基于反饋線性化的MSCMG轉子穩定控制

湯繼強，隗同坤，寧夢月，崔旭

（北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京100083）

磁懸浮控制力矩陀螺（Magnetically Suspended Control Moment Gyro，MSCMG）是一種用于衛星姿態機動的關鍵執行機構，其高速轉子采用磁軸承支承，無接觸、無摩擦，避免了黏滯力矩、靜摩擦等問題，具有長壽命、高精度的優點，可以用于航天器的姿態控制［1-5］。單框架磁懸浮控制力矩陀螺（Single Gimbal Magnetically Suspended Control Moment Gyro，SGMSCMG）由單個框架系統和轉子系統組成，框架帶動高速旋轉的轉子偏轉，從而輸出大力矩，矯正航天器的姿態［6］。高速旋轉的磁懸浮轉子具有強陀螺效應，因此在轉子徑向兩方向偏轉控制上存在動力學耦合。此外轉子系統與框架系統之間也存在耦合關系，框架運動導致轉子出現附加的相對運動，跳動量加大，高速時可能碰撞保護軸承，影響磁懸浮轉子系統的穩定性，被稱作“動框架效應”，這使得磁懸浮高速轉子的動力學行為更加復雜，控制難度增大［7-10］。

消除轉子系統徑向耦合的算法主要包括比例-積 分-微 分（Proportional-Integral-Differential，PID）交叉控制方法、最小二乘向量積解耦方法、逆系統方法、微分幾何方法等［11-14］。其中，PID交叉控制方法將偏轉通道耦合部分以交叉項方式引入PID控制中，結構簡單，但缺乏有效的參數設計方法，誤差不可避免；最小二乘向量積解耦方法、逆系統方法等運算復雜，需要大量的計算資源，限制了其在航天器姿態控制中的廣泛應用；微分幾何方法設計簡單、實時性好，能夠有效抑制高速轉子徑向偏轉通道間的耦合，成為研究的熱點。基于微分幾何原理的反饋線性化控制方法，采用坐標變換完成了磁軸承非線性系統的徑向磁軸承通道的解耦和線性化［15］，利用反饋線性化對雙框架MSCMG的耦合力矩進行解耦［16］，將微分幾何方法與擴張狀態觀測器相結合來抑制轉子擾動［17］。

為了實現轉子系統的高精度穩定控制，現有控制算法包括PID算法、自適應控制、H∞控制、μ控制、滑模控制、內模控制等［18-22］。PID算法易于實現，但是魯棒性稍差，尤其對于復雜干擾的機動性較差。自適應控制、H∞控制和μ控制具有較強的魯棒性，但算法復雜，因計算量大不適合于磁懸浮轉子系統控制。滑模控制響應迅速，可以有效抑制干擾，但在變結構切換中容易引起系統抖振。內模控制結構簡單、魯棒性強、參數在線調整方便，文獻［23］將內模控制與逆系統解耦控制相結合，實現了轉子的高精度控制，文獻［24］將前饋解耦控制與內模控制結合，增強了轉子系統的抗擾性。相比于傳統內模控制，增強型內模控制改進了控制系統的結構，提高了對參數攝動的魯棒性，可以良好地抑制外部干擾影響，并減少調節參數，更適合應用于磁懸浮轉子系統［25］。

實際系統中，磁懸浮轉子系統存在非線性參數攝動，其降低了轉子系統的控制精度，進而影響陀螺輸出力矩精度。因此實現轉子徑向偏轉通道的高精度解耦，抑制非線性參數攝動以及框架擾動，增強轉子穩定性，提高控制精度是轉子控制的重要目的。本文針對磁懸浮轉子系統提出反饋線性化增強型內模控制方法，通過反饋線性化消除轉子徑向偏轉耦合，采用增強型內模控制實現轉子系統高精度穩定控制。

1 SGM SCMG轉子動力學模型

如圖1所示，SGMSCMG主要由2個兩自由度的徑向磁軸承、2個單自由度的軸向磁軸承、轉子、轉子高速電機、徑向位移傳感器、軸向位移傳感器、框架、框架電機、角位置傳感器、陀螺房及基座組成［26］。

圖1 SGMSCMG結構示意圖［26］Fig.1 Structure diagram of SGMSCMG［26］

徑向磁軸承和軸向磁軸承實現轉子五自由度全主動控制，即沿X、Y、Z軸的三自由度平動和繞X、Y軸的兩自由度轉動；轉子高速電機控制轉子系統繞軸向的轉動；徑向位移傳感器和軸向位移傳感器分別用于監測轉子在徑向和軸向的位移；框架電機驅動框架轉動，帶動高速旋轉的轉子偏轉，從而輸出大力矩；角位置傳感器用于監測框架轉動角度［6］。

