NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ應(yīng)用于換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化的對比

蔣寧，范偉，謝小東，郭風(fēng)元，李恩騰，趙世超

（浙江工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，浙江杭州310023）

在過程工業(yè)中，換熱網(wǎng)絡(luò)作為能量回收子系統(tǒng)，對其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計和改造，幫助企業(yè)增產(chǎn)、節(jié)能降耗、降低成本、減少污染排放等具有重要意義。換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化本質(zhì)上是多目標(biāo)優(yōu)化問題，需要綜合考慮經(jīng)濟性、環(huán)境影響、能耗等。傳統(tǒng)的換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化是采用一些數(shù)學(xué)方法將多目標(biāo)函數(shù)變成單目標(biāo)函數(shù)，然后將多目標(biāo)優(yōu)化問題簡化成單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解，常用的方法主要包括加權(quán)求和法、ε-約束和NIMBUS 等[1]。Jin 等[2]將換熱網(wǎng)絡(luò)研究中的經(jīng)濟性和環(huán)境影響度兩個目標(biāo)量綱為1化，通過加權(quán)求和的方法，將多目標(biāo)優(yōu)化問題簡化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，實現(xiàn)污染排放量下降68.07%。Francesconi 等[3]采用ε-約束簡化乙醇生產(chǎn)的換熱網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化制氫效率和換熱面積兩個目標(biāo)，可以實現(xiàn)最大面積減少50%，制氫效率下降1%。Lauukkanen等[4]采用NIMBUS 交互式方法，將換熱單元數(shù)、總換熱面積、公用工程消耗量的多目標(biāo)優(yōu)化模型，簡化成單目標(biāo)優(yōu)化問題，使案例的總費用下降32%。Sreepathi和Rangaiah[5]通過數(shù)據(jù)研究表明換熱面積、換熱單元數(shù)和公用消耗三個經(jīng)濟目標(biāo)存在相互競爭的狀態(tài)，單純的單目標(biāo)優(yōu)化不能滿足實際工況的需求，多目標(biāo)優(yōu)化得出的Pareto解集能夠提供綜合考慮的方案。

Deb[6]提出了基于非支配排序的NSGA-Ⅱ算法，該算法能夠高效快速地求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，已被廣泛應(yīng)用到換熱網(wǎng)絡(luò)的多目標(biāo)優(yōu)化研究中。Agarwal 和Gupta[7]將NSGA-Ⅱ首次引入到換熱網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化改造，并發(fā)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化得到的非支配解集的效果優(yōu)于單目標(biāo)優(yōu)化的唯一解的效果。Sreepathi和Rangaiah[8]提出再分配策略以適應(yīng)實際的換熱網(wǎng)絡(luò)改造問題，針對投資成本和公用成本建立的多目標(biāo)模型，采用NSGA-Ⅱ算法求解，最終得到了Pareto解集，該解集能夠給決策者提供更多樣的綜合方案。Lü 等[9]等考慮了年度總成本和系統(tǒng)可靠性，應(yīng)用NSGA-Ⅱ求解提出的多目標(biāo)模型，可以通過年度成本的小幅增加來實現(xiàn)換熱網(wǎng)絡(luò)耦合度的顯著降低。林露[10]綜合考慮了環(huán)境影響量、公用工程費用和投資費用的多目標(biāo)優(yōu)化模型，采用NSGA-Ⅱ算法得到Pareto前沿解，獲得了相對于文獻(xiàn)具有更低年度總費用的解，同時也提供了多個備選方案。

在超過3個目標(biāo)的高維多目標(biāo)優(yōu)化問題的研究中，NSGA-Ⅱ存在收斂性較差的問題，因此學(xué)者們引入了基于參考點選擇機制的NSGA-Ⅲ算法，計算目標(biāo)數(shù)較多的多目標(biāo)優(yōu)化問題，以有效降低計算復(fù)雜度。研究表明，NSGA-Ⅲ在求解3～15個目標(biāo)優(yōu)化問題時具有良好的表現(xiàn)[11]。Wang等[12]為了提高鋼鐵工業(yè)的產(chǎn)業(yè)體系整體性能，建立了最小化能耗、5 種污染物的減少量和經(jīng)濟成本共7 個目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化模型，采用了NSGA-Ⅲ和模糊C 均值聚類算法，給出了最佳的環(huán)境管理決策。對于NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法在求解不同的多目標(biāo)問題的性能比較仍需進(jìn)一步研究。Ishibuchi 等[13]用DTLZ來測試NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ的性能，在多目標(biāo)的測試問題上NSGA-Ⅲ并不總是優(yōu)于NSGA-Ⅱ，不同的測試問題對計算性能和結(jié)果的影響要大于目標(biāo)數(shù)量的影響。Ciro 等[14]采用NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ對生產(chǎn)系統(tǒng)中作業(yè)的總流動時間、人和機械的工作負(fù)載的多目標(biāo)模型進(jìn)行優(yōu)化，對于小尺寸實例，兩種算法具有相似的性能，對于大尺寸實例，NSGA-Ⅲ比NSGA-Ⅱ有更好的性能。

