在數(shù)學(xué)教育中滲透辯證思維思想

李敏茹

摘? 要：本文主要從認(rèn)清運(yùn)動變化與間斷、割碎、僵化的辯證關(guān)系，常量與變量的辯證關(guān)系以及從函數(shù)關(guān)系表達(dá)的多樣化、特殊化理解特殊與一般的辯證關(guān)系幾個方面闡述了函數(shù)概念中的辯證思維

關(guān)鍵詞：辯證思維;運(yùn)動;常量;變量;特殊;一般

當(dāng)前，中小學(xué)正在大力提倡素質(zhì)教育，教師正在注重和加強(qiáng)教育科研，以科研帶教育，以科研促教學(xué)，下面就從函數(shù)概念教學(xué)中辯證思維談一點(diǎn)體會。

一、認(rèn)清運(yùn)動變化與間斷、僵化的辯證關(guān)系

在中等數(shù)學(xué)中，函數(shù)概念是用“某個范圍內(nèi)，x的每一個確定的值，另一個變量y有唯一確定的值與之對應(yīng)”來定義的。那么，這個定義能否刻畫兩個變量間相互聯(lián)系、相互制約的運(yùn)動變化關(guān)系呢？剖析一下定義就可以知道了。首先規(guī)定了自變量變化范圍，并約定它要取“每一個確定的值”，這一描述把自變量取值的確定性、任意性與完備性體現(xiàn)出來了。所謂確定性，是指變量取值的方法為“一個確定的值”，即取值是逐個進(jìn)行的，且一次僅取一個;所謂任意性與完備性是指自變量要取“每”一個值，“每”有任取和取盡的意思，就是說自變量取值的過程是即可取這一個，又可取另一個，直至取盡每一個。由此可知，自變量的運(yùn)動變化在這一連串取值的變化中得以充分的體現(xiàn)。由于對應(yīng)法則的作用，函數(shù)的運(yùn)動變化則是隨自變量的變化而變化，這是顯而易見的。

需要探索的是自變量取值的確定性、任意性與完備性是通過怎樣的手段來實(shí)現(xiàn)的呢？函數(shù)定義本身沒有回答這一問題，這正是辯證思維在函數(shù)概念中的運(yùn)用。

列寧在《黑格爾“哲學(xué)史講演錄”》一書摘要中指出：“如果不把不間斷的東西割斷，不使活生生的東西簡單化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么我們就不能想象、表達(dá)、測量、描述運(yùn)動。”列寧的論述，為研究變量的運(yùn)動變化提出了辯證思維方法：變量無論取何種運(yùn)動變化的形態(tài)，都需要施以人為的間斷、割碎、僵化的手段，然后才能想象、表達(dá)、測量、描述。自變量取值的確定性就是在人為的間斷、割碎、僵化的實(shí)施下得以實(shí)現(xiàn)的。但是，研究變量的目的是描述、測量其運(yùn)動變化，人為的間斷、割碎、僵化只是一時之需，還必須使變量從間斷割碎、僵化的狀態(tài)下“蘇醒”過來。這就必須創(chuàng)造一定的條件，只有在一定條件下對立物雙方才能轉(zhuǎn)化。取值的任意性和完備性就是為“蘇醒”提供了轉(zhuǎn)化條件，這就使得人為地僵化轉(zhuǎn)化為運(yùn)動變化了。

上述的辯證思維，其實(shí)質(zhì)是進(jìn)行了兩次轉(zhuǎn)化：第一次是用人為的手段，使運(yùn)動過程暫時處于停滯狀態(tài)，以便測量、描述;第二次是在提供一種條件后使停滯狀態(tài)再次向運(yùn)動轉(zhuǎn)化。這兩次轉(zhuǎn)化，不是簡單的重復(fù)，而是使人們對變量的認(rèn)識起了一個質(zhì)的飛躍。

