NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ應用于換熱網絡多目標優化的對比

蔣寧，范偉，謝小東，郭風元，李恩騰，趙世超

（浙江工業大學機械工程學院，浙江杭州310023）

在過程工業中，換熱網絡作為能量回收子系統，對其進行優化設計和改造，幫助企業增產、節能降耗、降低成本、減少污染排放等具有重要意義。換熱網絡優化本質上是多目標優化問題，需要綜合考慮經濟性、環境影響、能耗等。傳統的換熱網絡多目標優化是采用一些數學方法將多目標函數變成單目標函數，然后將多目標優化問題簡化成單目標優化問題進行求解，常用的方法主要包括加權求和法、ε-約束和NIMBUS 等[1]。Jin 等[2]將換熱網絡研究中的經濟性和環境影響度兩個目標量綱為1化，通過加權求和的方法，將多目標優化問題簡化為單目標優化問題，實現污染排放量下降68.07%。Francesconi 等[3]采用ε-約束簡化乙醇生產的換熱網絡，優化制氫效率和換熱面積兩個目標，可以實現最大面積減少50%，制氫效率下降1%。Lauukkanen等[4]采用NIMBUS 交互式方法，將換熱單元數、總換熱面積、公用工程消耗量的多目標優化模型，簡化成單目標優化問題，使案例的總費用下降32%。Sreepathi和Rangaiah[5]通過數據研究表明換熱面積、換熱單元數和公用消耗三個經濟目標存在相互競爭的狀態，單純的單目標優化不能滿足實際工況的需求，多目標優化得出的Pareto解集能夠提供綜合考慮的方案。

Deb[6]提出了基于非支配排序的NSGA-Ⅱ算法，該算法能夠高效快速地求解多目標優化問題，已被廣泛應用到換熱網絡的多目標優化研究中。Agarwal 和Gupta[7]將NSGA-Ⅱ首次引入到換熱網絡的優化改造，并發現多目標優化得到的非支配解集的效果優于單目標優化的唯一解的效果。Sreepathi和Rangaiah[8]提出再分配策略以適應實際的換熱網絡改造問題，針對投資成本和公用成本建立的多目標模型，采用NSGA-Ⅱ算法求解，最終得到了Pareto解集，該解集能夠給決策者提供更多樣的綜合方案。Lü 等[9]等考慮了年度總成本和系統可靠性，應用NSGA-Ⅱ求解提出的多目標模型，可以通過年度成本的小幅增加來實現換熱網絡耦合度的顯著降低。林露[10]綜合考慮了環境影響量、公用工程費用和投資費用的多目標優化模型，采用NSGA-Ⅱ算法得到Pareto前沿解，獲得了相對于文獻具有更低年度總費用的解，同時也提供了多個備選方案。

在超過3個目標的高維多目標優化問題的研究中，NSGA-Ⅱ存在收斂性較差的問題，因此學者們引入了基于參考點選擇機制的NSGA-Ⅲ算法，計算目標數較多的多目標優化問題，以有效降低計算復雜度。研究表明，NSGA-Ⅲ在求解3～15個目標優化問題時具有良好的表現[11]。Wang等[12]為了提高鋼鐵工業的產業體系整體性能，建立了最小化能耗、5 種污染物的減少量和經濟成本共7 個目標的多目標優化模型，采用了NSGA-Ⅲ和模糊C 均值聚類算法，給出了最佳的環境管理決策。對于NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法在求解不同的多目標問題的性能比較仍需進一步研究。Ishibuchi 等[13]用DTLZ來測試NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ的性能，在多目標的測試問題上NSGA-Ⅲ并不總是優于NSGA-Ⅱ，不同的測試問題對計算性能和結果的影響要大于目標數量的影響。Ciro 等[14]采用NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ對生產系統中作業的總流動時間、人和機械的工作負載的多目標模型進行優化，對于小尺寸實例，兩種算法具有相似的性能，對于大尺寸實例，NSGA-Ⅲ比NSGA-Ⅱ有更好的性能。

