考慮落角約束的制導炸彈有限時間控制制導律

穆忠偉，吳 劍，韓秀楓

(南昌航空大學信息工程學院，南昌 330063)

0 引言

制導炸彈的發展始于第二次世界大戰后期，經過數十年的改進與創新取得了長足的發展，具有結構簡單、使用方便、射程遠、命中精度高、造價低、費效比高等優點，是世界各國機載高精度武器中數量最多的一款空地武器[1]。制導炸彈在現代戰場中作為一種精確性極高的制導武器，主要用于攻擊地下或地面的堅固目標。未來信息化戰爭是敵對雙方在陸、海、空戰場的對抗，將使制導炸彈的需求數量顯著增加。制導炸彈作為一種精確的制導武器，其制導律的研究越來越重要，目前的制導需求越來越集中在約束條件上，例如脫靶量、攻擊落角、消耗能量、過載及攻擊時間等，從而提高了制導炸彈對目標的破壞效能。近年來，一些學者基于不同的理論方法提出了諸如最優制導律、滑模變結構制導律、改進型的比例導引律及其他類型的一些制導律[2]。

文獻[3-5]針對攔截機動目標的過程中考慮攻擊角度約束的制導問題，都提出了一種考慮導彈自動駕駛儀動態特性的制導律。文獻[6-9]提出了關于積分滑?？刂频闹茖伞Ｎ墨I[10]根據精確打擊及高效毀傷的指標要求，面向地面的目標，提出了一種滿足末端位置、落角及攻擊角度約束的最優導引律。文獻[11-13]主要是針對有限時間收斂的制導律方面的研究。文獻[14]主要是基于多項式函數推導出的具有落角約束的制導方法。文獻[15]主要針對導彈攻擊機動目標的要求，約束攻擊角度，利用滑模變結構控制理論，提出了一種同時滿足脫靶量為0和攻擊角度約束要求的制導律。

本文基于終端滑?？刂品椒ǎx取包含炸彈前置角和落角約束項及脫靶量約束項作為滑模面切換函數，并結合自適應趨近律，設計了一種帶落角約束的有限時間控制制導律。該制導律不僅可以使炸彈在有限時間內收斂到期望的攻擊角度，而且還有一定的外內部干擾的能力，最后通過仿真驗證了此制導律的有效性。

1 彈目相對運動建模與分析

研究制導炸彈的制導律時，需要建立導彈和目標之間的相對運動關系模型。而制導炸彈在飛行過程中，滾轉通道處于穩定的狀態，彈體的滾轉角比較小，可以近似為0。本文僅對縱向平面的情況進行分析，分析的結果同樣適用于側向平面。假設導彈和目標均視為在平面運動的質點，圖1給出了導彈和目標的相對運動關系。

圖1 縱向平面內彈目相對運動關系Fig.1 Missile-target relative motion relationship in longitudinal plane

在圖1中，B表示制導炸彈；T表示目標；Vm為炸彈的速度，Vt為目標的速度；r為目標和炸彈的相對距離；q為彈目視線角；θm和θt為炸彈和目標的彈道傾角。取η為炸彈的速度前置角。

制導炸彈與目標的相對關系方程為

(1)

令炸彈的期望落角為θd(t)，期望的終端視線角qd與目標運行速度傾角θt(t)的關系可表示為

θd(t)=θt(t)+ρ

(2)

對于給定的θd和θt，存在如下的關系[16]

(3)

由于制導炸彈主要是用來攻擊地面的固定目標或機動性很弱的目標，假設目標的機動性可以忽略不計，令Vt和θt為0。則式(3)可以簡化為

(4)

分別對式(1)中兩項左右進行微分，整理得出

(5)

(6)

2 有限時間收斂的預備知識

為了便于下文對導引律有限時間收斂特性的分析和證明，要求系統在有限時間內收斂，因此對有限時間控制理論進行了簡要的介紹。

考慮如下非線性系統

(7)

式中：f:U0×R→Rn在U0×R上連續；U0是原點x=0的一個開鄰域。

引理2[18]對于系統(7)，若存在連續、正定函數V(x)滿足

(8)

式中：d,e>0;0<γ<1均為常數。對于給定的初始狀態x(t0)=x0,在有限時間內V(x)≡0,系統狀態到達穩定點的時間t取決于初值x(0)=x0,且滿足不等式

(9)

即系統狀態是在有限時間收斂的。

3 帶落角約束的有限時間控制的制導律設計

3.1 穩定性及有限時間收斂特性分析

首先利用非線性控制系統的有限時間收斂性理論和終端滑模變結構控制理論，分別對制導系統的滑模面趨近和沿滑模面運動的2個階段進行有限時間收斂證明。

針對彈目視線角速率在制導末端變化劇烈的問題，同時考慮制導炸彈以特定的入射角命中目標的性能指標，設計終端滑模面的切換函數為

s=η+k1|x1|αsgn(x1)+k2x2

(10)

式中：0<α<1,k1、k2>0,等式右邊的第一項，θm-q=η,當η=0時，即q=θm,則彈目彈道傾角方向和彈目視線方向是一致的，炸彈能夠命中目標，且彈道較為平直；第二項為落角約束項，可滿足期望入射角要求，能夠保證以一定落角約束命中目標；第三項可以滿足彈目視線角速率趨近于0，進一步保證命中的精度。