在不同的多目標(biāo)優(yōu)化問題研究中，兩種算法會呈現(xiàn)不同的性能。換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題是能源領(lǐng)域研究的重要問題，由于其不僅需要考慮到能耗、投資成本、公用工程費用等經(jīng)濟指標(biāo)，還需要考慮環(huán)境影響、改造工程量等其他指標(biāo)要求，特別是隨著環(huán)境要求和市場競爭變得越來越嚴(yán)峻的形勢下，對換熱網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化時，需要考察和關(guān)注的性能指標(biāo)也呈現(xiàn)出多樣性的特點[15]。而優(yōu)化算法是求解換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問題的關(guān)鍵之一，迫切需要開展相關(guān)研究和討論。單純根據(jù)優(yōu)化問題的目標(biāo)數(shù)量而不綜合考慮目標(biāo)的相關(guān)性，直接采用NSGA-Ⅱ或NSGA-Ⅲ是不合理的。因此，本文基于換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問題，結(jié)合具體的換熱網(wǎng)絡(luò)案例，對兩種應(yīng)用較為廣泛的多目標(biāo)優(yōu)化算法，NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ，開展了性能對比研究，測試NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法應(yīng)用于換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化的求解效果，考察不同數(shù)量目標(biāo)下兩種算法的收斂性和運算效率，探索NSGA-Ⅱ算法應(yīng)用于3個以上目標(biāo)的優(yōu)化問題的可能性，并比較NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ獲得的解集方案的實際效果。相關(guān)研究結(jié)果也可為能源領(lǐng)域其他多目標(biāo)優(yōu)化問題的研究和優(yōu)化算法選擇提供參考。

圖1 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ的選擇機制

1 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ原理

NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法如圖1 所示。NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ是基于基本遺傳算法，通過引入Pareto機制和非支配解的概念，形成了區(qū)別簡單遺傳算法的選擇機制[16]。該選擇機制充分利用個體間的支配和非支配關(guān)系，對種群進(jìn)行分層，非支配層越高的個體被選擇的概率越大；同時，為了豐富種群的多樣性，NSGA-Ⅱ通過引入擁擠度算子[17]或聚類算子[18]來計算個體之間的擁擠度距離，如圖2 所示；NSGA-Ⅲ[11,19]則通過引入?yún)⒖键c，表示期望的理想解，并通過關(guān)聯(lián)和小生境操作，忽略目標(biāo)空間中距離較近的解，從而得到一組靠近參考點的優(yōu)化解集，如圖3所示。

1.1 NSGA-Ⅱ擁擠度距離算子

NSGA-Ⅱ為了實現(xiàn)在執(zhí)行選擇的過程中，同一層的個體會因較大的擁擠度距離有更高的概率被選入到下一代的種群中，個體擁擠距離是目標(biāo)空間上與i 相鄰的2 個體i+1 和i-1 之間的距離如圖2 所示，其計算步驟如下[17]。

圖2 擁擠距離計算

圖3 參考點機制

（1）對同層的個體初始化距離。令L[i]d=0，其中L[i]d表示任意個體i的擁擠距離。

（2）對同層的個體按第m個目標(biāo)函數(shù)值升序排列。

（3）排序邊緣上的個體具有選擇優(yōu)勢，令L[0]d=L[I]d=∞。

（4）對排在中間的個體，求擁擠距離，可由式(1)得到。

其中，L[i+1]m為第i+1個體的第m目標(biāo)函數(shù)值，和分別為集合中第m 目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值。

（5）對不同的目標(biāo)函數(shù)重復(fù)步驟(2)～(4)，得到個體i 的擁擠距離L[i]d，通過優(yōu)先選擇擁擠距離較大的個體，使計算結(jié)果子目標(biāo)的空間分布比較均勻，以維持種群的多樣性。

1.2 NSGA-Ⅲ參考點機制

引入基于參考點的NSGA-Ⅲ，通過預(yù)先定義跨越整個Pareto前沿的一組搜索方向，并且每個方向執(zhí)行多次搜索，從而獲得廣泛分布在Pareto最優(yōu)前沿上的最佳解集；同時預(yù)定義多個參考點來替代搜索方向，利用對應(yīng)于每個參考點的解以獲得廣泛分布的Pareto最優(yōu)解集，其中歸一化操作是參考點機制的核心，具體步驟如下[11,19]。

（1）計算理想點，針對M 維的多目標(biāo)優(yōu)化問題，分別求取種群在目標(biāo)每個維度上的最小值，將這些最小值zi,min構(gòu)成的集合定義為理想點集Zmin[式(2)]。

