《二次函數(shù)最值問題的探究》課例

王立

一、課例背景

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)也是重點(diǎn)，尤其當(dāng)二次函數(shù)遇到絕對(duì)值時(shí)，學(xué)生更是無從下手！學(xué)生剛剛上高中，對(duì)分類討論的思想還很不熟悉，不知道如何討論，為了更好的研究這類問題，本人特意開了一節(jié)含絕對(duì)值的二次函數(shù)最值問題的公開課。

二、課堂實(shí)錄

師：同學(xué)們，二次函數(shù)是我們初中就開始接觸的一類基本函數(shù)，這類函數(shù)在高中也是很重要的，而命題者往往習(xí)慣將二次函數(shù)加以變形來考查大家。那么這節(jié)課我們就一同學(xué)習(xí)一下《含絕對(duì)值二次函數(shù)最值問題的二次教學(xué)》。（教師書寫板書標(biāo)題）。

師：首先請(qǐng)大家先做下面一道題：

例：已知函數(shù) ，求 最小值。

生1：先討論去掉絕對(duì)值

然后就作圖（學(xué)生敘述，教師板書畫草圖）

師：這里畫圖時(shí)其實(shí)就是兩個(gè)二次函數(shù)中的一部分，需要注意的是：一、對(duì)稱軸的位置和分界點(diǎn)“1”的位置之間的關(guān)系，二，分界點(diǎn)處的函數(shù)值唯一，即分界點(diǎn)無論代到哪個(gè)解析式，得到的值都應(yīng)該是一樣的。

師：接下來我們一起來做一下杭州二中的一次模擬試題

已知函數(shù) ， ，求 在 內(nèi)的最大值。

由于時(shí)間關(guān)系，這里教師給學(xué)生思考的時(shí)間比較短，大概四五分鐘左右。

師：誰來說一下你的思路？

生7：先討論去掉絕對(duì)值

然后討論兩個(gè)對(duì)稱軸 和 與分界點(diǎn)之間的關(guān)系。

師：很好，那應(yīng)該有幾種情況呢？

生7：

生7：然后分為 ， ，

由于時(shí)間關(guān)系，后面的具體過程由教師板書書寫，

（1）當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，作圖有

如圖可知 .

（2）當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，作圖有

如圖可知

因?yàn)?，所以

所以

所以當(dāng) 時(shí)， ;

當(dāng) 時(shí)， .

（3）當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，作圖有

如圖可知 .

又 ，所以 。

即 .

師：我們這節(jié)課了解到了解決這種含絕對(duì)值的二次函數(shù)最值問題需要用到分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，其中分類討論主要是討論對(duì)稱軸和分界點(diǎn)之間的關(guān)系。大家這節(jié)課表現(xiàn)的非常好，為了我們的表現(xiàn)給自己一點(diǎn)鼓勵(lì)。

三、課后反思

本節(jié)課《含有絕對(duì)值的二次函數(shù)最值的二次教學(xué)》也是學(xué)考的一個(gè)重點(diǎn)及難點(diǎn)，它一般出現(xiàn)在學(xué)考的最后一道解答題中，難度很大，針對(duì)高二的學(xué)生既沒有經(jīng)過系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，又沒有參加過第一次學(xué)考，難度不言而喻。

這節(jié)課沒有選擇投影的主要原因在于這節(jié)課要用到數(shù)形結(jié)合，而畫圖這里如果用幾何畫板給學(xué)生展示，那么學(xué)生做題時(shí)可能還會(huì)出現(xiàn)不會(huì)畫的情況，所以本節(jié)課采用傳統(tǒng)的板書，沒有利用任何多媒體。

但是，由于時(shí)間關(guān)系，最后一道解答題教師只讓學(xué)生說了解題思路，而畫圖及具體的解法完全由教師本人書寫，這樣的教學(xué)效果其實(shí)是和本人設(shè)計(jì)的初衷是有一些出入的。

其實(shí)本節(jié)課一共就講三道題，而第二題中學(xué)生的問題就已經(jīng)展現(xiàn)出來了，即分類討論不知道從何處下手，所以耽誤的時(shí)間較多，如果本人提前將例題即變式給學(xué)生，即做成“學(xué)思案”，作為課前預(yù)習(xí)內(nèi)容，那么這節(jié)課可能會(huì)效果好得多，既可以留下更多的時(shí)間讓學(xué)生去思考最后一道題，讓學(xué)生感受分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想，而且也正好符合高中數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的邏輯推理素養(yǎng)。