在不同的多目標優化問題研究中，兩種算法會呈現不同的性能。換熱網絡優化問題是能源領域研究的重要問題，由于其不僅需要考慮到能耗、投資成本、公用工程費用等經濟指標，還需要考慮環境影響、改造工程量等其他指標要求，特別是隨著環境要求和市場競爭變得越來越嚴峻的形勢下，對換熱網絡進行多目標優化時，需要考察和關注的性能指標也呈現出多樣性的特點[15]。而優化算法是求解換熱網絡多目標優化問題的關鍵之一，迫切需要開展相關研究和討論。單純根據優化問題的目標數量而不綜合考慮目標的相關性，直接采用NSGA-Ⅱ或NSGA-Ⅲ是不合理的。因此，本文基于換熱網絡多目標優化問題，結合具體的換熱網絡案例，對兩種應用較為廣泛的多目標優化算法，NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ，開展了性能對比研究，測試NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法應用于換熱網絡多目標優化的求解效果，考察不同數量目標下兩種算法的收斂性和運算效率，探索NSGA-Ⅱ算法應用于3個以上目標的優化問題的可能性，并比較NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ獲得的解集方案的實際效果。相關研究結果也可為能源領域其他多目標優化問題的研究和優化算法選擇提供參考。

圖1 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ的選擇機制

1 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ原理

NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法如圖1 所示。NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ是基于基本遺傳算法，通過引入Pareto機制和非支配解的概念，形成了區別簡單遺傳算法的選擇機制[16]。該選擇機制充分利用個體間的支配和非支配關系，對種群進行分層，非支配層越高的個體被選擇的概率越大；同時，為了豐富種群的多樣性，NSGA-Ⅱ通過引入擁擠度算子[17]或聚類算子[18]來計算個體之間的擁擠度距離，如圖2 所示；NSGA-Ⅲ[11,19]則通過引入參考點，表示期望的理想解，并通過關聯和小生境操作，忽略目標空間中距離較近的解，從而得到一組靠近參考點的優化解集，如圖3所示。

1.1 NSGA-Ⅱ擁擠度距離算子

NSGA-Ⅱ為了實現在執行選擇的過程中，同一層的個體會因較大的擁擠度距離有更高的概率被選入到下一代的種群中，個體擁擠距離是目標空間上與i 相鄰的2 個體i+1 和i-1 之間的距離如圖2 所示，其計算步驟如下[17]。

圖2 擁擠距離計算

圖3 參考點機制

（1）對同層的個體初始化距離。令L[i]d=0，其中L[i]d表示任意個體i的擁擠距離。

（2）對同層的個體按第m個目標函數值升序排列。

（3）排序邊緣上的個體具有選擇優勢，令L[0]d=L[I]d=∞。

（4）對排在中間的個體，求擁擠距離，可由式(1)得到。

其中，L[i+1]m為第i+1個體的第m目標函數值，和分別為集合中第m 目標函數的最大值和最小值。

（5）對不同的目標函數重復步驟(2)～(4)，得到個體i 的擁擠距離L[i]d，通過優先選擇擁擠距離較大的個體，使計算結果子目標的空間分布比較均勻，以維持種群的多樣性。

1.2 NSGA-Ⅲ參考點機制

引入基于參考點的NSGA-Ⅲ，通過預先定義跨越整個Pareto前沿的一組搜索方向，并且每個方向執行多次搜索，從而獲得廣泛分布在Pareto最優前沿上的最佳解集；同時預定義多個參考點來替代搜索方向，利用對應于每個參考點的解以獲得廣泛分布的Pareto最優解集，其中歸一化操作是參考點機制的核心，具體步驟如下[11,19]。

（1）計算理想點，針對M 維的多目標優化問題，分別求取種群在目標每個維度上的最小值，將這些最小值zi,min構成的集合定義為理想點集Zmin[式(2)]。

（2）轉譯目標值fi′(x)[式(3)]，為創建線性超平面并求取每個目標軸上的截距，采用St目標值f1減去每個目標的理想點zm,min的方法對所有目標值進行轉譯，得到轉譯種群S′t。

