基于多塊體的非對稱雙層臨坡地基上限承載力

楊博銘

（湖南大學設計研究院有限公司，湖南長沙410082）

臨坡地基承載力，既可看作地基極限承載力問題，也可看作邊坡整體穩定性問題.臨坡地基與水平地基的區別在于：臨坡地基的承載力受到坡體的幾何特性以及邊坡土體的物理力學性質的共同影響和制約.因此推導能綜合考慮臨坡地基影響因素的承載力計算方法是解決工程實際問題的有效途徑.

目前，在進行臨坡地基設計時，沒有相關規范可以參考，絕大多數工程問題都是采用在水平地基極限承載力公式的基礎上乘以一個修正系數的方法[1].這樣的經驗計算方法的可靠性、合理性以及經濟性在一定程度上很難實現定量把控[2-3].關于臨坡地基極限承載力研究，可分為以下三類：第一類是在平地地基的基礎上進行研究[4-6]，考慮坡面傾斜系數來進行折減修正，其計算簡單，力學理論清晰明了，但是折減系數的確定沒有理論公式支持，僅根據經驗取值，缺乏一定的科學性.第二類就是直接以臨坡坡體為研究對象，充分考慮其破壞模式的非對稱性，但是其理論基礎還是固體介質力學，這樣導致計算結果與工程實際存在一定差距[7-8].第三類就是通過實驗來處理工程問題[9-11].雖然實驗的結果與工程實際更加接近，但是造價以及時間成本是制約其發展的主要因素.上述極限承載力計算方法，在工程應用中計算值可能過于保守，造成浪費，或者因承載力不足而導致工程事故.綜上，完善臨坡地基設計理論、計算方法，在保證建筑物安全的前提下，優化工程設計參數、降低工程造價具有重要的經濟效益和社會效益.

在臨坡地基破壞機理、破壞模式研究方面，Kusakabe 等[12]、Mizuno 等[13]認為臨坡地基單側破壞模式的破壞機構由3 個滑塊組成，即基礎下的三角形主動破壞區、中間過渡區和被動滑塊區，且認為基礎底下的主動區為對稱的三角形.但是，對于中間過渡區，不同學者又有不同的觀點，Kusakabe 認為是對數螺旋線而Castelli 等認為是圓弧滑動面并延伸到坡面[14]；對于主動破壞區，王曉謀等[15]利用有限元法提出基礎底下的彈性區應為不對稱的三角形.同時魏學勇等[16]還提出應該考慮基礎內側土體應力分布對基礎承載力的影響.

對于非均質的臨坡地基承載力的研究，部分學者給出了相應的研究方法.胡衛東等[17]考慮了臨坡地基的分層性以及非對稱性，但是沒有考慮到內摩擦角對臨坡地基承載力的影響，也沒有考慮基礎與土體之間的相對滑動對承載力的影響；秦會來等[18]考慮了地基的分層特性，但其計算方法是基于水平地基的.因此，本文在條形基礎荷載作用下，將多塊體理論運用于臨坡地基，考慮臨坡地基破壞模式的非對稱性與地基土體的成層性，同時考慮了土層分層界面處上、下土層的速度間斷性，以及基礎與土體之間的相對滑動，來建立臨坡地基的多塊體破壞模型及其相應允許的速度矢量場.引入極限分析理論，推導了非對稱雙層臨坡地基上限承載力計算方法.

1 臨坡雙層地基破壞模式的確定

1.1 多塊體上限分析法

多塊體上限分析法是極限分析法的一種，其基本理論為：對于任何運動許可的破壞機構，其內能耗散率可用式（1）進行描述[19].

式中：Ti為邊界面S 上面積分布力矢量；Xi為區域V內體積力矢量；εij是基于運動許可速度場的塑性應變率場；σij是滿足流動法則并與εij相關聯的應力場；vi是運動許可速度場，即與εij滿足幾何相容的速度場.

在本文計算模型中，外力功的功率應包括：重力功的功率、基礎傳遞荷載功的功率和考慮埋深的超載功率；對應的內能耗散的功率應包括：塊體間速度間斷面的內能耗散率和基礎底面摩擦消耗的內能.

1.2 雙層臨坡地基中多塊體上限法的破壞模式

破壞模式決定了相容速度場的分布從而決定了內能耗散率.相比于雙側破壞模式，單側破壞模式計算臨坡地基承載力偏于安全，且與工程實際更加接近.為了能夠充分體現分層界面處速度的間斷性，本文采用如圖1 所示的破壞模式，并建立如圖1 所示的坐標系：基礎中心點O 為坐標原點，水平向右、豎直向下分別為x 軸、y 軸正方向.

