基于數學思想方法引領的教學設計比較
——以“小數的初步認識”為例

江蘇揚州市工人新村小學 高峰齡

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）在課程總目標中要求“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”。在實施建議中更是提出“數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和運用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。如抽象、分類、歸納、演繹、模型等”。

數學思想以教材內容為載體，蘊涵其中。教師只有深度研讀，挖掘教材中的數學思想，并用以引領教學，才能讓學生逐步感悟、運用數學思想。

以蘇教版三年級下冊“小數的初步認識”為例，教材從測量桌面的長度開始，在整數不能表示時，引入整數部分是0的小數：5分米是米米還可以寫成0.5米。以分母是10的分數為橋梁，建立小數的認識。教材以人民幣為媒介，認識整數部分不是0的小數。在建立小數概念時運用了直觀手段，如直條圖、正方形涂色等，在操作中提升對小數的認識。練習中大多數借助“形”構建分數、小數的聯系。

在學生已經認識萬以內整數、知道相鄰兩個計數單位之間的進率和初步認識分數的基礎上，教材從學生已有生活經驗出發，借助“人民幣”和“米制”兩種具體的模型，幫助理解小數的意義。

教材的編排蘊涵了哪些數學思想？教學中側重不同數學思想的感悟、滲透、運用，形成的主體教學設計差異很大。筆者在不同數學思想觀照下進行了不同教學設計的嘗試。

一、抽象思想觀照下的教學思考

課標第一學段目標中指出：經歷從日常生活中抽象出數的過程，初步認識分數和小數。

三年級學生初步認識小數，在“人民幣”和“米制”的具體情境下理解小數的意義，但離開了這樣的情境理解小數就有了困難，此時需要上升至小數概念的抽象理解，即經歷“分”不同圖形和“去”具體量等活動，發現其本質屬性，完成由生活到數學抽象的過程，促使學生形成對小數意義的抽象理解。

在抽象思想的引領下，借助分數、小數之間的關聯，由生活實際模型走向抽象圖形、進而認識小數，成為本設計的主線。

（一）建立聯系，抽象小數意義

1.量課桌（5分米），得到的結果不是整米數，怎樣表示？可以把1米分一分，用分數表示為米，還可以用小數表示為0.5米。你能在直條圖上表示0.4米嗎？說說怎么想的？

2.如果用一個長方形表示1米，你能表示出0.3米嗎？

如果用一個長方形表示1元，你能表示出0.3元嗎？

3.如果用一個長方形、正方形或圓表示1千克，你能在圖形中涂色表示0.7千克嗎？

表示1千克的圖形不同，為什么涂色部分都可以表示0.7千克？

4.如果一個長方形表示1，涂色部分用小數表示是多少？為什么？（如圖：圖式表示小數意義）

在具體生活情境基礎上，借助直條圖、長方形圖等，從分數、小數之間的關系入手，抽象出小數意義，進而去掉帶有單位的具體量，更具抽象性地理解整數部分是0的小數意義，回歸到抽象的數。

（二）運用分合，抽象小數意義

整數部分不是0的小數（帶小數），教學中借助具體情境、圖式等，運用“分、合”思想，讓學生理解整數部分與小數部分表示的不同意義。學生經歷“分與合”活動，積累相關經驗，從具體逐步抽象出帶小數意義。

1.一支圓珠筆1元2角，是多少元？

2.如果用1個正方形表示1元，用這個正方形表示1元2角夠嗎？為什么？

3.一本筆記本3元5角，是多少元？借助圖形怎樣表示？為什么需要4個正方形？

學生運用正方形圖自覺把帶小數“分”成兩個部分，很好地抽象出整數部分和小數部分的意義，再運用正方形圖把兩個部分“合”起來，進一步抽象帶小數的意義。

4.你能在數軸上找到2.7嗎？你是怎么想的？

學生從具體的量抽象出數，并在數軸上表示，需要調用前面的經驗，運用“分合思想”，借助數軸進一步感知小數意義。

以生活情境為載體，從帶有單位的具體數量入手，運用經驗，構建分數、小數的關系，用不同圖形表示小數，最終回歸到抽象的數。

學生經歷觀察、比較活動，適時發現、歸納小數本質屬性，在現實模型幫助下，逐步剝離具體情境，回歸小數意義本源，完成小數認識的抽象過程。

二、推理思想觀照下的教學思考

“小數是十進制計數向相反方向延伸的結果”，“小數產生的本原在于計量的需要，并非分數概念的附庸”。課標提出：推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。史寧中教授認為：從條件出發，借助歸納推理“預測”數學結果，借助演繹推理“驗證”數學結果。演繹推理的定義：從假設和定義出發，按照某些規定了的法則所進行的前提與結論之間有必然聯系的推理。

