基于擴張狀態觀測器的泵控電液伺服系統滑模控制

郭新平，汪成文，2，*，劉華，張震陽，吉鑫浩，趙斌

（1.太原理工大學 機械與運載工程學院，太原030024； 2.浙江大學 流體動力與機電系統國家重點實驗室，杭州310058）

電液伺服系統因具有高功率密度、動態響應速度快等優點，在工業領域有著廣泛的應用［1-2］。電液伺服系統大體上可以分為2類：閥控系統和泵控系統。閥控系統具有動態性能好、動態剛度高等特點，但是存在能量效率低、體積龐大、發熱嚴重等問題［3-4］。與閥控系統相比，泵控系統的最大特點在于可以通過對泵轉速的調節，按需為作動器提供負載流量，基本消除了傳統閥控系統的節流損耗，因此泵控系統具有較高的能量效率［5-6］。此外，泵控系統還具有占用空間小、系統集成度高等優點。然而由于泵控系統的控制容腔體積大、電機慣量大等原因，導致其動態響應性能較差、伺服精度較低，這限制了其在高端伺服領域的應用。

針對泵控系統的特點及其存在的問題，相關學者開展了泵控系統的高性能伺服控制策略研究工作。文獻［7］以泵控電動靜液作動器（EHA）為研究對象設計了一種自適應反步控制方案，核心成果是將一種改進的反步控制算法與自適應律相結合，以補償EHA系統中的非線性和不確定性。文獻［8］采用迭代反步控制策略來提升泵控系統的位置跟蹤性能，先為EHA系統設計了反步控制器，再利用迭代學習機制來形成反步控制所需要的虛擬控制信號。文獻［9］設計了一種積分滑模控制器，采用魯棒H∞控制和極點配置等技術，得到最優反饋增益，仿真結果表明，該控制方法對有界的不確定性具有較強的魯棒性。然而，以上控制算法的共同點是系統狀態方程組的階數較高，控制器結構復雜，在實際應用中存在控制器參數調整比較困難等問題。奇異擾動理論在控制領域有廣泛應用［10-11］，但這一理論在液壓領域的應用還比較少見，早期有學者使用奇異擾動理論簡化了滑閥的動態［12］，最近有學者利用這一理論簡化了變排量泵控系統的控制器設計［13-14］，目前還極少見到該理論在變轉速泵控系統中的應用文獻。

為了設計一種控制算法結構相對簡單，且性能良好、易于工程實際應用的控制器，本文先建立了變轉速泵控系統的三階狀態空間數學模型，利用奇異擾動理論對系統的三階數學模型進行降階處理，再基于降階后的數學模型設計了基于擴張狀態觀測器的滑模控制器，并給出了系統的穩定性證明，最后進行了聯合仿真，通過與PID控制和傳統滑模控制的對比驗證了所提控制策略的優越性。

1 泵控電液伺服系統數學模型

1.1 系統描述

泵控電液伺服系統的原理如圖1所示。系統主要由伺服電機、雙向定量泵、液控單向閥、溢流閥、液壓缸、慣性負載等組成。由原理圖可知，系統的工作原理為通過改變雙向定量泵的轉速和轉向，產生一定的流量和壓力，直接推動液壓缸運動。本文的目的就是設計一種控制策略來提升泵控電液伺服系統的位置跟蹤性能，拓展其應用范圍。

圖1 泵控電液伺服系統原理Fig.1 Principle diagram of pump-controlled electro-hydraulic servo system

1.2 基本方程

在建立系統的數學模型時，基于以下假設：液壓缸只有內泄漏，無外泄漏；液壓缸負載為慣性負載，沒有彈性負載。

雙向定量泵的流量方程為

式中：Dp為雙向定量泵的排量，m3／rad；w為雙向定量泵的轉動角速度，rad／s。

液壓缸的流量連續性方程為

式中：Q1和Q2分別為液壓缸兩腔的 流量，m3／s；Ap為液壓缸活塞的有效面積，m2；xp為活塞位移，m；Ci為液壓缸內泄漏系數，（m3／s）／Pa；p1和p2分別為液壓缸兩腔的壓力，Pa；V1和V2分別為液壓缸兩腔的容積，m3；βe為體積彈性模量，Pa。