如圖1 所示，根據臨坡地基單側破壞機理，破壞模式由n 個剛性三角形組成.為便于敘述，分別做如下規定：滑動面記為A123456…n，沿著滑動面上的節點1、2、…、n 記為外部節點；外部節點與坐標原點相連的線段稱為主斜線（如O71）；水平地層分界線與主斜線的交點用n+1、n+2、2n 來標記，記為內部節點；條塊標示用①②③…表示，條形基礎正下方的三角形條塊為條塊①；連接主斜線的線段稱為輔斜線（如72）；位于滑裂面上的輔斜線稱為底輔斜線（如12）；滑動面上的 n 個大三角形（△O12、△O23…）以原點為頂角，且頂角分別設定為 α1、α2、α3…；底輔斜線與豎直線的夾角（順時針）為 β1、β2、β3…；破壞面上的底輔斜線長為 c1、c2、c3…；輔斜線長為 p1、p2、p3；主斜線長為 l1、l2、l3.

圖1 破壞模式Fig.1 Collapse model

在圖1 中，對于水平層狀土，若主斜線li位于兩層土中則其長度分別表示位于上層土的長度和位于下層土的長度.大三角形被輔斜線分為兩個三角形，三角形編號如圖1 所示，三角形的面積分別表示為S1、S2、S3….土層分界線將偶數編號的三角形面積分為上、下層土的面積之和即Si=為上層土中三角形的面積，為下層土中的面積.編號為奇數的三角形都位于下層土中，下層土中四邊形面積被輔斜線分為左右兩個三角形，分別用表示其面積.

1.3 幾何參數的求解

已知條件：條形基礎的寬度d、基礎外沿距坡頂距離 l=ad（a 為距離比系數）、可變參量 αi和 βi、上層黏土的厚度h.根據圖1 所示幾何關系，可分別求出其他幾何參數.

主斜線長度見式（2）.

底輔斜線長度 ci見式（5）（6）.

當 i>2 時采用式（7）計算.

對于條形基礎下的三角形滑塊1，如果土層分層線通過底輔斜線A1 時，同理可將A 1 的長分解為.

輔斜線的長度為Pi，由余弦定理：a2+ b2- 2ab cos C=c2，可以推出 pi，見式（10）.

大三角形滑塊的面積 Sαi見式（11）.

當i 為偶數時：

當 i 為奇數且 i ＞ 1 時：

邊坡表面傾斜且無限延伸，坡角為η，則邊坡表面最外側的三角形滑塊，根據幾何關系即可確定其幾何參數，如圖1 所示三角形內角分別為ξ、ω、υ，三者之和為180°.

上述分析過程，構建出了條形基礎下的非對稱臨坡雙層地基的多滑塊破壞模型.該模型既能充分反映地基破壞時的非對稱性，又能充分體現在地基分層界面處塊體的速度間斷的特性，為本文計算臨坡分層地基在條形基礎荷載作用下的極限承載力的合理性打下基礎.與此同時，為了保證單側滑塊的破壞模式的形成，塊體的幾何條件應滿足下述條件的約束：滑塊頂角總和應等于π-ω，當臨坡地基無限接近水平地基時，ω 為0，滑塊頂角總和為π；為保證計算精度，將臨坡地基分為n 個剛性三角形（n ＞1），即αi＜π/2；當臨坡地基無限接近水平地基時ξ 為0，因此 ξ ＞ 0.

2 機動允許速度矢量場的確定

2.1 基本假定

根據條形基礎下的臨坡地基的幾何參數，以及本文研究的具體情況，在確定臨坡雙層非對稱地基承載力上限值所允許的速度矢量時，做如下假定：

1）土體服從Mohr-Coulomb 屈服準則以及相關流動法則；

2）考慮條形基礎基底和土體的相對滑動，其外摩擦角為δ；

3）基礎在上部荷載作用下向下做垂直運動；

4）土層分界面為水平向.

2.2 速度的確定

根據假設以及速度相容原理，求得各滑塊的速度以及間斷面的速度.

1）根據圖2 所示速度關系，在條形基礎下方的三角形滑塊的速度以及間斷面的速度見式（23）.

式中：v1為滑塊1 斜向下的移動速度.

圖2 塊體1 速度相容矢量場Fig.2 Compatible velocities of block 1

在A1 間斷面上v1為間斷面速度，其方向與A1邊的夾角為該土層的內摩擦角.

2）根據條塊1 的速度來求條塊3 的速度.滑塊1和滑塊3 之間的相容矢量關系如圖3 所示.