（2）轉(zhuǎn)譯目標(biāo)值fi′(x)[式(3)]，為創(chuàng)建線性超平面并求取每個目標(biāo)軸上的截距，采用St目標(biāo)值f1減去每個目標(biāo)的理想點zm,min的方法對所有目標(biāo)值進(jìn)行轉(zhuǎn)譯，得到轉(zhuǎn)譯種群S′t。

（3）計算各目標(biāo)的極值點zi,max，采用標(biāo)量化函數(shù)（ASF）計算出每個目標(biāo)值在某i 維目標(biāo)方向上的投影值并找出每個x在第i維目標(biāo)的最大投影值，從最大投影值中選擇最值對應(yīng)的x 為第i 維目標(biāo)的極值點zi,max[式(4)]。

（4）構(gòu)建線性超平面并計算截距ɑi，實現(xiàn)種群個體目標(biāo)值的歸一化，根據(jù)線性超平面的通用方程[式(5)]將每個維度上的極值點Zmax代入上述方程，得到超平面具體的形式，進(jìn)而求得該超平面與每個維度方向的截距ɑi。

（5）種群目標(biāo)值歸一化，每個個體目標(biāo)值歸一化公式如式(6)。

其中，上角標(biāo)n表示歸一化。

通過關(guān)聯(lián)操作，在歸一化的目標(biāo)空間內(nèi)，將距離種群個體s最近的參考線w對應(yīng)的參考點定義與s關(guān)聯(lián)。種群個體與參考點關(guān)聯(lián)示意圖（以3維目標(biāo)10個結(jié)構(gòu)化參考點為例），如圖3所示。

2 換熱網(wǎng)絡(luò)的多目標(biāo)優(yōu)化改造問題

2.1 模型與約束

本文沿用Yee 和Grossman[20]所提出的分級超結(jié)構(gòu)模型，同時取消了超結(jié)構(gòu)模型中的非等溫混合假設(shè)。本文優(yōu)化改造滿足熱平衡約束、質(zhì)量守恒約束、傳熱方程、過程物流非等溫混和能量平衡、流股的入口溫度約束、可行性溫差約束、最小傳熱溫差約束[21]。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化改造問題，通常涉及的性能評價指標(biāo)包括以下方面。

（1）最小能耗

換熱網(wǎng)絡(luò)需要在冷、熱流股末端配置公用工程換熱器，以實現(xiàn)流股終端溫度符合工藝要求。其中，公用工程換熱器的能耗反映了換熱網(wǎng)絡(luò)需要消耗多少公用工程負(fù)荷，包括熱公用工程負(fù)荷和冷公用工程負(fù)荷。其表達(dá)式如式(7)所示。

式中，qcui、qhuj分別表示第i股熱過程流體上的冷公用工程負(fù)荷、第j 股冷過程流體上的熱公用工程負(fù)荷。

（2）最小環(huán)境影響量

本文基于ISO 14040/44，采用LCA方法中最新的ReCiPe 指標(biāo)[22]進(jìn)行建模，環(huán)境影響數(shù)據(jù)取自于EcoInvent v 3.2 生命周期清單數(shù)據(jù)庫。對于冷公用工程（通常為冷卻水），將原始數(shù)據(jù)的單位轉(zhuǎn)化為points/(kW·a)以便案例使用。為簡化模型的復(fù)雜程度，此處假設(shè)所采用的換熱器的材料均為不銹鋼，設(shè)備運行時間為8000h/a，換熱器的質(zhì)量（mex）可由式(8)計算得到。

式中，A、δ 和D 分別代表換熱器面積、厚度和不銹鋼密度；根據(jù)文獻(xiàn)[20]推薦，厚度δ 和不銹鋼密度D分別取5.0×10-3m和7900kg/m3。

本文建立的環(huán)境影響目標(biāo)函數(shù)，其包括冷、熱公用工程的產(chǎn)生以及換熱器的生產(chǎn)所帶來的環(huán)境影響。可由式(9)計算得到。

式中，EP、m 和LT 分別表示生態(tài)點值、換熱器質(zhì)量和設(shè)備使用年限；z 表示換熱器存在與否的二元變量；下角標(biāo)cu、hu 和ss 分別表示冷、熱公用工程和不銹鋼（stainless steel）。

（3）改造工程量

改造工程量（retrofit engineering quantity，REQ）指標(biāo)，反映對現(xiàn)有換熱網(wǎng)絡(luò)實施不同的改造工程的相對難易程度。換熱網(wǎng)絡(luò)改造過程一般包括：新布管、移動原有換熱設(shè)備、改變物流間的匹配關(guān)系、原有換熱設(shè)備面積的增減和新增換熱器等。根據(jù)實際的換熱網(wǎng)絡(luò)改造所面臨的工況，并根據(jù)是否增加新的匹配關(guān)系。具體的改造工程量分為：回用原網(wǎng)絡(luò)的換熱器（包括增加面積和減少面積兩種情況）、移動回用的原網(wǎng)絡(luò)的換熱器（包括用于原有匹配關(guān)系和新增匹配關(guān)系兩種情況）、需要新增換熱器（包括用于原有匹配關(guān)系和新增匹配關(guān)系兩種情況）和設(shè)置旁路，每種改造工程需要的工程量系數(shù)見表1。則總的改造工程量可由式(10)計算得到：