定義負載壓力為pL＝p1-p2，且負載流量定義為QL＝（Q1+Q2）／2，則合并式（2）與式（3）得到

式中：Vt為液壓缸兩腔的總體積，m3。

液壓缸的輸出力與負載的平衡方程為

式中：M為活塞及負載折算到活塞上的總質量，kg；Bc為活塞及負載的黏性阻尼系數，N／（m／s）；fd為難以準確建模的項，包括外部干擾力、未建模摩擦力等。

定義狀態變量x0＝［x1，x2，x3］T＝［xp，，pL］T，則由式（1）～式（5）可得系統的狀態空間方程組為

2 基于奇異擾動理論的模型降階

未建模摩擦力和外部干擾力fd對系統控制性能的影響是不容忽視的，但從式（6）可知，以和pL為狀態變量，所建立的狀態方程控制輸入w和干擾fd不在同一個微分方程中，無法通過控制輸入來補償干擾，此時系統的干擾為非匹配干擾，不利于控制器的設計。

對絕大多數實際系統來說，Vt?βe，定義擾動參數為ε＝Vt／（4βe），因此ε是一個非常小的值。綜合式（1）～式（5），系統的動態方程可以寫為如下標準奇異擾動模型：

在式（7）中，將系統模型分解為具有二時間尺度特性的降階模型（7a）和邊界層模型（7b）［15］。

令ε＝0，微分方程（7b）退化為代數方程：

為了便于分析，做變量代換：

定義新的時間變量τ＝t／ε，則有

結合式（7b）、式（9）和式（10）可得

式中：Ci為液壓缸的內泄漏系數，其為一正值。由此可知，邊界層模型（7b）是指數穩定的。另外，方程（12）意味著用代數方程（8）替代微分方程（7b）來實現模型的降階是合理的。根據Tikhonov定理［15］，給定任意的tb＞0，存在ε*，使得對于t＞tb，只要ε＜ε*，則有pL-h（t，x）＝O（ε）一致成立。

于是，系統（7）的降階模型為

由式（14）可知，基于奇異擾動理論降階后的模型中控制輸入w和干擾d是匹配的。給定一個期望軌跡x1d，本文的目標是通過設計合適的控制律w，來控制輸出位置x1盡可能地跟蹤x1d。

3 擴張狀態觀測器及滑模控制器設計

針對降階后的數學模型，因其具有很強的參數不確定性，同時系統常伴有外部干擾力，為此本文設計了一種擴張狀態觀測器去估計系統的擾動并對其進行補償。

3.1 擴張狀態觀測器的設計

為了對總擾動δ進行估計，定義x3＝δ作為系統的一個擴張狀態變量，并假設δ是可微的，則擴張后的系統變為

式中：γ（x，t）為δ的變化速率。

證明 微分方程（18）的解可表示為

式中：e（0）＝［e1（0），e2（0），e3（0）］T為初始估計誤差向量。

3.2 基于擴張狀態觀測器的滑模控制器設計

滑模控制方法因其相對簡單，且具有較好的魯棒性，在電液伺服系統中應用廣泛［16-19］，因此本文采用滑模控制結合擴張狀態觀測器的控制策略來提升系統的位置跟蹤性能。

定義位置跟蹤誤差為e＝x1-x1d，設計滑模面為

式中：參數c的選擇應保證多項式λ+c為Hurwitz，這需要多項式λ+c＝0的特征值有負實部，即c＞0。

對s求導，可得

考慮到傳感器成本及安裝空間限制，實際系統中一般僅配備直線位移傳感器，而擴張狀態觀測器可以對液壓缸的速度信號進行估計，解決了控制器設計中需要液壓缸活塞的速度信息這一問題。