為了建立磁懸浮轉子的動力學模型，以轉子的幾何中心為坐標系的原點O，建立坐標系如圖2所示［23］。令轉子的旋轉軸為Z軸，轉子以Ω速度旋轉，X軸的方向由X-指向X+，Y軸的方向由Y-指向Y+，X軸與Y軸構成垂直于Z軸的徑向平面。G指向轉子重力方向，X軸和Y軸關于Z軸與G方向形成的平面對稱，且X軸和Y軸與該平面的夾角都為45°。除磁懸浮轉子繞Z軸的轉動由電機控制外，其余的5個自由度均由磁軸承控制。磁懸浮力分為徑向磁懸浮力和軸向磁懸浮力，如圖2所示，其中，fax和fay為徑向磁軸承A所產生的磁力，fbx和fby為徑向磁軸承B所產生的磁力，可以合成X軸和Y軸方向的磁力fx和fy，以及X軸和Y軸方向的轉動力矩px和py。fz為沿Z軸方向的磁力，x和y分別為轉子沿X軸和Y軸方向的平動位移，α和β分別為轉子繞X軸和Y軸的轉動角度，θg為框架旋轉角度，ωg為角速度。電磁力可以用電流剛度和位移剛度表示，以徑向AX通道為例，表達式為：fax＝?khx+?kii，?kh為位移剛度，?ki為電流剛度，x和i分別為該通道的位移與控制電流。

理想狀態下，轉子系統平動與轉動之間不存在耦合，當轉子繞中心作定點轉動時，可以把轉子平動和繞中心的轉動分開考慮，且轉子沿Z軸的平動與其他自由度解耦，控制較為簡單，故Z軸的平動不再考慮。根據牛頓第二定律、歐拉動力學方程和轉子動力學方程，建立磁懸浮轉子動力學模型為

圖2 SGMSCMG坐標系［23］Fig.2 Coordinate system of SGMSCMG［23］

式中：m為轉子的質量；Jrx、Jry和Jrz分別為轉子繞X、Y、Z軸的轉動慣量，由于磁懸浮轉子為對稱結構，故Jrx＝Jry＝Jrr；lm為從磁懸浮轉子中心到徑向磁軸承中心的距離；ix和iy分別為轉子沿X軸和Y軸平動通道的控制電流；iα和iβ分別為轉子繞X軸和Y軸偏轉通道的控制電流。

圖3 電流剛度與位移剛度變化曲線Fig.3 Curves of current stiffness and displacement stiffness variations

圖3（a）、（b）分別給出了徑向各通道（徑向AX、AY、BX、BY通道）磁中心處電流剛度與電流的關系和零電流時位移剛度與位移關系曲線，4條曲線分別由徑向四通道的測試點擬合而成。由圖可見，電流剛度和位移剛度均為非線性參數。實際系統中，由于加工、裝配及材料等因素的影響，磁懸浮轉子的懸浮位置也不完全處于幾何中心，當轉子偏移，磁力的非線性則明顯增加。考慮到電流剛度和位移剛度的非線性，將電流剛度與位移剛度分為兩部分，kh和ki分別為零電流時平衡位置處的位移剛度和磁中心處零電流時的電流剛度，Δkh和Δki分別為位移剛度和電流剛度的非線性變化量。

由式（2）可得轉子動力學模型中的電磁力非線性擾動為

式中：dx和dy分別為X軸和Y軸平動通道干擾；dα和dβ分別為X軸和Y軸偏轉通道干擾。

由式（2）可知，框架角速度和角加速度只存在于轉子的徑向偏轉運動方程中，因此框架偏轉主要影響轉子徑向偏轉。當框架轉動后，框架對轉子存在牽連運動θg，牽連運動是突然加入的強運動，由于框架與轉子的動力學耦合，導致轉子出現附加的相對運動。

框架轉動對轉子徑向偏轉運動的影響，等效于框架靜止時轉子受到外部擾動力矩prx和pry，力矩的大小取決于框架角速度和角加速度，即

表1 SGMSCMG設計參數Table 1 Design parameters ofＳＧMＳCMＧ

2 轉子徑向系統反饋線性化

2.1 轉子徑向平動反饋線性化

由于轉子沿X軸、Y軸的平動表示形式相同，故以X軸的平動為例進行反饋線性化，為方便控制器的設計，采用電流型功放做功率驅動器，根據式（2），定義X軸狀態變量xx、輸入變量ux和輸出變量yx分別為：xx＝［x，˙x］T＝［xx1，xx2］T，ux＝ix，yx＝xx1。