其中，w1、w2、w3、w4、w5、w6和w7分別代表7個分項的工程量系數(shù)（表1）；n1、n2、n3、n4、n5、n6和n7分別代表7個分項以自然計數(shù)單位表示的需要實施的改造工程量。

（4）最小年度投資費用

換熱網(wǎng)絡(luò)改造過程的投資成本（capital cost，CC），包括現(xiàn)有換熱器增加面積的改造費用、新增換熱器的費用，其函數(shù)表達(dá)式如式(11)所示。

式中，nn、na分別代表新增換熱器數(shù)目和增加面積的現(xiàn)有換熱器數(shù)目；FC、ACn、Bn和ACa、Ba分別代表新增換熱器的成本計算參數(shù)和現(xiàn)有換熱器增加面積的成本計算參數(shù)；AF 是指改造投資費用的年度因子，其計算方法如式(12)。

其中，r、Y分別代表年利率和使用年限。

（5）最小年度公用工程費用

公用工程費用（utility cost，UC）包括熱公用工程的消耗費用和冷公用工程所帶來的費用，其目標(biāo)函數(shù)如式(13)所示。

式中，UOCcu、UOChu分別表示冷、熱公用工程的單位操作成本；qcui、qhuj分別表示第i股熱過程流體上的冷公用工程負(fù)荷、第j 股冷過程流體上的熱公用工程負(fù)荷。

（6）最小年度總費用

年度總費用（total annual cost）一般由公用工程費用和投資費用兩部分構(gòu)成。換熱網(wǎng)絡(luò)改造通過增加新的設(shè)備投資，盡可能經(jīng)濟地回收物流的有效能量，以達(dá)到減少公用工程能耗的目的。從操作成本和投資成本的角度綜合權(quán)衡，得到換熱網(wǎng)絡(luò)的總費用，可由式(14)計算得到。

3 案例及性能分析

將NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種多目標(biāo)算法應(yīng)用于換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問題的研究，比較兩種算法的收斂性、運算效率、解集分布和案例結(jié)果。本文的NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法基于MATLAB2018b編寫，初始參數(shù)設(shè)定為：種群大小為200，最大進(jìn)化代數(shù)200，交叉和變異概率分別為0.8和0.005。

3.1 案例1

本文對文獻(xiàn)[23]的原油蒸餾系統(tǒng)進(jìn)行研究，案例包含10條熱物流和5條冷物流，其物流數(shù)據(jù)與相關(guān)費用參數(shù)如表2和表3所示，初始的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖4 所示。原始換熱網(wǎng)絡(luò)消耗熱公用工程9.537×104kW/a，冷公用工程5.792×104kW/a，環(huán)境影響量為1.797×107pts/a，產(chǎn)生的公用工程費用為1.393×107USD/a。

表1 分項間的工程量換算系數(shù)

表2 物流數(shù)據(jù)參數(shù)及生態(tài)點取值

表3 各項費用的相關(guān)參數(shù)