式中：v3相對于豎直線夾角為β2+φ2.

圖3 三角滑塊1、3 的相容速度矢量場Fig.3 Compatible velocities between block 3 and 1

同理，可得滑塊 5、7、9、…、i…的速度.

根據滑塊1 和滑塊3 的速度，求出滑塊2 的速度，其中γ2為中間變量，是滑塊2 的速度與豎直方向的夾角，可以利用求出，然后再代回式中即可求得滑塊2 的速度.其矢量關系如圖4 所示.

式中：x2為輔斜線相對于豎直線的夾角.

圖4 速度關系Fig.4 Velocity relation

同理，根據滑塊2、5 的速度，可求出滑塊4 的速度.

根據以上關系，寫出一般式，見式（36）～（39）.

在求三角形的速度時應該按照 1，3，2，5，4，7，6，…的順序來求解.

3 功率消耗計算

3.1 外力功率的計算

計算模型中的外力包括：基礎埋深引起的附加均勻分布應力、基礎底面的極限壓應力和塊體的自重.

1）基礎埋深引起的附加均布應力q 的功率Wq見式（41）.

其中不考慮基礎埋深內土體的抗剪強度對承載力的影響，ρ1為第一層土體重度，H 為基礎埋深.

2）基礎傳遞下來的極限壓應力Qm的功率WQm見式（43）.

滑塊1 土層1 中的自重外力的功率見式（44）.

滑塊1 土層2 中的自重外力的功率見式（45）.

4）其余滑動塊的自重外力功率.

i=3，5，7，…時滑塊自重功率 Wxlsi見式（48）.

靠近斜坡的滑塊自重的外力功率Wsn+1見式（49）.

綜合上述計算所得外力功率，總功率記為B.

3.2 內能耗散率計算

內能耗散率主要考慮到速度間斷面、基礎和土體的接觸面、滑動破壞面上的能量耗散.

滑塊間斷面的內能耗散率：主斜線lsi、lxi輔斜線Pn.

滑動面上的間斷面的內能消耗：底輔斜線ci.

綜上所述，總的內能耗散率記為A.

4 非對稱雙層臨坡地基極限承載力上限解

極限分析法，是將巖土體看作剛體，利用連續介質中的虛功定理來推求巖土極限荷載的上下限解[20].上限定理又叫能量法，首先假設一個滑裂面，構建一個位移場，然后根據虛功原理求解極限荷載，使得外荷載功率和內能耗散功率相當[21].根據本文所選取的地基破壞模式、機動允許的速度場，由上限分析理論可得上限解，見式（56）.

要使臨坡地基取得極限承載力Qu的最小值，只有當地基處于極限狀態，即式（56）取最小值.利用Matlab 編程計算可獲得承載力的目標函數表達式，即將問題轉化為約束非線性規劃問題.對式（56）進行優化求解必須滿足式（22）的約束條件，本文采用序列二次規劃算法（SQP）.SQP 非線性優化算法是利用目標函數和約束條件構造增廣目標函數，借此將約束最優化問題轉化為無約束最優化問題，然后利用求解無約束最優化問題方法間接求解新目標函數的局部最優解問題，此方法既適合高度非線性問題，也具有較快的運算速度[22-24].

5 工程算例計算與分析

為了驗證本文關于非對稱雙層臨坡地基上限承載力計算方法的合理性，結合具體工程案例進行分析，并與相關的分析方法、軟件計算結果進行對比.驗證的具體情況如下.

5.1 算例1

采用文獻[17]中的計算案例：某臨坡條形基礎雙層地基，基礎埋深H=1.0 m，持力層范圍內兩層飽和黏土.土體相關計算參數詳見文獻 [17].基礎外邊緣到基礎坡頂的距離l=a×b，其中a 為距離比例系數，a=1，邊坡坡角 η =20°.5.1.1 計算結果對比分析

文中還采用有限差分軟件（FLAC-3D）對工程案例1 的非對稱臨坡地基進行數值計算.在分析過程中按平面應變問題處理，材料參數：E = 45 × 103kPa，ν=0.3.土體的本構模型服從 Mohr-Coulomb 屈服準則.圖5 為分級加載的荷載-位移曲線，每一級荷載為10 kPa.

圖5 分級加載沉降曲線Fig.5 Graded loading sedimentation curve

圖5 所示為FLAC 模擬的分級加載的荷載-位移曲線，可以看到，當加載到110 kPa 時位移呈極速下降的狀態，通過觀察塑性區可看出，此時塑性區已經貫通.而文獻[17]中采用Abaqus 得到的荷載-位移曲線得出破壞荷載也應該在110 kPa 左右，此時荷載-位移曲線已經處于快速下降階段，在文獻[17]中作者的取值有些偏大.