基于擴張狀態觀測器的滑模控制律設計為

通過構造Lyapunov函數對閉環系統的穩定性進行了分析，保證了系統的收斂性，收斂速度取決于控制增益ks和觀測器參數ω0。由式（25）可知，控制信號由等效滑模控制項、魯棒項、干擾補償項3部分組成。其中，干擾補償項的作用是抑制系統參數不確定及外部干擾力的影響，等效滑模控制項為無擾動情況下使系統狀態位于滑模面上的控制作用，魯棒項可保證系統的狀態不離開滑模面。通過3部分控制作用的組合，可實現泵控電液伺服系統良好的位置跟蹤性能。

4 聯合仿真

利用MATLAB／Simulink和AMESim 仿真平臺，搭建了泵控電液伺服系統的聯合仿真模型。其中液壓系統模型在AMESim中搭建，基于擴張狀態觀測器的滑模控制器模型在MATLAB／Simulink中建立。該聯合仿真模型綜合考慮了液壓系統泄漏、靜摩擦、庫倫摩擦、黏性摩擦、伺服電機慣量、伺服電機與雙向定量泵的連接剛度、外部干擾力等因素。聯合仿真模型如圖2所示，仿真參數如表1所示。

為了驗證本文所提控制策略的優越性，將基于擴張狀態觀測器的滑模控制器和PID控制器及傳統滑模控制器3種控制方案進行對比分析。通過對多組仿真結果進行比較，選取3種控制器中各自控制效果都較好的參數。其中，基于擴張狀態觀測器的滑模控制器（所設計控制器）的參數取值為ω0＝500，c＝800，ks＝500；PID控制器的參數取值為P＝5 000，I＝10，D＝0；為了使對比數據公平有效，傳統滑模控制器參數選取與基于擴張狀態觀測器的滑模控制器保持一致，即取為c＝800，ks＝500。

為了能夠對系統性能進行定量描述，從實用的角度出發，定義了3個綜合性能指標用于對系統性能的評估，分別為：跟蹤誤差絕對值的最大值IAPE，這一指標代表控制器的極限性能；跟蹤誤差平方的平均數IMSE，這一指標代表控制器在整個工作周期的平均性能；控制輸出平方的平均數IMSC，這一指標代表控制器控制強度的大小。

圖2 MATLAB／Simulink和AMESim聯合仿真模型Fig.2 MATLAB／Simulink and AMESim co-simulation model

表1 泵控電液伺服系統仿真參數Table 1 Sizulation parameters of pump-controlled electro-hydraulic servo system

液壓系統運行過程中常常伴有不同的外部干擾力，為了比較控制器在不同工況下的性能，分別從以下4種情況進行對比：無干擾情況下，跟蹤頻率為0.1Hz、幅值為50mm的正弦位置信號，目的是測試所設計控制器跟蹤低頻位置指令的性能；3 000N階躍干擾力下，跟蹤頻率為0.1Hz、幅值為50mm的正弦位置信號，目的是測試所設計控制器抵抗突發性階躍干擾的能力；參數大范圍變化、強擾動作用條件下，跟蹤頻率為0.1 Hz、幅值為50mm的正弦位置信號，目的是測試所設計控制器抵抗參數攝動及外界強干擾力的能力；2 Hz、1 000N余弦干擾力下，跟蹤頻率為0.5Hz、幅值為10mm的正弦位置信號，目的是測試所設計控制器跟蹤高頻位置指令及抵抗余弦干擾的能力。4種情況下不同控制方法的性能對比分析如下：

圖3 無干擾情況下跟蹤0.1Hz、50mm正弦位置指令Fig.3 Tracking 0.1 Hz，50mm sinusoidal position command without disturbance

表2 無干擾情況下跟蹤0.1Hz、50mm 正弦位置指令綜合性能指標對比Table 2 Comparison of comprehensive performance indexes of tracking 0.1 Hz，50mm sinusoidal position command without disturbance

