高圍壓下砂巖循環加-卸載損傷本構及損傷閾值

劉之喜

（安徽理工大學土木建筑學院，安徽 淮南 232001）

地下巖石工程經常受到加-卸載作用，如交通、地震、巷道掘進等，為此諸多學者對巖石的加-卸載性質展開研究，然而這些研究極少涉及深部高地應力下巖石的加-卸載本構。深部巖體開挖作為高圍壓下巖石加-卸載作用的經典例子，在其掘進期間，圍巖受到高圍壓及加-卸載的反復作用，其動力響應隨之改變，對圍巖長期穩定性的影響頗大，目前關于高圍壓下巖石循環加-卸載本構模型的研究較少。許多專家主要針對深部開采的定量界定與分析、低圍壓巖石本構模型建立、循環加-卸載試驗方法、疲勞變形特性、能量耗散等方面進行研究，取得了豐碩的成果[1-6]。

目前巖石循環加載損傷本構模型的建立主要有兩種方法：一是通過加-卸載試驗，假設巖石服從某些數學模型，從而建立巖石的數學本構模型；二是在巖石中引入損傷變量，為可靠地利用統計物理的概念奠定基礎，這方面的開創性工作為Weibull 的統計尺寸效應理論，即假設巖石的微元破壞服從Weibull 公式，微元強度服從某一強度準則，從而建立巖石的統計損傷本構模型[7-9]。李西蒙等[10]在單軸分級加-載作用的研究中建立了循環加-卸載條件下軸向應變與循環次數之間的理論模型，并且通過逆函數實現了對巖石疲勞壽命的預測。曹文貴等[11]在巖石本構模型研究中基于Weibull 公式對巖石的損傷模型進行了研究，將概率分布公式應用到巖石損傷力學中，通過大量的試驗驗證了其合理性與正確性，并且在工程實際中得到了應用。張平陽等[12]通過在循環加-卸載巖石本構模型中引入內疲勞的變形模量公式，提出了一種新的能夠描述巖石循環加-卸載的本構模型。鄧華鋒等[13]發現能量耗散率與殘余應變的相關性，為循環加-卸載中巖石能量參數的準確計算提供了較好的思路。劉樹新等[14]基于巖石裂紋三重分布的特征，引入不均勻系數，對Weibull 分布下的巖石參數確定方法進行了研究，明確了參數的物理意義和確定方法。以上研究都是關于單軸循環加-卸載或低圍壓下循環加-卸載研究，高圍壓下的研究則主要針對巖石滲水特性、能量演化、破壞機制以及聲發射等[15-18]，較少涉及高圍壓下巖石循環加-卸載本構模型。對于高地應力和周期荷載作用下巖石表現的非線性力學特性，使用傳統的強度準則已無法進行描述和表征，因此高圍壓下巖石循環加-卸載損傷本構模型研究具有一定的工程意義。

目前關于巖石的Weibull 分布的本構模型，都是對單軸壓縮下或常規三軸壓縮下的本構模型描述，并且均假設巖石微元破壞服從某一強度準則，但是以最大正應力理論、最大正應變理論、最大剪應力理論、八面體剪應力理論、D-P 準則以及摩爾庫侖準則建立的Weibull 分布，均假設巖石為連續的均勻介質，這些強度準則的建立都與巖石的實際情況不相符。Griffith 認為巖石內部存在著許多細微裂隙，在外部荷載作用下細微裂隙產生應力集中現象，致使裂紋擴展引起破壞，因此Griffith 準則建立在普遍適用的能量概念和含有裂紋的物體之上，突破了傳統的局部分析方法。本研究通過對Weibull 建立的統計損傷本構進行擴展，基于裂紋數服從Weibull 分布以及裂紋擴展服從Griffith 強度準則，建立一種能夠表示高圍壓下巖石循環加-卸載統計損傷本構模型；對本構的損傷閾值進行研究，基于砂巖在高圍壓下偶數次循環加-卸載曲線，對巖石的參數演化規律進行分析，進一步利用奇數次循環的應力-應變曲線與本構理論值進行對比，進而驗證本構模型的正確性與精確性。