二、理解常量與變量的辯證關(guān)系

初學(xué)函數(shù)時，學(xué)生由于長期在常量范圍內(nèi)計算、思維，因此逐步養(yǎng)成思維上定勢，以為變量一直是變，常量永遠(yuǎn)是“常”，對變量有時“受制”，常量有時“不常”，往往理解不深，不明白研究變量必須通過研究其常量方能實(shí)現(xiàn)的道理，這是由于學(xué)生不能運(yùn)用辯證唯物主義認(rèn)識論去看待事物的變化。毛澤東同志在《實(shí)踐論》中說過：“人的認(rèn)識是一步一步地由低級向高級發(fā)展，即由淺入深，由片面到更多的方面。”研究變量當(dāng)然不能例外，也必須按照這一規(guī)律先從運(yùn)動變化的某些側(cè)面、某些特定狀態(tài)下進(jìn)行研究，然后再逐步由淺入深，由表及里，由某此側(cè)面到認(rèn)識事物運(yùn)動的全貌。如學(xué)習(xí)二次函數(shù)，首先研究的是二次函數(shù)與X軸相交交點(diǎn)的橫坐標(biāo)問題（就是求解一元二次方程），進(jìn)而研究二次函數(shù)值大（小）于零的問題，（就是求解一元二次不等式），它已在求方程二個解的基礎(chǔ)上認(rèn)識深化了一步，開始由幾個值向無數(shù)個值轉(zhuǎn)化。隨著研究的深入，更高級的二次函數(shù)概念才出現(xiàn)。由此可知，研究常量往往是研究變量的先導(dǎo)，一系列常量研究的積累，就會由此及彼，由量變引起質(zhì)變，所以研究變量必須通過研究其常量才能實(shí)現(xiàn)。

還應(yīng)明確的是，不僅僅變量與變量之間是相互依存的，就是常量與變量之間也往往是相伴而生、相互依存、相互制約的。變量在自己變化中，常要受到某些“限制”，正是由于有了這“限制”才使得函數(shù)變化千姿百態(tài)。這種“限制”在數(shù)量上一般均以常量的形式出現(xiàn)。事實(shí)上，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底α的值，就是一種“限制”。α的取值不同，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的變化也隨之不同。在實(shí)際問題中，也常常遇到這種“限制”，如在一個動點(diǎn)到一個定點(diǎn)，與定直線距離之比是一個定值的問題中，定點(diǎn)、定值等都是“限制”，不同的定值，曲線形狀各異。因此要善于抓住變量問題中的“限制”條件，運(yùn)用這個條件，就會促進(jìn)問題的解決。

三、從函數(shù)關(guān)系表達(dá)的多樣化、特殊化理解特殊與一般的辯證關(guān)系

客觀事物的運(yùn)動是千變?nèi)f化的，反映在數(shù)量關(guān)系上也必然是形式多樣的。但是，各種各樣的函數(shù)關(guān)系不能以自己的特殊出現(xiàn)在函數(shù)定義中，所以只能以其具有的共性對應(yīng)關(guān)系加以高度概括，用字母f表示自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)法則，這就使得f具有一般性、抽象性。然后一般性應(yīng)寓于特殊性之中，所以每一種特殊函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系既具有f的一般性，又具有其特殊性。理解了這一點(diǎn)，對于f可用公式、列表、圖像、語言描述等多樣化的表達(dá)形式就比較清楚了。函數(shù)關(guān)系無論用哪一種來表達(dá)，都已使f具體化、形象化、特殊化。在實(shí)際應(yīng)用中，只用一種特殊表達(dá)形式往往達(dá)不到預(yù)期的目的，為了更深刻、更形象地認(rèn)識兩個變量間的變化規(guī)律，一般采用函數(shù)關(guān)系表達(dá)形式的多樣化來研究它的特殊性，通過多樣化表達(dá)形式的綜合應(yīng)用，來進(jìn)行相互印證、相互補(bǔ)充，更好地揭示其特殊函數(shù)變化的一般規(guī)律。如初等函數(shù)的研究，都是先給出了函數(shù)的解析式，然后列表，進(jìn)而在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出相應(yīng)的圖象，這就是運(yùn)用了公式、列表、圖象等多種形式。通過公式、列表、圖像的互相印證，補(bǔ)充初等函數(shù)變化規(guī)律，使其鮮明地展現(xiàn)出來變得容易理解和掌握。

綜上所述，函數(shù)概念是培養(yǎng)學(xué)生辯證思維能力的極好教材，我們應(yīng)把握教材中包含的辯證思維，這對學(xué)生的成長和學(xué)習(xí)變量數(shù)學(xué)都是有益的。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭毓信，肖柏榮，熊萍.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論.四川教育出版社.