（3）計算各目標的極值點zi,max，采用標量化函數（ASF）計算出每個目標值在某i 維目標方向上的投影值并找出每個x在第i維目標的最大投影值，從最大投影值中選擇最值對應的x 為第i 維目標的極值點zi,max[式(4)]。

（4）構建線性超平面并計算截距ɑi，實現種群個體目標值的歸一化，根據線性超平面的通用方程[式(5)]將每個維度上的極值點Zmax代入上述方程，得到超平面具體的形式，進而求得該超平面與每個維度方向的截距ɑi。

（5）種群目標值歸一化，每個個體目標值歸一化公式如式(6)。

其中，上角標n表示歸一化。

通過關聯操作，在歸一化的目標空間內，將距離種群個體s最近的參考線w對應的參考點定義與s關聯。種群個體與參考點關聯示意圖（以3維目標10個結構化參考點為例），如圖3所示。

2 換熱網絡的多目標優化改造問題

2.1 模型與約束

本文沿用Yee 和Grossman[20]所提出的分級超結構模型，同時取消了超結構模型中的非等溫混合假設。本文優化改造滿足熱平衡約束、質量守恒約束、傳熱方程、過程物流非等溫混和能量平衡、流股的入口溫度約束、可行性溫差約束、最小傳熱溫差約束[21]。

2.2 目標函數

換熱網絡優化改造問題，通常涉及的性能評價指標包括以下方面。

（1）最小能耗

換熱網絡需要在冷、熱流股末端配置公用工程換熱器，以實現流股終端溫度符合工藝要求。其中，公用工程換熱器的能耗反映了換熱網絡需要消耗多少公用工程負荷，包括熱公用工程負荷和冷公用工程負荷。其表達式如式(7)所示。

式中，qcui、qhuj分別表示第i股熱過程流體上的冷公用工程負荷、第j 股冷過程流體上的熱公用工程負荷。

（2）最小環境影響量

本文基于ISO 14040/44，采用LCA方法中最新的ReCiPe 指標[22]進行建模，環境影響數據取自于EcoInvent v 3.2 生命周期清單數據庫。對于冷公用工程（通常為冷卻水），將原始數據的單位轉化為points/(kW·a)以便案例使用。為簡化模型的復雜程度，此處假設所采用的換熱器的材料均為不銹鋼，設備運行時間為8000h/a，換熱器的質量（mex）可由式(8)計算得到。

式中，A、δ 和D 分別代表換熱器面積、厚度和不銹鋼密度；根據文獻[20]推薦，厚度δ 和不銹鋼密度D分別取5.0×10-3m和7900kg/m3。

本文建立的環境影響目標函數，其包括冷、熱公用工程的產生以及換熱器的生產所帶來的環境影響。可由式(9)計算得到。

式中，EP、m 和LT 分別表示生態點值、換熱器質量和設備使用年限；z 表示換熱器存在與否的二元變量；下角標cu、hu 和ss 分別表示冷、熱公用工程和不銹鋼（stainless steel）。

（3）改造工程量

改造工程量（retrofit engineering quantity，REQ）指標，反映對現有換熱網絡實施不同的改造工程的相對難易程度。換熱網絡改造過程一般包括：新布管、移動原有換熱設備、改變物流間的匹配關系、原有換熱設備面積的增減和新增換熱器等。根據實際的換熱網絡改造所面臨的工況，并根據是否增加新的匹配關系。具體的改造工程量分為：回用原網絡的換熱器（包括增加面積和減少面積兩種情況）、移動回用的原網絡的換熱器（包括用于原有匹配關系和新增匹配關系兩種情況）、需要新增換熱器（包括用于原有匹配關系和新增匹配關系兩種情況）和設置旁路，每種改造工程需要的工程量系數見表1。則總的改造工程量可由式(10)計算得到：