3.1.1 收斂性比較

通過選擇測試不同數(shù)量的目標(biāo)，研究NSGA-Ⅱ算法和NSGA-Ⅲ算法在不同目標(biāo)數(shù)量的換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中的收斂性，采用每一代所有個體的平均歐式距離來衡量迭代的收斂程度。如圖5和圖6為不同數(shù)量的目標(biāo)情況下NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法的收斂曲線，可以看出歐式距離隨著迭代次數(shù)的增加，歐式距離的值最終趨于0，最終收斂曲線越來越平緩，這說明在迭代過程中，NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法都逐漸收斂，解集逐漸趨于穩(wěn)定。從圖5所示的NSGA-Ⅱ算法的收斂曲線，目標(biāo)個數(shù)為2、3、4個時，NSGA-Ⅱ算法的收斂速度都比較快，進(jìn)化約30～40 代，已基本收斂；在算法初期，目標(biāo)數(shù)為2個和3個時的收斂趨勢優(yōu)于目標(biāo)數(shù)為4 個時的情況；目標(biāo)個數(shù)為2、3、4 個時，NSGA-Ⅱ算法最終都能實現(xiàn)較好的收斂效果。從圖6所示的NSGA-Ⅲ算法的收斂曲線，目標(biāo)數(shù)為2個和4個時的收斂速度比目標(biāo)數(shù)為3個時更快；目標(biāo)數(shù)為2和4個時，進(jìn)化約50代之后基本收斂，而目標(biāo)數(shù)為3 個時，進(jìn)化150 代之后才收斂；目標(biāo)個數(shù)為2、3、4個時，NSGA-Ⅲ算法最終也能達(dá)到較好的收斂效果。Deb等[11]認(rèn)為NSGA-Ⅲ在求解大于3個目標(biāo)的優(yōu)化問題有良好表現(xiàn)，而NSGA-Ⅱ不具備優(yōu)化大于3個目標(biāo)的優(yōu)化問題的能力。如圖7所示，NSGA-Ⅱ算法在求解4個目標(biāo)的換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問題時，算法也可以實現(xiàn)收斂；用NSGA-Ⅱ求解能耗、環(huán)境影響量、公用工程費用以及年度總費用4個相關(guān)性較高目標(biāo)的優(yōu)化問題時，其收斂性優(yōu)于NSGA-Ⅱ求解環(huán)境影響量、改造工程量、投資費用和公用工程費用4個目標(biāo)相關(guān)性較低的優(yōu)化問題的收斂性，收斂曲線更加平滑。NSGA-Ⅲ算法在求解4個目標(biāo)相關(guān)性較高和相關(guān)性較低的多目標(biāo)優(yōu)化問題，都能保證收斂；而NSGA-Ⅱ算法的收斂性則受目標(biāo)相關(guān)性和目標(biāo)數(shù)量的共同影響。由于NSGA-Ⅲ算法采用了基于參考點的選擇機制，在高維目標(biāo)的收斂性要明顯優(yōu)于NSGA-Ⅱ算法。因此，對于換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問題，NSGA-Ⅱ算法的應(yīng)用并不嚴(yán)格地受限于3個目標(biāo)的最大目標(biāo)數(shù)量，NSGA-Ⅱ在求解大于3個目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問題時也可能具有良好的性能，目標(biāo)數(shù)量并非選擇NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)，特別是對于相關(guān)性較高的多目標(biāo)優(yōu)化問題，可以采用NSGA-Ⅱ算法實現(xiàn)快速尋優(yōu)。

圖4 案例1現(xiàn)有原油蒸餾系統(tǒng)換熱網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖5 NSGA-Ⅱ的收斂曲線

圖6 NSGA-Ⅲ的收斂曲線

圖7 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法用于4個相關(guān)目標(biāo)和不相關(guān)目標(biāo)的收斂曲線

3.1.2 運行效率比較

圖8 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ運行時間的關(guān)系圖

如圖8 所示，NSGA-Ⅱ在種群數(shù)量200 的條件下，目標(biāo)數(shù)為2、3、4的運行時間持平；同時隨著種群數(shù)量增多后，例如在種群數(shù)量為400 的條件下，不同目標(biāo)數(shù)的運行效率的差距不大。NSGA-Ⅲ在種群數(shù)量200 的條件下，目標(biāo)數(shù)為2、3、4 的運行時間差距較大，尤其是在目標(biāo)數(shù)為4 的條件下，運行時間是目標(biāo)數(shù)為2的運行時間的近2倍；當(dāng)種群數(shù)量增加到400 時，目標(biāo)數(shù)為2 的運行時間已高達(dá)1930s，是種群200、目標(biāo)數(shù)為2 的運行時間的2.3 倍。相同的種群數(shù)量，NSGA-Ⅲ的運行效率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于NSGA-Ⅱ的運行效率，在目標(biāo)數(shù)為4，種群數(shù)量為200時，NSGA-Ⅲ的運行時間是NSGA-Ⅱ的2.7 倍；在目標(biāo)數(shù)為4，種群數(shù)量為400 時，NSGA-Ⅲ的運行時間時NSGA-Ⅱ的2.1倍。在目標(biāo)數(shù)為2和3的條件下，隨著種群數(shù)量的增加，兩種算法之間的運算時間差距越來越大。在目標(biāo)數(shù)為4的條件下，隨著種群數(shù)量的增加，兩種算法之間的運算時間差距變化不大，這主要是因目標(biāo)數(shù)量增加帶來的計算復(fù)雜度已超過種群數(shù)量計算所帶來的影響。