1 巖石本構模型

由曹文貴等[11]關于巖石統計損傷理論的研究，巖石的損傷本構關系為

式中： E 為材料彈性模量； σi為名義應力， σi、 σj、 σk為主應力（i, j, k = 1, 2, 3）；εi為應變； μ為泊松比；D 為損傷變量，對于微裂紋各向同性分布的情況，損傷變量可采用標量形式；對于微裂紋有規律地平面分布的情況，可用與裂紋垂直的矢量表示損傷；對于微裂紋各向異性分布的情況，損傷變量可采用張量形式。以Griffith 準則描述巖石裂紋擴展強度，說明裂紋服從各向異性分布，因此損傷變量可以是張量。目前在巖石損傷本構模型研究中主要考慮最大主應力方向的應力-應變關系，并且用張量表示損傷時，雖然能夠更真實地反映微觀裂紋的排列狀態及其力學特性，但是其數學表達式比較復雜，在工程應用方面存在較大難度，所以本研究中的損傷變量使用標量形式。

研究表明，單位體積巖石裂紋數服從隨機分布[9]。根據Griffith 準則，當裂紋拉應力超過該點抗拉強度時，裂紋就會擴展，導致試件破壞。巖石加載過程往往是新裂紋生成、擴展和舊裂紋擴展的過程。基于上述研究，令裂紋擴展服從Griffith 準則，設加載過程中裂紋擴展數為n，破壞時裂紋擴展總數為N，則可以把損傷變量D 定義為n 與N 的比值，n=0 時巖石無損傷產生，n=N 時裂紋全部張開，巖石破壞。因此做出以下假設：（1）材料內部存在眾多互不影響的裂紋，忽略材料局部特性的變化；（2）裂紋三維空間形狀和裂縫平面內應力的影響忽略不計；（3）從初始加載到損傷閾值處都是彈性階段。

根據Weibull 分布，損傷變量D 的表達式[16]為

將式（4）代入式（2），可得

將式（6）再代入式（1），可得其本構模型的表達式為

Weibull 分布的概率公式的損傷變量表達式中存在損傷變量，使得本構模型無法使用數據處理軟件進行擬合，本研究將基于Weibull 分布的本構模型進行簡單變換，消去損傷變量表達式中的損傷變量，并對本構進行等式變換。

將式（7）變換可得

根據式（5），將式(6)由含損傷變量的名義主應力表達式轉換成由主應力和損傷變量共同描述的巖石裂紋張開強度

將式（8）代入式（9），消去損傷變量，可得

將式（10）代入本構方程式（7），可得

2 循環加-卸載試驗

圖1 為張媛等[15]獲得的高圍壓下巖石循環加-卸載試驗曲線。張媛等[15]進行了圍壓分別為20、40、60 MPa 時的三軸循環加-卸載試驗，每次加載的圍壓都相同，軸向荷載采用應力控制方式，加載波形為三角波。每次循環的加載上限為巖石強度的70%，下限為巖石強度的25%。砂巖的彈性模量為45 GPa，泊松比為0.142。從其使用數學模型得到的擬合曲線中，可以獲得每個循環中巖石的應力-應變曲線。本研究使用高圍壓循環加-卸載巖石本構模型，對張媛等[15]獲得的試驗數據進行擬合。

圖 1 不同圍壓下 σ1-ε1 曲線Fig. 1 Axial stress-strain curves under different confining pressures

3 損傷閾值確定及本構模型參數擬合

3.1 損傷閾值的確定

為了研究本構模型的適用范圍，需要根據高圍壓下循環加-卸載應力-應變曲線和本構模型，對巖石的損傷變量進行探討，以此確定巖石的損傷閾值，確定本構模型的使用范圍。將式（1）進行等式變換，可得