其中，w1、w2、w3、w4、w5、w6和w7分別代表7個分項的工程量系數（表1）；n1、n2、n3、n4、n5、n6和n7分別代表7個分項以自然計數單位表示的需要實施的改造工程量。

（4）最小年度投資費用

換熱網絡改造過程的投資成本（capital cost，CC），包括現有換熱器增加面積的改造費用、新增換熱器的費用，其函數表達式如式(11)所示。

式中，nn、na分別代表新增換熱器數目和增加面積的現有換熱器數目；FC、ACn、Bn和ACa、Ba分別代表新增換熱器的成本計算參數和現有換熱器增加面積的成本計算參數；AF 是指改造投資費用的年度因子，其計算方法如式(12)。

其中，r、Y分別代表年利率和使用年限。

（5）最小年度公用工程費用

公用工程費用（utility cost，UC）包括熱公用工程的消耗費用和冷公用工程所帶來的費用，其目標函數如式(13)所示。

式中，UOCcu、UOChu分別表示冷、熱公用工程的單位操作成本；qcui、qhuj分別表示第i股熱過程流體上的冷公用工程負荷、第j 股冷過程流體上的熱公用工程負荷。

（6）最小年度總費用

年度總費用（total annual cost）一般由公用工程費用和投資費用兩部分構成。換熱網絡改造通過增加新的設備投資，盡可能經濟地回收物流的有效能量，以達到減少公用工程能耗的目的。從操作成本和投資成本的角度綜合權衡，得到換熱網絡的總費用，可由式(14)計算得到。

3 案例及性能分析

將NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種多目標算法應用于換熱網絡多目標優化問題的研究，比較兩種算法的收斂性、運算效率、解集分布和案例結果。本文的NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法基于MATLAB2018b編寫，初始參數設定為：種群大小為200，最大進化代數200，交叉和變異概率分別為0.8和0.005。

3.1 案例1

本文對文獻[23]的原油蒸餾系統進行研究，案例包含10條熱物流和5條冷物流，其物流數據與相關費用參數如表2和表3所示，初始的換熱網絡結構圖如圖4 所示。原始換熱網絡消耗熱公用工程9.537×104kW/a，冷公用工程5.792×104kW/a，環境影響量為1.797×107pts/a，產生的公用工程費用為1.393×107USD/a。

表1 分項間的工程量換算系數

表2 物流數據參數及生態點取值

表3 各項費用的相關參數

3.1.1 收斂性比較

通過選擇測試不同數量的目標，研究NSGA-Ⅱ算法和NSGA-Ⅲ算法在不同目標數量的換熱網絡優化中的收斂性，采用每一代所有個體的平均歐式距離來衡量迭代的收斂程度。如圖5和圖6為不同數量的目標情況下NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法的收斂曲線，可以看出歐式距離隨著迭代次數的增加，歐式距離的值最終趨于0，最終收斂曲線越來越平緩，這說明在迭代過程中，NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法都逐漸收斂，解集逐漸趨于穩定。從圖5所示的NSGA-Ⅱ算法的收斂曲線，目標個數為2、3、4個時，NSGA-Ⅱ算法的收斂速度都比較快，進化約30～40 代，已基本收斂；在算法初期，目標數為2個和3個時的收斂趨勢優于目標數為4 個時的情況；目標個數為2、3、4 個時，NSGA-Ⅱ算法最終都能實現較好的收斂效果。從圖6所示的NSGA-Ⅲ算法的收斂曲線，目標數為2個和4個時的收斂速度比目標數為3個時更快；目標數為2和4個時，進化約50代之后基本收斂，而目標數為3 個時，進化150 代之后才收斂；目標個數為2、3、4個時，NSGA-Ⅲ算法最終也能達到較好的收斂效果。Deb等[11]認為NSGA-Ⅲ在求解大于3個目標的優化問題有良好表現，而NSGA-Ⅱ不具備優化大于3個目標的優化問題的能力。如圖7所示，NSGA-Ⅱ算法在求解4個目標的換熱網絡多目標優化問題時，算法也可以實現收斂；用NSGA-Ⅱ求解能耗、環境影響量、公用工程費用以及年度總費用4個相關性較高目標的優化問題時，其收斂性優于NSGA-Ⅱ求解環境影響量、改造工程量、投資費用和公用工程費用4個目標相關性較低的優化問題的收斂性，收斂曲線更加平滑。NSGA-Ⅲ算法在求解4個目標相關性較高和相關性較低的多目標優化問題，都能保證收斂；而NSGA-Ⅱ算法的收斂性則受目標相關性和目標數量的共同影響。由于NSGA-Ⅲ算法采用了基于參考點的選擇機制，在高維目標的收斂性要明顯優于NSGA-Ⅱ算法。因此，對于換熱網絡多目標優化問題，NSGA-Ⅱ算法的應用并不嚴格地受限于3個目標的最大目標數量，NSGA-Ⅱ在求解大于3個目標的多目標優化問題時也可能具有良好的性能，目標數量并非選擇NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法嚴格標準，特別是對于相關性較高的多目標優化問題，可以采用NSGA-Ⅱ算法實現快速尋優。