表1 計算結果比較Tab.1 Comparison of computation results

數值模擬結果表明，案例1 中的雙層地基加載到Qu=110 kPa 時臨坡地基發生了破壞.文獻 [17]的理論計算方法所得地基極限承載力Qu=128.6 kPa，本文所得地基極限承載力Qu=125.9 kPa，兩者的計算結果與數值分析結果都很接近，很明顯本文結果更加接近數值分析結果.在多滑塊體分析模型中，塊體劃分得越細其計算值就越精確，本文的塊體劃分比文獻[17]中的塊體數量少了一半，但計算結果比文獻[17]中的計算值更加接近于數值分析結果，因此本文的分析方法可行且效率更高.

5.1.2 參數分析與討論

分層地基的承載力一般會受到土層性質、土層厚度的影響.通常，下臥軟弱土層都對基礎承載力有不利影響.為了探討上、下層土的強度參數以及幾何尺寸對基礎的極限承載力的影響規律，下文通過改變案例1 中的下臥層土的黏聚力，其他參數保持不變，來分析土體強度參數的改變對承載力的影響；在保持強度參數不變的情況下改變上層土體的厚度來分析土層厚度對承載力的影響.

圖6 所示為在不同的上層土體厚度情況下，土體黏聚力對承載力的影響曲線.由圖6 可知：隨著下層土體黏聚力的增加，臨坡條形地基的承載力上限值也逐漸增加且增加速度越來越快.在上層土厚度不同的情況下，上、下層土體強度差距越小，其地基的承載力也就越接近，這與事實相符.當上、下層土體強度逐漸接近時，不管上層土的厚度是多少，其地基承載力趨近于同一個值，即接近于均質地基承載力.

圖7 所示為臨坡條形基礎的上限承載力與上層土厚度的關系，圖中給出了上、下土層不同黏聚力的承載力隨著上層土的厚度變化的關系.當兩層土體強度相差不是很大時，隨著上層土厚度的增加，地基承載力也增加.當土層厚達4 m 左右時，承載力不再受黏聚力比的影響，即轉化為單層土體的地基承載力形式.兩層土體的強度差異很大時，其承載力依然隨著厚度增加而增加.

圖6 上限承載力和黏聚力比的關系Fig.6 Relationship between upper bearing capacity and cohesion ratio

圖7 上限承載力與上層土厚度的關系Fig.7 Relationship between upper bearing capacity and upper soil thickness

5.2 算例2

為進一步驗證本文計算理論的正確性和合理性，下面采用不分層的臨坡地基來計算地基上限承載力.一臨坡地基，基礎寬b=2 mm，坡頂距比a=0，基礎埋深2 m，重度γ=18 kN/m3，內摩擦角φ=π/6，黏聚力C=20 kPa，坡角η=π/9.計算結果和文獻[17，25-26]計算結果對比見表2.

表2 計算結果比較（a=0）Tab.2 Comparison of computation results（a=0）

算例2 是非成層地基，而本文計算方法主要針對分層地基，但是本文計算方法可以退化為均勻地基來計算臨坡地基的承載力上限值.計算結果與其他3 種理論計算方法對比表明：本文采用較少的計算單元（10 個計算單元）獲得了與其他文獻相近的承載力值.綜上，本文采用較少的單元劃分，得到較好的計算結果，證明了本文采用的破壞模式是合理、有效的.

6 結 論

本文綜合考慮了地基的分層性、破壞的非對稱性、基礎與土體的摩擦作用、地基埋深、基礎外緣與坡頂距離等對臨坡地基承載力的影響.采用一種新的多滑塊模式來構建其破壞模式并根據速度相容的關系、速度三角形閉合條件確定該模型的相容速度場，同時采用極限分析法的上限分析理論來推導雙層臨坡地基上限承載力的計算公式.最后，通過兩個算例，分別與數值分析結果和理論計算結果對比，證明了本文計算方法的合理性，并進行參數分析，得出如下結論：

1）隨著下層土體黏聚力的增加，臨坡條形地基承載力上限值也逐漸增加且增加得越來越快.

2）當兩層土體強度相差不是很大時，隨著上層土厚度的增加，地基承載力也增加.當土層厚達4 m左右時，承載力不再受黏聚力比的影響，即轉化為單層土體的地基承載力形式.兩層土體的強度差異很大時，其承載力依然隨著厚度增加而增加.