在圍壓相等的高圍壓下，式（12）可變為

當D=0 時，巖石不發生損傷；當D ＞ 0 時，巖石開始發生損傷，并且損傷是一個連續過程。將巖石參數代入式（13），可知砂巖在圍壓為20、40、60 MPa 時發生損傷，應變值分別為3.182 2×10-4、6.364 4×10-4、7.111 1×10-4。由圖1 可知：在應力較小處，巖石已經產生損傷，并且不同圍壓下循環下限的應變值均大于產生初始損傷時的應變閾值；隨著圍壓增大，巖石的損傷閾值也隨之增加，呈非線性增長。高圍壓下巖石本構模型產生損傷時的軸向應變值較小，即巖石的彈性階段較短，從側面反映了巖石在高圍壓下的非線性力學特征。

3.2 本構模型的參數擬合

圖2 為巖石在60 MPa 圍壓下第1 次加載時的應力-應變擬合曲線。從圖2 可以看出，第1 次加載的擬合效果相對良好，并且將擬合得到的參數代入本構模型中時，能夠較好地描述巖石的應力-應變曲線。

圖 2 第1 次循環加載曲線擬合及驗證Fig. 2 Curve fitting and verification of the first cyclic loading

本研究以圍壓為60 MPa 時砂巖第2、4、6、8、10 次循環加-卸載原始數據為例進行擬合，具體參數如表1 所示，其中M 為循環次數。擬合的校正系數均在0.99 以上，說明擬合效果良好。

表 1 圍壓為60 MPa 時本構模型參數Table 1 Parameters of constitutive model with confining pressure of 60 MPa

4 參數的演化規律及本構模型的驗證

4.1 參數的演化規律及其物理意義

通過表1 可以看出：無論是加載階段還是卸載階段，參數F0均隨著循環次數的提高呈非線性增長；但是加載參數m 在加載階段隨著循環次數的增加而逐漸減小，在卸載階段隨著循環次數的增加而增大。圖3 顯示了循環加-卸載本構參數的演化規律。

圖 3 循環加-卸載本構參數演化規律Fig. 3 Evolution of cyclic loading and unloading constitutive parameters

在同一組數據中，只有循環次數是不斷變化的，使用數據處理軟件進行擬合后發現，參數的演化趨勢服從

式中：a、b 表示擬合參數，M 表示循環次數。

從圖3(a)、圖3(c)擬合得到的參數演化規律可以看出，隨著循環次數的增多，無論是加載還是卸載，參數F0都隨著加載次數的增多呈逐漸上升趨勢。根據第1 節推導過程中的假設，參數F0與裂紋擴展的強度有關，參數m 與巖石裂紋分布有關。隨著加載次數增多，巖石逐漸硬化，巖石裂紋擴展時所需的強度逐漸增高，說明參數F0越大，巖石裂紋擴展需要的強度越大，巖石的硬化度越高。巖石并非通常假設的各向同性均質體，其內部存在許多細微裂紋，因此施加外部荷載時，巖石中的部分微裂紋會閉合，當荷載增加到一定程度時，部分閉合的裂紋開始擴展，新裂紋生成、擴展。由于裂紋間并非光滑，存在界面摩擦，隨著循環次數增多，部分可張開的裂紋在荷載作用下閉合所需克服的摩擦力減小，所以隨著循環次數增多，在荷載作用下舊裂紋擴展、新裂紋生成及擴展越多，并且部分原始裂紋閉合也越多。新裂紋生成及擴展需要的力遠遠大于原始裂紋閉合需要克服的摩擦力，所以在加載階段新裂紋生成及擴展數相比原始裂紋閉合的裂紋數要少。在卸載階段，由于荷載減小，部分閉合的裂紋逐漸張開，而擴展的裂紋和新增裂紋擴展部分并不會因為外部荷載的減小而閉合，所以參數m 呈上升趨勢；而在加載階段，由于在荷載作用下閉合的原始裂紋較多，所以整體呈下降趨勢。基于上述分析，可以認為，本構參數m 與裂紋擴展數呈正相關，裂紋張開數越多，參數m 越大。