對式(10)兩端進行求導，可得

(11)

為保證有限時間到達滑模面，并且滿足系統狀態軌跡的到達條件和具備良好的動態特性，以及考慮控制系統的時變性，構造自適應趨近律為

(12)

式中：ε，λ>0。該趨近律的自適應性主要體現在滑模面切換函數向滑模面運動的速率隨著r的變化進行自適應調整。在末制導開始階段，彈目距離r比較大，趨近的速率較慢，制導指令的合理分配可有效避免制導指令出現飽和；當彈目距離r越來越小時，趨近的速率迅速增大，促使s收斂到0，避免發散。對式(12)的自適應趨近律進行滑?？蛇_性分析，將其兩邊各乘以s，可得

(13)

滿足系統的狀態運動到滑模面上。

針對制導系統到達滑模面的過程，對所構造的函數進行有限時間收斂分析。選取Lyapunov函數為

V1=s2

(14)

對式(14)求導并結合式(13)，可得

(15)

求出式(14)中的s,可得

(16)

將式(16)代入式(15)中,可得

(17)

根據引理(1)可知，制導系統在有限時間內可收斂到滑模動態面s=0。

對系統沿著滑模面運動階段進行分析，滑模面滿足如下條件

s=η+k1|x1|αsgn(x1)+k2x2=0

(18)

根據式(6)可得

(19)

利用Lyapunov穩定性原理證明式(19)是穩定的,并使視線角收斂到期望的視線角，取Lyapunov函數如下

(20)

對式(20)進行求導并結合式(19)，其中令η=(q-qd)e-r=x1e-r，可得

(21)

由式(20)可得

(22)

將式(22)代入式(21)中,可得

(23)

根據引理2可知，系統沿著滑模面的運動是有限時間收斂的。

3.2 帶角度約束的有限時間控制制導律設計

聯立式(11)與式(12)可得

(24)

由于制導炸彈所攻擊的對象是弱機動或固定的，所以將at作為外部干擾項而忽略。將式(24)代入式(6)中,可得

am=

(25)

令式(1)中的vt=0,可得

(26)

對式(26)求解后,可得

(27)

對式(27)求導,可得

(28)

(29)

將式(29)代入式(25)可得出最終的制導律為

(30)

4 彈道仿真與結果分析

為了驗證本文提出的制導炸彈有限時間控制制導律的有效性，采用比例系數K=5的經典廣義比例導引制導律

(31)

進行對比仿真驗證。設炸彈的初始位置為Xm=0m,Ym=4000m;炸彈飛行的速度Vm=260m/s,初始彈道傾角θm=0°。目標的初始位置為Xt=4800m,Yt=0m;目標為靜止目標，Vt=0m/s。參數設置為λ=0.1，α=0.1，ε=0.8，k1=12,k2=1.75。設炸彈以垂直角度攻擊目標為例，仿真結果如圖2～圖6所示。

圖2 制導炸彈的彈道軌跡Fig.2 Trajectory of a guided bomb

首先由表1可以看出，有限時間控制制導律的制導時間是26.97s，大于比例導引的制導時間24.7s，是因為帶角度約束的有限時間控制制導律的制導彈道曲線要比傳統的比例導引律的制導彈道曲線要高(如圖2所示)。然而在實際情況中，抬高的彈道可以為炸彈提供更快的攻擊速度，增大毀傷效能。從脫靶量來看，有限時間控制制導律的脫靶量是0.2585m，而比例制導律的脫靶量要達到1.4519m，可以看出本文所提出的制導律使制導炸彈具有更高的制導精度，脫靶量也非常小。

表1 兩種制導律制導效果的比較Tab.1 Comparisons of guidance performance between two laws

從圖3可以看出，制導炸彈約束以90°角攻擊目標，有限時間控制制導律的實際落角誤差是0.0052，而比例制導律的偏差為40.2685。很明顯可以對比出，有限時間控制制導律幾乎以90°角攻擊目標，命中角度很精準，毀傷效能很強。

圖3 彈道傾角Fig.3 Trajectory inclination angle

從圖4可以看出，當落角約束比較大時，炸彈越接近目標，炸彈的法向加速度幅度越大，炸彈的需用過載越大，但最終收斂于0附近，展現出本文制導律具有良好的收斂能力。

圖4 縱向平面內炸彈法向過載曲線Fig.4 Normal overload curves of guided bomb in longitudinal plane

圖5給出了視線角隨時間的變化曲線，圖6給出了視線角變化率隨著時間變化的曲線。

圖5 視線角曲線Fig.5 Line of sight angle curve

圖6 視線角速度變化曲線Fig.6 Line of sight angular velocity curves

5 結論

本文運用變結構理論與有限時間穩定性理論相結合的方法，提出了一種帶落角約束的制導炸彈的制導律。該制導律不僅能夠使炸彈在末制導階段的系統狀態軌跡快速地到達滑模面，還能夠在有限時間內收斂；而且該制導律選取的切換函數使得炸彈能夠比其他制導律更加精確地命中目標，并能夠滿足入射角的約束，使炸彈的視線角及其角速度收斂得更快；同時還能夠大幅度地提升制導武器的制導效能，并具備很好的工程適用性。