可以進行最優調整，以實現減振、高帶寬指令跟蹤和受力的有效干擾抑制，同時最大限度地減少額外硬件需求。

總體而言，最優的反饋控制技術易于實現，并且傳感器成本降低了一半，性能大幅得到提升。因此，對機床進給傳動系統具有較大的應用價值，能夠以更低的成本獲得更高的動態精度。