4.2 參數與圍壓的關系

為了便于應用巖石循環加-卸載本構模型，對圍壓與巖石參數之間的關系進行了研究，見圖4。

圖 4 圍壓與本構模型參數的關系Fig. 4 Relationship between confining pressure and constitutive model parameters

圖4 中參數 σm表示圍壓大小。通過對不同圍壓下本構模型參數的演化規律進行分析可以發現，參數F0與圍壓的大小呈線性關系，參數m 與圍壓的大小呈非線性關系。利用圍壓與參數的關系可以得出第1 次加-卸載參數，進而得到對應圍壓下巖石參數的演化規律，對于深部巖石在長期周期荷載作用下的變形預測具有一定的借鑒意義。

4.3 本構模型的驗證

基于參數的演化規律，將式（15）代入式（11），可以得到高圍壓下巖石的統計損傷本構模型

式中：A、B、C、D 均為本構模型參數，加載階段的參數與卸載階段的參數不相同，加載階段A、B、C、D 的具體數值如圖3（a）、圖3（b）所示，卸載階段的參數數值如圖3（c）、圖3（d）所示。如果將擬合得到的參數代入本構模型中對比理論值與原始數據只能說明擬合的效果，而不能表明本構模型的正確性。為此基于上述偶數次加載參數的擬合公式，求出奇數次循環的參數值，將奇數次循環的參數代入本構模型中得出本構的理論值。通過對比加-卸載曲線的原始數據與本構對應的理論值來驗證本構模型的正確性，如圖5 所示。

圖 5 奇數次循環的加-卸載曲線理論值與原始數據對比Fig. 5 Comparison of theoretical values of loading and unloading curves with original data for odd cycles

對比理論值與原始數據發現，基于Griffith 準則的統計損傷本構模型能夠較好地描述和表征高圍壓下巖石循環加-卸載應力-應變曲線，說明了本構模型的合理性及正確性。對于圍壓為20、40 MPa的循環加-卸載，采用同樣的方法進行研究，除了F0、m 的大小不同，不同循環下的參數演化規律也服從式（15），故在此不再一一列舉。以Griffith 準則建立的本構模型理論值與高圍壓下巖石變形的試驗值較吻合，從而為描述巖石在高圍壓下的應力-應變曲線提供了新的思路。

5 結 論

（1）根據Griffith 準則，巖石內部存在許多細微裂紋，巖石破壞是由于裂紋的擴展。已有的研究也表明，巖石內部裂紋數服從Weibull 分布。因此，基于Griffith 準則建立的統計損傷本構模型與巖石的實際情況更相符。該模型參數少，參數演化規律明確，且便于擬合。該研究方法對高圍壓下受周期荷載作用的巖石變形預測具有一定借鑒意義。

（2）通過本構模型的等式變換，確定了不同圍壓下巖石的損傷閾值，損傷閾值處的軸向應變值較小，并且不同圍壓下產生損傷時的應變值隨著圍壓增大呈現非線性增長。

（3）對本構模型參數的演化規律進行分析發現：參數F0與圍壓呈線性關系，并且F0與裂紋擴展強度呈正相關性；參數m 與裂紋張開數目相關，裂紋張開數目越多，m 越大；參數F0隨著圍壓的增大呈線性增長，參數m 隨圍壓的增加呈非線性增長。

（4）采用偶數次循環的加載和卸載曲線對本構參數進行分析，得到本構參數在不同循環次數和不同圍壓下的演化規律，由此計算出奇數次循環的加載和卸載曲線本構理論值，并與試驗曲線對比，驗證了本構模型的合理性和正確性。