于是，非線性系統（2）的X軸平動狀態方程為

基于微分幾何原理的反饋線性化方法，通過狀態反饋和坐標變換，在滿足全狀態反饋線性化的條件下，可將轉子徑向平動系統轉化為完全能控的積分鏈式偽線性系統［27］。

若定義

定義標量函數h（xx）對于向量場f（xx）的李導數為

原系統等效轉化為如圖4所示的積分鏈式偽線性系統。

圖4 徑向平動坐標變換Fig.4 Coordinate transformation of radial translation motion

2.2 轉子徑向偏轉反饋線性化

與經典的泰勒級數展開近似線性化方法相比，基于微分幾何原理的線性化方法能夠解耦多變量耦合系統［27］。由式（2）可知，轉子的徑向偏轉是相互耦合的，將耦合的系統利用微分幾何原理進行坐標變換，可以對耦合的系統進行反饋補償，最終將系統解耦并轉化為積分鏈形式。這里采用電流型功放做功率驅動器，根據式（2），定義偏轉狀態變量xαβ、uαβ和yαβ分別為

轉子偏轉動力學方程可以表示為

若定義

與徑向平動處理類似，根據式（7）對式（12）進行如下運算：

系統的相對階為（2，2），而2+2＝4與系統狀態變量的維數相等，因此滿足狀態反饋線性化的條件，根據微分幾何原理，取如下坐標變換：

系統解耦并變換為單輸入單輸出的積分鏈形式，如圖5所示。

通過反饋線性化，可以得到4個獨立的徑向運動系統，由于轉子平動和偏轉運動的模型相同，這里以轉子繞X軸偏轉通道為例設計控制器。

圖5 徑向偏轉坐標變換Fig.5 Coordinate transformation of radial tilt motion

3 增強型內模控制器設計

由于系統存在非線性參數攝動，導致建模誤差增大，采用傳統控制方法（PID交叉控制）、滑模控制等難以保證系統的魯棒性。增強型內模控制方法改進了內模控制系統的結構，能夠彌補系統模型的建模誤差，提高對參數攝動的魯棒性，具有較強的抗干擾性能。因此設計了基于反饋線性化的增強型內模控制方法，控制結構如圖6所示。

教師提出核心問題：“細胞核在細胞的生命活動中有什么作用呢？”以此問題激發學生求知欲望。接著教師提供資料，并提出系列問題引導學生思考（表1）。

圖6中，R（s）為系統輸入，Y（s）為系統輸出，Gp（s）為實際被控對象，Gm（s）為被控對象內部模型，Em（s）為被控對象內部模型與實際模型之差，GI1（s）和GI2（s）為內模控制器，K為補償系數，D（s）為擾動。根據圖6，可以得到輸出Y（s）的表達式為

圖6 增強型內模控制器結構Fig.6 Structure of enhanced internal model control

增強型內模控制將建模誤差補償到被控對象的輸入端，通過控制器GI2（s）的反饋調節，以及調節補償系數K，可以提高控制系統對參數攝動的魯棒性。經過反饋線性化解耦及坐標變換，該通道的被控對象的傳遞函數為

為提高控制器抗擾性能，引入低通濾波器F（s）＝1／（λs+1）2，λ＞0，λ為濾波器調節參數，為了方便參數的調節，設計控制器為

以正弦信號擾動和階躍信號擾動為例，驗證所設計控制器的抗干擾性，定義輸出誤差函數為

分析系統的抗干擾性能，令R（s）＝0，可得

假定模型精確，即Gm（s）＝Gp（s），將式（17）、式（18）代入式（20）可得

4 仿真分析

為驗證本文方法的有效性和優越性，針對平動控制，將本文方法與傳統PID交叉控制方法在MATLAB環境下進行對比仿真。針對偏轉控制，與PID交叉控制方法進行對比，仿真參數如表2所示。

表2 控制系統仿真參數Table 2 Simulation parameters of control system

4.1 徑向平動控制性能仿真

經過陀螺實際設計參數估算，采用如圖7（a）所示幅值為1×10-4m的不規則干擾來模擬平動通道非線性參數干擾，控制系統仿真參數列于表2。控制效果如圖7（b）所示，可見采用傳統PID交叉控制方法，最大誤差為6×10-7m，而采用本文方法，誤差約為1.3×10-7m，較PID控制減少了近78%。因此，本文方法可以有效抑制非線性參數干擾，提高轉子的控制精度。