1）無干擾情況下，跟蹤頻率為0.1 Hz、幅值為50mm的正弦位置信號。由圖3（a）及表2中的IAPE指標可以看出，PID控制器的最大跟蹤誤差為1.30×10-3m，傳統滑模控制器的最大跟蹤誤差為1.00×10-3m，基于擴張狀態觀測器的滑模控制器的最大跟蹤誤差為1.84×10-5m，相比于PID控制器所設計控制器的最大跟蹤誤差減小了98.6%，相比于傳統滑模控制器所設計控制器的最大跟蹤誤差減小了98.2%；且所設計控制器的IMSE指標也明顯小于PID控制器和傳統滑模控制器，這可以說明所設計控制器在整個工作周期的平均性能優于其他2種控制器；此外，由圖3（b）及表2中的IMSC指標可以看出，所設計控制器的控制輸出小于PID控制器的輸出，這說明與PID控制器進行跟蹤誤差的比較是公平有效的；由于所設計控制器中加入了干擾補償，導致其控制輸出略大于傳統滑模控制器，但這一犧牲換來跟蹤誤差的顯著減小是值得的。由圖3（c）、（d）可得，所設計擴張狀態觀測器能實現對液壓缸運動位置和速度的精確估計。

圖4 3 000N階躍干擾力下跟蹤0.1Hz、50mm正弦位置指令Fig.4 Tracking 0.1Hz，50mm sinusoidal position command under 3 000N step disturbing force

表3 3 000 N階躍干擾力下跟蹤0.1H z、50mm正弦位置指令綜合性能指標對比Table 3 Comparison of comprehensive performance indexes of tracking 0.1Hz，50mm sinusoidal position command under 3 000 N step disturbing force

2）3000N階躍干擾力下，跟蹤頻率為0.1Hz、幅值為50mm的正弦位置信號。為了進一步測試所提控制策略的魯棒性，以0.1 Hz、50mm正弦位置指令為例，在仿真進行到20 s時突然加入3 000N的階躍干擾力，從圖4（a）及表3可以看出，PID控制器在系統突然受到較大外部干擾力時，跟蹤誤差突然變得很大，最大誤差為6.50×10-3m，液壓缸的位置出現較大的振蕩，跟蹤誤差經過4.5 s才恢復到加入干擾前的水平，魯棒性較差；相反，基于擴張狀態觀測器的滑模控制器在受到干擾時，跟蹤誤差也是先變大，但最大誤差僅為1.90×10-3m，隨后經過0.6 s誤差很快恢復到加入干擾前的水平，取得了較為理想的控制效果；而傳統滑模控制器由于沒有干擾補償項，在面對較大的外部干擾力時，跟蹤誤差曲線整體上移。以上比較結果說明，所提控制策略具有較強的魯棒性，這得益于所設計擴張狀態觀測器對干擾的精確觀測與控制器對干擾的準確補償，圖4（b）顯示了擴張狀態觀測器對干擾的觀測結果。

3）參數大范圍變化、強擾動作用條件下，跟蹤頻率為0.1Hz、幅值為50mm的正弦位置信號。為了驗證參數大范圍變化、強擾動作用條件下的系統性能，在AMESim中把負載質量M由原來的55 kg變為165 kg（變大200%），黏性阻尼系數Bc由原來的100 N／（m／s）變為1 000 N／（m／s）（變大900%），液壓缸的內泄漏系數Ci由原來的0.3 L／m in／MPa變為0.9 L／m in／MPa（變大200%）；在參數大范圍變化的同時加入0.1 Hz頻率、2 000 N的正弦干擾力（仿真開始時加入）和5 000 N的階躍干擾力（仿真進行到20 s時加入）；而控制器參數保持不變，仿真結果如圖5和表4所示。