3.1.3 解集分布及目標(biāo)之間關(guān)系

選取環(huán)境影響量、改造工程量、投資成本和公用工程費用4個目標(biāo)，考察解集的分布和任意兩個目標(biāo)之間的關(guān)系，如圖9 所示。圖9(a)反映了環(huán)境影響量和改造工程量的關(guān)系，改造工程量隨著環(huán)境影響量的增大而減小；從解集的分布情況來看，靠近原點的解集中，NSAG-Ⅱ得到的解集的數(shù)量更多，有利于獲得更低的環(huán)境影響量和改造工程量。圖9(b)反映了環(huán)境影響量和投資成本的關(guān)系，投資成本越大，整個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化較大，獲得部分更節(jié)能的結(jié)構(gòu)，所需要的冷熱公用工程負(fù)荷更少，從而環(huán)境影響量更小。從解集的分布來看，NSGA-Ⅲ算法得到的解集更靠近原點，說明NSGA-Ⅲ解集中可以獲得具有更低投資成本和環(huán)境影響量的解。圖9(c)反映環(huán)境影響量和公用工程費用的關(guān)系，公用工程費用和環(huán)境影響量呈明顯的線性關(guān)系，同時NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ都有數(shù)量相當(dāng)?shù)慕饧植荚诟〉墓霉こ毯铜h(huán)境影響量的范圍。圖9(d)反映了投資成本和改造工程量的關(guān)系，從圖中無法看出這兩個目標(biāo)之間的關(guān)系，說明投資成本和改造工程量之間的相關(guān)性較低。圖9(e)反映了改造工程量和公用工程費用的關(guān)系，隨著改造工程量的增加，公用工程費用顯著減小，這是因為改造工程量越大，對原始換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的調(diào)整越大，優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)導(dǎo)致所需的公用工程負(fù)荷減少，從而降低了公用工程費用；從解集分布上來看，NSGA-Ⅱ算法的解集分布更靠近原點，更容易獲得改造工程量更低和公用工程費用更小的解。圖9(f)反映了投資成本和公用工程費用的關(guān)系，投資成本越大，公用工程費用越小，這主要是因為，對原始的網(wǎng)絡(luò)通過新增換熱器、增大換熱器的換熱面積以及重新布管所產(chǎn)生的費用越大，優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的效果也更明顯，以此來實現(xiàn)更加節(jié)能的換熱匹配布局；從解集分布上來看，NSGA-Ⅲ算法得到的解集更靠近原點，可以獲得具有更低投資成本和公用工程費用的解。

3.1.4 目標(biāo)函數(shù)性能的比較

從NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法優(yōu)化得到解集中，選出各目標(biāo)的最小值，結(jié)果見表4。單一目標(biāo)的最小值反映出各個評價目標(biāo)函數(shù)的極值情況。從單一目標(biāo)上來看，NSGA-Ⅱ得到的最小能耗、最小環(huán)境影響量、最小改造工程量、最小投資費用和最小公用工程費用要比NSGA-Ⅲ要小，其中最小能耗減少1.4%，最小環(huán)境影響量減少1%，最小改造工程量減少25.2%，最小投資費用減少14%，最小公用工程費用減少1%。

圖10 給出了采用NSGA-Ⅱ優(yōu)化所得到的具有最小年度總成本的改造方案，其中物流上方正體數(shù)字表示溫度的分布，單位為℃；斜體表示流股的熱容流率；公用工程為冷熱流股的出口的換熱器；換熱器面積括號內(nèi)的數(shù)值為在原有換熱器的基礎(chǔ)上進(jìn)行的面積增減值。從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖中，可以看出該改造方案回用了15 臺換熱器，其中共增加換熱面積180.17m2，共需費用11.21×104USD；新增5 臺換熱器，共需費用28.16×105USD；其中有15 臺需要改變原有的匹配關(guān)系，但本案例原始網(wǎng)絡(luò)未考慮布管和變動匹配所帶來的費用，因此忽略該部分的成本。所以改造過程所帶來的改造投資總費用為29.28×105USD，年度化投資費用為5.86×105USD/a。通過與原始案例相比，從節(jié)能的角度分析，改造后的換熱網(wǎng)絡(luò)每年所需的熱公用工程為6.61×104kW/a，冷公用工程2.88×104kW/a，較原有換熱網(wǎng)絡(luò)分別減少了30.66% 和50.26%，總能耗減少了5.83×104USD/a，降至9.49×104kW/a，降幅為58.35%，公用工程費用減少至9.55×106USD/a。綜上所述，該方案的投資回報期為0.22年。從環(huán)境角度分析，原有換熱網(wǎng)絡(luò)經(jīng)優(yōu)化改造后，環(huán)境影響量從1.797×107pts/a降低至1.24×107pts/a，降幅為30.76%。

表4 兩種算法優(yōu)化方案各目標(biāo)最小值

圖9 NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法的目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系

將本文采用NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法優(yōu)化的結(jié)果，與以往的文獻(xiàn)進(jìn)行對比分析，具體情況見表5。由表5 可知，與文獻(xiàn)相比，采用NSGA-Ⅱ改造后的換熱網(wǎng)絡(luò)每年所需熱公用工程減少16.75%～29.53%，冷公用工程減少31.10%～49.03%，因而年公用費用成本降低16.96%～30.65%，年度總費用TAC 減少14.15%～26.06%。采用NSGA-Ⅲ改造后的換熱網(wǎng)絡(luò)每年所需熱公用工程減少15.87%～28.78%，冷公用工程減少29.43%～47.79%，因而年公用費用成本降低16.09%～29.92%，年度總費用TAC 減少14.75%～26.57%。從具有最小年度總費用的改造方案來看，NSGA-Ⅱ與NSG-Ⅲ獲得的改造方案相比，熱公用下降1%，冷公用下降2.3%，環(huán)境影響量下降0.4%，公用工程費下降0.5%，投資成本上升42.75%，年度總費用僅上升0.7%。