圖7 徑向平動抗擾性能對比Fig.7 Disturbance suppression performance comparison of radial translation motion

4.2 徑向偏轉控制性能仿真

4.2.1 解耦性能

圖8 解耦性能分析Fig.8 Decoupling performance analysis

在仿真系統中，僅輸入轉子繞X軸偏轉的偏轉信號，Y軸方向上輸入平衡位置信號，得到結果如圖8所示。圖8（a）是輸入偏轉信號為正弦函數時，X軸和Y軸的偏轉情況，可見轉子在X軸偏轉角度可以良好跟蹤輸入信號，且跟蹤誤差小于0.002°，此時Y軸在平衡位置基本不受X軸偏轉的影響。圖8（b）是當X軸輸入偏轉信號為階躍信號時兩軸的偏轉情況，X軸可以良好跟蹤階躍信號，跟蹤誤差小于0.005°，Y軸基本無偏轉。因此，本文方法可以實現徑向耦合系統的完全解耦，同時具有良好跟蹤效果。

4.2.2 抗擾性能

為了驗證徑向偏轉控制的抗擾性能，選取了正弦擾動和階躍擾動2種干擾形式。轉子偏轉所受干擾包含非線性參數攝動干擾以及框架擾動，相比于框架擾動，非線性參數攝動影響較小，故可以忽略不計。為了模擬陀螺框架的角速度或角加速度在連續周期變化下對轉子的影響，選取了2種不同頻率的正弦干擾信號0.1sin（4πt）°和0.1sin（20πt）°，仿真效果如圖9所示。

當在0.1sin（4πt）°的干擾信號下，采用PID交叉控制方法約產生1.3×10-6（°）的往復偏轉，而采用本文方法，約產生為0.8×10-6（°）的往復偏轉，精度提高近38%。當干擾信號的頻率提高至10 Hz時，采用PID 交叉控制方法產生約6.5×10-6（°）的往復偏轉，對比本文方法產生約2.3×10-6（°）的往復偏轉，偏轉幅度減少了近65%。

圖9 正弦擾動抗擾性能對比Fig.9 Disturbance suppression performance comparison of sinusoidal disturbance

對比圖9（a）和（b）可知，當干擾頻率提高時，采用PID交叉控制方法，轉子的偏轉幅度增加，控制精度降低。由于PID交叉控制的微分環節會隨著頻率的增加，增益變大，因此微分項對噪聲非常敏感，在處理頻率較高的正弦干擾時，會引入較大噪聲。但微分環節可以提高控制的響應速度，減少調節時間，如果去除或弱化微分項，系統的響應速度將會受到影響。而本文方法不包含微分項，并且可以彌補系統建模誤差，提高系統控制精度，增強抗擾性能。

為了模擬陀螺框架的角加速度突變或角速度變化過快時對轉子的影響，干擾采用階躍形式，取幅值為0.1°的方波信號作為干擾信號，控制效果如圖10所示。對比圖10（a）和（b）可知，當采用PID交叉控制方法時，系統可以達到穩定，但在階躍信號到來時，由于存在微分環節，會導致轉子瞬時振動，振動幅度與階躍干擾信號的幅值有關。而采用本文方法，控制誤差穩定在2×10-6（°）以內。因此，綜合仿真效果，PID交叉控制方法在高頻干擾和階躍干擾下，微分項的缺點被放大，其機動性較差，而本文方法能夠有效抑制干擾，提高系統精度。

圖10 階躍擾動抗擾性能對比Fig.10 Disturbance suppression performance comparison of step disturbance

5 結 論

1）對于轉子徑向平動控制，在模擬參數攝動影響干擾下，相比傳統PID交叉控制方法，基于反饋線性化的增強型內模控制將輸出誤差減少近78%。

2）對于轉子徑向偏轉控制，本文方法可以實現徑向偏轉系統的完全解耦。在0.1sin（4πt）°正弦干擾下，轉子產生的往復偏轉幅值較PID交叉控制方法減少近38%；在0.1sin（20πt）°正弦干擾下，轉子產生的往復偏轉較PID交叉控制方法減少近65%。在階躍干擾下，采用基于反饋線性化的增強型內模控制方法避免了PID在干擾到來時產生的瞬時振動問題。