圖4 案例1現有原油蒸餾系統換熱網絡拓撲結構

圖5 NSGA-Ⅱ的收斂曲線

圖6 NSGA-Ⅲ的收斂曲線

圖7 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法用于4個相關目標和不相關目標的收斂曲線

3.1.2 運行效率比較

圖8 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ運行時間的關系圖

如圖8 所示，NSGA-Ⅱ在種群數量200 的條件下，目標數為2、3、4的運行時間持平；同時隨著種群數量增多后，例如在種群數量為400 的條件下，不同目標數的運行效率的差距不大。NSGA-Ⅲ在種群數量200 的條件下，目標數為2、3、4 的運行時間差距較大，尤其是在目標數為4 的條件下，運行時間是目標數為2的運行時間的近2倍；當種群數量增加到400 時，目標數為2 的運行時間已高達1930s，是種群200、目標數為2 的運行時間的2.3 倍。相同的種群數量，NSGA-Ⅲ的運行效率要遠遠小于NSGA-Ⅱ的運行效率，在目標數為4，種群數量為200時，NSGA-Ⅲ的運行時間是NSGA-Ⅱ的2.7 倍；在目標數為4，種群數量為400 時，NSGA-Ⅲ的運行時間時NSGA-Ⅱ的2.1倍。在目標數為2和3的條件下，隨著種群數量的增加，兩種算法之間的運算時間差距越來越大。在目標數為4的條件下，隨著種群數量的增加，兩種算法之間的運算時間差距變化不大，這主要是因目標數量增加帶來的計算復雜度已超過種群數量計算所帶來的影響。

