一款簡諧振動旋轉矢量圖示法演示儀的設計方案

王子峰，張春早，李蘭蘭，熊瑛，王勝杰

（淮南師范學院物理系，安徽 淮南 232001）

相位是一個非常重要的概念，在數學、物理、通信、航空航天、生物、自動化等領域有著廣泛的應用。我們對相位的物理概念較為詳細的了解應該從大學物理中對簡諧振動的學習算起，而熟練掌握相位的概念又是學習波的干涉、波的衍射理論的基礎。在實際教學中發現，同學們對相位這個概念理解不是很深刻，不能很好地應用相位來討論波在相干疊加時的結果。因此，怎樣讓學生對相位這個概念有一個清晰的認識顯得尤為重要。課本中的旋轉矢量圖示法是一個很好的介紹相位概念的方法，但由于只是靜態的圖文說明，學生還是不能很好地去理解。據我們所知，市場上也沒有演示旋轉矢量圖示法的一款相關產品。所以，應教學需要，這里我們設計了一款教具，稱為“簡諧振動旋轉矢量演示儀”，旨在將相位這一概念用實物來展示出來，將其可視化，以大大降低其抽象性，讓學生對相位這一概念有一個清晰又深刻的認識。同時，這款教具外觀漂亮、輕巧堅固、結構簡單、通過操作展示可以讓課堂教學變得生動有趣，既節約講課時間，又具有極佳的教學效果。

1 簡諧振動旋轉矢量圖示法

簡諧振動的運動學方程（波函數）為，

其中，(ωt+φ0)稱為相位，φ0稱為初相位。相位和振子的狀態之間的關系可以用旋轉矢量來進行描述，如圖1所示。大小保持不變的矢量M，長度為A，繞其始端O以角速度ω沿逆時針方向轉動,在t=0時刻，M與x軸正向的夾角為φ0，在時刻t，M與x軸正向的夾角為(ωt+φ0)，則在時刻t旋轉矢量的終點M在x軸上的投影將與P重合，即二者的x坐標相同。所以，可以用M點在x軸上的投影的運動來描述諧振子P的運動。因此，我們可以用它來描述物體的簡諧振動，而旋轉矢量M在時刻t與x軸正向之間的夾角(ωt+φ0)就是諧振子此時的相位。同時,根據M點所在的位置及旋轉矢量的轉動，可以確定其投影P點的運動方向。因此，旋轉矢量在能夠描述物體作簡諧振動位移的同時，又能直觀地描述其相位及運動方向，這是用旋轉矢量法描述簡諧振動的一大優點。

圖1 簡諧振動旋轉矢量圖示法示意圖

另一方面，我們還可以由旋轉矢量的轉動來方便地做出物體作簡諧振動時的x-t曲線。并且，根據x-t曲線與旋轉矢量的對應關系可容易地找出在時刻t時的相位。如圖1所示，取一長為A的矢量，在t＝0時刻，A與x軸的夾角為φ0，使A矢量繞O點以角速度ω沿逆時針方向旋轉，則在任意時刻t，矢量A與x軸的夾角為(ωt+φ0)，矢量端點M在x軸上的投影為x=Acos(ωt+φ0)，這正是簡諧振動的運動學方程。這種旋轉矢量法將簡諧振動的三個特征量——振幅、角頻率和初相與旋轉矢量的長度、角速度和初角位置一一對應起來。

在研究簡諧振動的問題時，將這種對應關系搞清楚，用該方法確定簡諧振動的初相、進行相位比較、確定振動時間、研究振動的合成以及波的疊加等問題，對比用分析法可省去煩瑣的計算，提高解題速度。很明顯，旋轉矢量端點在x軸上的投影，除x=?A和x=A位置外，每個x值都對應兩個矢量位置，即有兩個相位與之對應，最終相位的確定要看題給條件。如果質點沿x軸反方向運動，說明V＜0，旋轉矢量轉動到一、二象限，對應的相位是一或二象限的角；反之V＞0，對應相位為三或四象限的角。以上就是運用旋轉矢量求初相位的簡單快速的方法。

因為求解過程運用的知識過于抽象。并不方便理解，因此，我們需要在旋轉矢量運用的基礎上制造出旋轉矢量的演示儀器來輔助教學。

2 簡諧振動旋轉矢量演示儀設計圖

2.1 材料器件

有機玻璃面板，其余部件均可采用塑料材質。

2.2 結構原理圖

圖2 結構原理圖

2.3 原理及操作

手拿把手進行轉動(圖2（d）)，把手帶動桿L和其端點處的旋轉矢量M(圖2（a）)作圓周運動。桿L推動滑竿沿滑軌上下平動。滑竿中點處固定著圓片P，它代表諧振子的小球，圓片P隨滑竿一起上下移動。由于M和P都在滑竿上，所以二者具有相同的x坐標值，xP=xM=Acosφ= A cos(ωt+φ0)。

圖3 操作原理圖

如圖3所示，設初始狀態為：t=0，旋轉矢量M與振子P重合，初相位φ0=0。設把手轉動的角速度為ω，則M轉動的角速度也為ω，線速度vM=Aω。P點速度vP=0。桿L的轉動將對滑竿施加向下的壓力推動滑竿向下運動，同時帶動振子P向下運動。當0＜φ＜π，振子P向下運動（x軸負向）。當π＜φ＜ 2π時，P向上運動。φ= 0 ，π時，M與P重合，M在上，P在下,支撐M的桿L從P的中間穿過（圖2（c））。P以及支撐P的桿中間留有縫隙，以讓桿L從中來回穿過。通過連續地轉動把手，次裝置將清晰地展示出P的不同狀態對應的矢量M的位置和相位的大小關系，使得相位和P的狀態關系一目了然，實現相位的可視化效果。

3 結果與討論

我們成功地設計了一款結構簡潔、操作方便、輕巧堅固、攜帶方便、演示效果優異的簡諧振動旋轉矢量演示裝置，填補了旋轉矢量圖示法無教具的空白。該教具將大大降低學生對相位概念的學習難度，有利于對波動學中的干涉、衍射等相關概念的理解和掌握。