由圖5（a）及表4中的IAPE指標可以看出，PID控制器的最大跟蹤誤差為4.19×10-2m，傳統滑模控制器的最大跟蹤誤差為9.30×10-3m，基于擴張狀態觀測器的滑模控制器的最大跟蹤誤差僅為4.80×10-3m，相比于PID控制器所設計控制器的最大跟蹤誤差減小了88.5%，相比于傳統滑模控制器所設計控制器的最大跟蹤誤差減小了48.4%；而且在仿真進行到20 s時，在原有的正弦干擾力的基礎上再加入5 000 N的階躍干擾力，在剛加入外部干擾力時，PID控制器出現很大的跟蹤誤差，導致液壓缸的位置出現很大的振蕩，且跟蹤誤差經過5.1 s才恢復到加入干擾前的水平；而基于擴張狀態觀測器的滑模控制器在受到強干擾力時，雖然誤差也變大，但因為有擴張狀態觀測器的存在，對干擾進行了在線估計（見圖5（b））和補償，使得跟蹤誤差僅經過1.2 s便恢復到加入干擾前的水平，取得了較為理想的控制效果，這一結果說明與PID控制器相比所設計控制器可以抵抗強擾動；同時，在參數大范圍變化的情況下，所設計控制器的IMSE指標也明顯小于PID控制器和傳統滑模控制器，證明所設計控制器在整個工作周期的平均性能優于其他2種控制器，同時說明所設計控制器相對于其他2種控制器在參數大范圍變化的情況下仍然可以保持較高的位置跟蹤性能；此外，由表4中的IMSC指標可以看出，所設計控制器的控制輸出小于PID控制器的輸出，說明跟蹤誤差的比較是公平有效的。綜上可得，所設計控制器相比于其他2種控制器，對系統參數的大范圍變化及強擾動作用顯示出了較強的魯棒性。

表4 參數大范圍變化、強擾動作用條件下跟蹤0.1 Hz、50mm 正弦位置指令綜合性能指標對比Table 4 Comparison of comprehensive performance indexes of tracking 0.1H z，50mm sinusoidal position command under the condition of large range variation of parameter and strong disturbance action

4）2 Hz、1 000 N余弦干擾力下，跟蹤頻率為0.5 Hz、幅值為10 mm 的正弦位置信號。由圖6（a）及表5可得，在1 000 N余弦干擾力下，PID控制器的最大跟蹤誤差為1.18×10-2m，傳統滑模控制器的最大跟蹤誤差為1.40×10-3m，基于擴張狀態觀測器的滑模控制器的最大跟蹤誤差為7.55×10-5m，相比于PID控制器所設計控制器的最大跟蹤誤差減小了99.4%，相比于傳統滑模控制器所設計控制器的最大跟蹤誤差減小了9 4.6%；由圖6（b）及表5可得，所設計控制器的控制輸出明顯小于PID 控制器的輸出；由圖6（c）可知，擴張狀態觀測器對余弦干擾顯示出較好的觀測效果。通過對余弦干擾力下的3種控制方法位置跟蹤性能的對比分析，所設計控制器的魯棒性進一步得以證明。

圖6 2 Hz、1 000 N余弦干擾力下跟蹤0.5Hz、10mm正弦位置指令Fig.6 Tracking 0.5Hz，10mm sinusoidal position command under 2Hz，1 000N cosine disturbing force

表5 2Hz、1000N余弦干擾力下跟蹤0.5Hz、10mm正弦位置指令綜合性能指標對比Table 5 Comparison of comprehensive performance indexes of tracking 0.5 Hz，10mm sinusoidal position command under 2Hz，1 000N cosine disturbing force

5 結 論

本文以泵控電液伺服系統為研究對象，綜合考慮了參數不確定性和外部干擾力對系統的影響，將基于擴張狀態觀測器的滑模控制算法應用于泵控電液伺服系統中，提高了該系統的位置跟蹤性能。

1）基于奇異擾動理論對泵控電液伺服系統的數學模型進行合理降階，簡化了控制器的設計。

2）基于擴張狀態觀測器所估計的狀態，設計了降階系統的滑模控制器，并證明了系統的穩定性。

3）聯合仿真結果表明，與PID控制器和傳統滑模控制器相比，所設計控制器不僅能使系統的位置跟蹤誤差明顯減小，而且對系統的參數變化和系統運行過程中受到的外部干擾力具有更強的魯棒性，取得了良好的控制效果。

該控制方法可進一步提升泵控電液伺服系統的應用場景，具有重要的理論和實際意義。