3.1.3 解集分布及目標之間關系

選取環境影響量、改造工程量、投資成本和公用工程費用4個目標，考察解集的分布和任意兩個目標之間的關系，如圖9 所示。圖9(a)反映了環境影響量和改造工程量的關系，改造工程量隨著環境影響量的增大而減小；從解集的分布情況來看，靠近原點的解集中，NSAG-Ⅱ得到的解集的數量更多，有利于獲得更低的環境影響量和改造工程量。圖9(b)反映了環境影響量和投資成本的關系，投資成本越大，整個網絡結構變化較大，獲得部分更節能的結構，所需要的冷熱公用工程負荷更少，從而環境影響量更小。從解集的分布來看，NSGA-Ⅲ算法得到的解集更靠近原點，說明NSGA-Ⅲ解集中可以獲得具有更低投資成本和環境影響量的解。圖9(c)反映環境影響量和公用工程費用的關系，公用工程費用和環境影響量呈明顯的線性關系，同時NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ都有數量相當的解集分布在更小的公用工程和環境影響量的范圍。圖9(d)反映了投資成本和改造工程量的關系，從圖中無法看出這兩個目標之間的關系，說明投資成本和改造工程量之間的相關性較低。圖9(e)反映了改造工程量和公用工程費用的關系，隨著改造工程量的增加，公用工程費用顯著減小，這是因為改造工程量越大，對原始換熱網絡結構的調整越大，優化網絡結構導致所需的公用工程負荷減少，從而降低了公用工程費用；從解集分布上來看，NSGA-Ⅱ算法的解集分布更靠近原點，更容易獲得改造工程量更低和公用工程費用更小的解。圖9(f)反映了投資成本和公用工程費用的關系，投資成本越大，公用工程費用越小，這主要是因為，對原始的網絡通過新增換熱器、增大換熱器的換熱面積以及重新布管所產生的費用越大，優化網絡結構的效果也更明顯，以此來實現更加節能的換熱匹配布局；從解集分布上來看，NSGA-Ⅲ算法得到的解集更靠近原點，可以獲得具有更低投資成本和公用工程費用的解。

3.1.4 目標函數性能的比較

從NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法優化得到解集中，選出各目標的最小值，結果見表4。單一目標的最小值反映出各個評價目標函數的極值情況。從單一目標上來看，NSGA-Ⅱ得到的最小能耗、最小環境影響量、最小改造工程量、最小投資費用和最小公用工程費用要比NSGA-Ⅲ要小，其中最小能耗減少1.4%，最小環境影響量減少1%，最小改造工程量減少25.2%，最小投資費用減少14%，最小公用工程費用減少1%。

圖10 給出了采用NSGA-Ⅱ優化所得到的具有最小年度總成本的改造方案，其中物流上方正體數字表示溫度的分布，單位為℃；斜體表示流股的熱容流率；公用工程為冷熱流股的出口的換熱器；換熱器面積括號內的數值為在原有換熱器的基礎上進行的面積增減值。從網絡結構圖中，可以看出該改造方案回用了15 臺換熱器，其中共增加換熱面積180.17m2，共需費用11.21×104USD；新增5 臺換熱器，共需費用28.16×105USD；其中有15 臺需要改變原有的匹配關系，但本案例原始網絡未考慮布管和變動匹配所帶來的費用，因此忽略該部分的成本。所以改造過程所帶來的改造投資總費用為29.28×105USD，年度化投資費用為5.86×105USD/a。通過與原始案例相比，從節能的角度分析，改造后的換熱網絡每年所需的熱公用工程為6.61×104kW/a，冷公用工程2.88×104kW/a，較原有換熱網絡分別減少了30.66% 和50.26%，總能耗減少了5.83×104USD/a，降至9.49×104kW/a，降幅為58.35%，公用工程費用減少至9.55×106USD/a。綜上所述，該方案的投資回報期為0.22年。從環境角度分析，原有換熱網絡經優化改造后，環境影響量從1.797×107pts/a降低至1.24×107pts/a，降幅為30.76%。

表4 兩種算法優化方案各目標最小值

圖9 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法的目標函數的關系

將本文采用NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法優化的結果，與以往的文獻進行對比分析，具體情況見表5。由表5 可知，與文獻相比，采用NSGA-Ⅱ改造后的換熱網絡每年所需熱公用工程減少16.75%～29.53%，冷公用工程減少31.10%～49.03%，因而年公用費用成本降低16.96%～30.65%，年度總費用TAC 減少14.15%～26.06%。采用NSGA-Ⅲ改造后的換熱網絡每年所需熱公用工程減少15.87%～28.78%，冷公用工程減少29.43%～47.79%，因而年公用費用成本降低16.09%～29.92%，年度總費用TAC 減少14.75%～26.57%。從具有最小年度總費用的改造方案來看，NSGA-Ⅱ與NSG-Ⅲ獲得的改造方案相比，熱公用下降1%，冷公用下降2.3%，環境影響量下降0.4%，公用工程費下降0.5%，投資成本上升42.75%，年度總費用僅上升0.7%。