在學習小數之前，學生已熟悉整數的數位名稱和計數單位，有“十進制”的知識經驗，理解整數相鄰兩個計數單位之間的進率是十，能夠使用計數器正確表示整數。在此基礎上，學生經歷在計數器上撥珠的活動，由合情推理提出猜想“個位和它右邊一位，它們的計數單位之間是不是也是十進制的關系”，進而通過分數意義、現實生活模型等，驗證猜想的正確性。

以計數器為媒介，以“十進制”為前提，以推理思想為指導，經歷“猜想——驗證”過程，初步認識小數，成為以下設計的主線。

（一）“玩”計數器，熟悉進率

計數器是學生學習認數的重要工具，學生在“玩”計數器的活動過程中，不僅可以看到不同的數位，還能深刻理解不同計數單位間的進率，為推理小數意義提供前提。

1.在計數器上表示“1”（學生在個位上撥一顆珠）。

在計數器上表示“10”（學生在十位上撥一顆珠）。

在不同數位上撥1顆珠，表示的數不同。不同的兩個數之間有什么關系？

個位上撥滿幾顆珠就可以進到十位？

學生通過在計數器個位、十位撥珠，回顧相鄰兩個計數單位間的進率，理解“滿十進一”。

2.在計數器十位上撥滿幾顆珠就可以進到百位？學生操作：十位上撥滿10顆珠后向左邊百位進一。撥去十位上的10顆珠，在百位上撥1顆珠。

3.同桌相互玩“滿十進一”規則下的撥珠游戲。

4.如果千位上有1顆珠，表示1000，你能在百位上撥珠表示1000嗎？百位上要撥幾顆珠，千位上的才能向右退一位到百位。百位上10顆珠表示“10個百”，也就是“退一當十”。

5.同桌相互玩“退一當十”規則下的撥珠游戲。

學生“玩”計數器，在“進與退”的規則下，很清晰地理解相鄰兩個計數單位之間的關系，為推理小數的意義做好準備。

（二）“變”計數器，推理新數

學生具備了理解整數范圍內數位、計數單位、位值原則等前提條件，在計數器的輔助下，能夠猜想小數的意義，進而運用分、小數之間的聯系加以驗證，以推理思想的滲透提升學生數學思維。

1.個位有1顆珠，還能繼續向右退嗎？

嘗試：在個位的右邊一位撥滿10顆珠。

2.思考：這個數位上的1顆珠表示多少？為什么？

3.結論：個位上的1還能繼續向右退一位，還是滿足“退一當十”的游戲規則。

4.補全計數器，介紹“整數部分、小數點、小數部分”。

學生通過“玩”計數器，在“滿十進一”“退一當十”游戲規則下，遇到了新問題，通過推理，經歷猜想、驗證的過程，完善計數器，成功搭建整數、分數、小數之間的聯系，初步推理出小數意義。在此基礎上，需借助現實模型，深化意義理解。

（三）聯系溝通，運用深化

在生活中，我們找到相關原型并解釋應用，構建分數、小數之間的關系，利用現實生活中的實例，運用推理思想加深對小數意義的理解，尤其是對帶小數意義的理解。

1.像這樣把1平均分成10份，1份可以表示為0.1，在生活中還有很多這樣的運用。比如：1元=10角，可以把1元兌換成10角，也就是1元平均分成10個1角，1角就是元，也就是0.1元。

以此類推，4角是多少元？

2.生活中還有哪些可以用一位小數表示的數據？

3.在計數器上嘗試撥出1.7，為什么這樣撥？

如果在十分位上添加1顆珠，是多少呢？再添加1顆珠，又再添加1顆珠呢？現在數是多少？

原來“滿十進一”的游戲規則在小數范圍內照樣可以用。

學生經歷合情推理與演繹推理的過程，初步認識小數的意義，很好地培養了學生推理能力，形成嚴謹的數學思維。

以上兩種在不同數學思想觀照下的教學設計思路迥異，筆者在班級教學中進行了嘗試，均收到較好的效果。抽象思想、推理思想在小數意義概念的構建過程中所產生的作用，給予我們在教學中如何滲透、運用數學思想更多的啟示。教師需對知識形成、發展的過程進行深入研讀，發現其中蘊涵的數學思想，深刻理解數學思想的指導意義和運用價值，設計符合學生特點的教學設計，幫助學生獲得基本數學思想。