圖10 案例1改造后的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

表5 改造結(jié)果與文獻(xiàn)對比分析

圖11 本文工作與文獻(xiàn)的經(jīng)濟性指標(biāo)比較

從圖11 可以看出，本文NSGA-Ⅱ的改造方案節(jié)省的公用工程費用和獲得的年度化改造收益都比以往研究得到的改造方案更好，NSGA-Ⅱ的改造方案節(jié)省的公用工程費用要略優(yōu)于NSGA-Ⅲ的改造方案，NSGA-Ⅲ改造方案的年度化改造收益要略優(yōu)于NSGA-Ⅱ的改造方案。

3.2 案例2

本文對文獻(xiàn)[25]的原油精餾系統(tǒng)進(jìn)行研究，案例包含7條熱物流和3條冷物流，其物流數(shù)據(jù)與相關(guān)費用參數(shù)見表6、表7，初始的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖12 所示。原始換熱網(wǎng)絡(luò)消耗熱公用工程1.0×105kW/a，冷公用工程6.6×104kW/a，環(huán)境影響量為2.289×107pts/a，產(chǎn)生的公用工程費用為6.33×106USD/a。換熱器的總傳熱系數(shù)為0.4kW/(m2·℃)。

3.2.1 收斂性比較

對該換熱網(wǎng)絡(luò)建立高維多目標(biāo)優(yōu)化模型，綜合考慮了能耗、環(huán)境影響量、改造工程量、年度投資費用、公用工程費用和年度總費用。NSGA-Ⅱ算法和NSGA-Ⅲ算法求解換熱網(wǎng)絡(luò)高維多目標(biāo)優(yōu)化模型的收斂性，如圖13 所示。采用NSGA-Ⅲ算法得到的收斂曲線比NSGA-Ⅱ算法更加平穩(wěn)，但兩種算法都實現(xiàn)了收斂。該案例再次說明對于換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問題，NSGA-Ⅱ算法的應(yīng)用不嚴(yán)格地受限于目標(biāo)的數(shù)量，對于6個目標(biāo)的高維多目標(biāo)換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題，NSGA-Ⅱ也實現(xiàn)了收斂。

表6 物流數(shù)據(jù)參數(shù)及生態(tài)點取值

表7 各項費用的相關(guān)參數(shù)

3.2.2 目標(biāo)函數(shù)性能的比較

分別采用NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法進(jìn)行求解，得到各目標(biāo)的最小值，結(jié)果見表8。從單一目標(biāo)上來看，NSGA-Ⅲ算法得到的最小能耗、最小環(huán)境影響量、最小投資費用、最小公用工程費用和最小年度總費用這5 個目標(biāo)的最小值均優(yōu)于NSGA-Ⅱ算法得到的目標(biāo)最小值，其中最小能耗下降3.0%，最小環(huán)境影響量下降2.4%，最小投資成本下降61.7%，最小公用工程費用下降2.5%，最小年度總費用下降3.3%。NSGA-Ⅱ算法的最小改造工程量為15.6，比NSGA-Ⅲ算法的最小改造工程量下降21.2%。

圖12 案例2現(xiàn)有換熱網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

表8 兩種算法優(yōu)化方案各目標(biāo)最小值

圖13 案例2 中NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法的收斂曲線

圖14 給出了采用NSGA-Ⅲ算法優(yōu)化得到的最小年度總費用的改造方案，該改造方案回用了11臺換熱器，其中增加換熱面積87.66m2，共需費用2.63×104USD；新增8 臺換熱器，共需費用4.46×105USD；移動和布管的費用共需2250USD，該改造方案的總投資費用為4.74×105USD，年度化投資費用為9.48×104USD/a。將NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)問題得到的解集，選擇最小年度總費用的方案與原文獻(xiàn)進(jìn)行對比分析，見表9。由表9 可知，與文獻(xiàn)相比，采用NSGA-Ⅲ優(yōu)化后的換熱網(wǎng)絡(luò)所需熱公用工程減少9.2%，冷公用工程減少13.93%，環(huán)境影響量減少9.13%，公用工程費用減少9.48%，年度總費用減少8.1%，投資回報期為0.79a。與文獻(xiàn)相比，采用NSGA-Ⅱ優(yōu)化的改造方案所需熱公用工程減少8.5%，冷公用工程減少12.88%，環(huán)境影響量減少8.69%，公用工程費用減少8.69%，年度總費用減少4.9%，投資回報期為2.23a。從兩種算法獲得的解集中選擇最小年度總費用的改造方案，NSGA-Ⅲ的改造方案在投資成本和年度總費用明顯優(yōu)于NSGA-Ⅱ的改造方案，投資費用減少61.62%，年度總費用減少3.32%，投資回報期減少64.68%。