圖10 案例1改造后的換熱網絡結構

表5 改造結果與文獻對比分析

圖11 本文工作與文獻的經濟性指標比較

從圖11 可以看出，本文NSGA-Ⅱ的改造方案節省的公用工程費用和獲得的年度化改造收益都比以往研究得到的改造方案更好，NSGA-Ⅱ的改造方案節省的公用工程費用要略優于NSGA-Ⅲ的改造方案，NSGA-Ⅲ改造方案的年度化改造收益要略優于NSGA-Ⅱ的改造方案。

3.2 案例2

本文對文獻[25]的原油精餾系統進行研究，案例包含7條熱物流和3條冷物流，其物流數據與相關費用參數見表6、表7，初始的換熱網絡結構圖如圖12 所示。原始換熱網絡消耗熱公用工程1.0×105kW/a，冷公用工程6.6×104kW/a，環境影響量為2.289×107pts/a，產生的公用工程費用為6.33×106USD/a。換熱器的總傳熱系數為0.4kW/(m2·℃)。

3.2.1 收斂性比較

對該換熱網絡建立高維多目標優化模型，綜合考慮了能耗、環境影響量、改造工程量、年度投資費用、公用工程費用和年度總費用。NSGA-Ⅱ算法和NSGA-Ⅲ算法求解換熱網絡高維多目標優化模型的收斂性，如圖13 所示。采用NSGA-Ⅲ算法得到的收斂曲線比NSGA-Ⅱ算法更加平穩，但兩種算法都實現了收斂。該案例再次說明對于換熱網絡多目標優化問題，NSGA-Ⅱ算法的應用不嚴格地受限于目標的數量，對于6個目標的高維多目標換熱網絡優化問題，NSGA-Ⅱ也實現了收斂。

表6 物流數據參數及生態點取值

表7 各項費用的相關參數

3.2.2 目標函數性能的比較

分別采用NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法進行求解，得到各目標的最小值，結果見表8。從單一目標上來看，NSGA-Ⅲ算法得到的最小能耗、最小環境影響量、最小投資費用、最小公用工程費用和最小年度總費用這5 個目標的最小值均優于NSGA-Ⅱ算法得到的目標最小值，其中最小能耗下降3.0%，最小環境影響量下降2.4%，最小投資成本下降61.7%，最小公用工程費用下降2.5%，最小年度總費用下降3.3%。NSGA-Ⅱ算法的最小改造工程量為15.6，比NSGA-Ⅲ算法的最小改造工程量下降21.2%。

圖12 案例2現有換熱網絡拓撲結構

表8 兩種算法優化方案各目標最小值

圖13 案例2 中NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法的收斂曲線

圖14 給出了采用NSGA-Ⅲ算法優化得到的最小年度總費用的改造方案，該改造方案回用了11臺換熱器，其中增加換熱面積87.66m2，共需費用2.63×104USD；新增8 臺換熱器，共需費用4.46×105USD；移動和布管的費用共需2250USD，該改造方案的總投資費用為4.74×105USD，年度化投資費用為9.48×104USD/a。將NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法優化換熱網絡多目標問題得到的解集，選擇最小年度總費用的方案與原文獻進行對比分析，見表9。由表9 可知，與文獻相比，采用NSGA-Ⅲ優化后的換熱網絡所需熱公用工程減少9.2%，冷公用工程減少13.93%，環境影響量減少9.13%，公用工程費用減少9.48%，年度總費用減少8.1%，投資回報期為0.79a。與文獻相比，采用NSGA-Ⅱ優化的改造方案所需熱公用工程減少8.5%，冷公用工程減少12.88%，環境影響量減少8.69%，公用工程費用減少8.69%，年度總費用減少4.9%，投資回報期為2.23a。從兩種算法獲得的解集中選擇最小年度總費用的改造方案，NSGA-Ⅲ的改造方案在投資成本和年度總費用明顯優于NSGA-Ⅱ的改造方案，投資費用減少61.62%，年度總費用減少3.32%，投資回報期減少64.68%。

從圖15 可以看出，對高維多目標的換熱網絡優化問題，采用NSGA-Ⅲ的改造方案節省的公用工程費用、節省的年度總費用和年度化改造收益均優于NSGA-Ⅱ的改造方案，節省的公用工程增加9.1%，節省的年度總費用增加64.5%，年度化改造收益增加5.6倍，高達4.15×105USD/a。

4 結論

本文針對換熱網絡多目標優化問題，研究比較了NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法的性能，結合具體的換熱網絡改造案例，考察了兩種算法的收斂性、運算時間、解集分布和各目標之間的關系，對兩種算法的性能和優化方案進行了深入討論，并獲得如下結論。

（1）目標之間的相關性應該被考慮到多目標算法的選擇標準中。案例1 選取能耗、環境影響量、公用工程費用以及年度總費用4個相關性較高的目標建立換熱網絡多目標模型時，NSGA-Ⅱ算法具有更好的收斂性。案例2 選取能耗、環境影響量、改造工程量、年度投資費用、公用工程費用和年度總費用建立的高維多目標換熱網絡優化模型，NSGA-Ⅲ算法具有更好的收斂性。

圖14 案例2改造后的網絡結構

表9 改造結果與文獻的對比分析

圖15 案例2中NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ得到結果的經濟性指標比較

（2）NSGA-Ⅱ運行效率受目標數量的影響較小，NSGA-Ⅲ運行效率受目標數量的影響較大。在種群數量較小、目標數量較小的條件下，NSGA-Ⅲ的運行效率略低于NSGA-Ⅱ；但在種群數量較大，或者目標數量增加的條件下，NSGA-Ⅲ的運行效率要遠低于NSGA-Ⅱ，NSGA-Ⅲ的運算時間是NSGA-Ⅱ的2倍以上。

（3）10×5 換熱網絡案例研究表明，目標相關性較高的多目標優化問題，NSGA-Ⅱ比NSGA-Ⅲ更易獲得各目標的最小值，根據最小年度總費用選擇的綜合方案，NSGA-Ⅱ與NSGA-Ⅲ獲得的最優結果的效果相近，年度總成本僅相差0.7%。與文獻相比，本文NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ均獲得了年度總費用更低的改造方案，年度總成本分別下降了14.15%～26.06%和14.75%～26.57%。7×3 換熱網絡案例研究表明，對于高維多目標換熱網絡優化問題，NSGA-Ⅲ比NSGA-Ⅱ更易獲得各目標的最小值，根據最小年度總費用選擇的綜合方案，NSGA-Ⅲ明顯優于NSGA-Ⅱ，投資成本減少61.62%，年度總費用減少3.32%，投資回報周期減少64.68%。

符號說明

A—— 換熱面積，m2

ΔA—— 現有換熱設備增加的面積，m2

AF—— 投資費用年度化因子

AC—— 面積費用系數

B—— 面積費用指數

CC—— 投資費用，USD

D—— 不銹鋼的密度，kg/m3

EC—— 能耗，kW

EI—— 環境影響量

EP—— 生態點值

FC—— 新增換熱設備的固定費用，USD

LT—— 設備使用年限，a

mex—— 換熱器質量，kg

qcu,qhu—— 分別為熱物流和冷物流上的公用工程熱負荷，kW

r—— 年利率

REQ—— 改造工程量

TAC—— 年度總費用，USD/a

UC—— 公用工程費用，USD/a

UOC—— 公用工程單位操作費用，USD/(kW·a)

w—— 工程量換算系數

Y—— 使用年限，a

z—— 換熱器存在與否的二元變量

δ—— 厚度，m

下角標

cu—— 冷公用工程

hu—— 熱公用工程

i—— 熱物流編號

j—— 冷物流編號

ss—— 不銹鋼