從圖15 可以看出，對高維多目標(biāo)的換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題，采用NSGA-Ⅲ的改造方案節(jié)省的公用工程費用、節(jié)省的年度總費用和年度化改造收益均優(yōu)于NSGA-Ⅱ的改造方案，節(jié)省的公用工程增加9.1%，節(jié)省的年度總費用增加64.5%，年度化改造收益增加5.6倍，高達(dá)4.15×105USD/a。

4 結(jié)論

本文針對換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)優(yōu)化問題，研究比較了NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ兩種算法的性能，結(jié)合具體的換熱網(wǎng)絡(luò)改造案例，考察了兩種算法的收斂性、運算時間、解集分布和各目標(biāo)之間的關(guān)系，對兩種算法的性能和優(yōu)化方案進(jìn)行了深入討論，并獲得如下結(jié)論。

（1）目標(biāo)之間的相關(guān)性應(yīng)該被考慮到多目標(biāo)算法的選擇標(biāo)準(zhǔn)中。案例1 選取能耗、環(huán)境影響量、公用工程費用以及年度總費用4個相關(guān)性較高的目標(biāo)建立換熱網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)模型時，NSGA-Ⅱ算法具有更好的收斂性。案例2 選取能耗、環(huán)境影響量、改造工程量、年度投資費用、公用工程費用和年度總費用建立的高維多目標(biāo)換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型，NSGA-Ⅲ算法具有更好的收斂性。

圖14 案例2改造后的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

表9 改造結(jié)果與文獻(xiàn)的對比分析

圖15 案例2中NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ得到結(jié)果的經(jīng)濟性指標(biāo)比較

（2）NSGA-Ⅱ運行效率受目標(biāo)數(shù)量的影響較小，NSGA-Ⅲ運行效率受目標(biāo)數(shù)量的影響較大。在種群數(shù)量較小、目標(biāo)數(shù)量較小的條件下，NSGA-Ⅲ的運行效率略低于NSGA-Ⅱ；但在種群數(shù)量較大，或者目標(biāo)數(shù)量增加的條件下，NSGA-Ⅲ的運行效率要遠(yuǎn)低于NSGA-Ⅱ，NSGA-Ⅲ的運算時間是NSGA-Ⅱ的2倍以上。

（3）10×5 換熱網(wǎng)絡(luò)案例研究表明，目標(biāo)相關(guān)性較高的多目標(biāo)優(yōu)化問題，NSGA-Ⅱ比NSGA-Ⅲ更易獲得各目標(biāo)的最小值，根據(jù)最小年度總費用選擇的綜合方案，NSGA-Ⅱ與NSGA-Ⅲ獲得的最優(yōu)結(jié)果的效果相近，年度總成本僅相差0.7%。與文獻(xiàn)相比，本文NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ均獲得了年度總費用更低的改造方案，年度總成本分別下降了14.15%～26.06%和14.75%～26.57%。7×3 換熱網(wǎng)絡(luò)案例研究表明，對于高維多目標(biāo)換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題，NSGA-Ⅲ比NSGA-Ⅱ更易獲得各目標(biāo)的最小值，根據(jù)最小年度總費用選擇的綜合方案，NSGA-Ⅲ明顯優(yōu)于NSGA-Ⅱ，投資成本減少61.62%，年度總費用減少3.32%，投資回報周期減少64.68%。

符號說明

A—— 換熱面積，m2

ΔA—— 現(xiàn)有換熱設(shè)備增加的面積，m2

AF—— 投資費用年度化因子

AC—— 面積費用系數(shù)

B—— 面積費用指數(shù)

CC—— 投資費用，USD

D—— 不銹鋼的密度，kg/m3

EC—— 能耗，kW

EI—— 環(huán)境影響量

EP—— 生態(tài)點值

FC—— 新增換熱設(shè)備的固定費用，USD

LT—— 設(shè)備使用年限，a

mex—— 換熱器質(zhì)量，kg

qcu,qhu—— 分別為熱物流和冷物流上的公用工程熱負(fù)荷，kW

r—— 年利率

REQ—— 改造工程量

TAC—— 年度總費用，USD/a

UC—— 公用工程費用，USD/a

UOC—— 公用工程單位操作費用，USD/(kW·a)

w—— 工程量換算系數(shù)

Y—— 使用年限，a

z—— 換熱器存在與否的二元變量

δ—— 厚度，m

下角標(biāo)

cu—— 冷公用工程

hu—— 熱公用工程

i—— 熱物流編號

j—— 冷物流編號

ss—— 不銹鋼