六自由度壓電隔振平臺面向控制的模態分析與動力學建模

于帥彪，張臻，*，周克敏

（1.北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100083；2.山東科技大學 電氣與自動化工程學院，青島266590）

基于振動主動控制技術的六自由度壓電隔振平臺能夠彌補被動隔振的固有缺陷，有效改進平臺的低頻隔振性能，提高隔振帶寬。采用壓電陶瓷、超磁致伸縮材料等智能材料的智能隔振平臺提高了系統的控制精度和響應速度，在半導體制造、航空航天精密觀測、瞄準等微振動控制領域得到廣泛的應用［1-5］。

振動主動控制首先需要建立平臺的動力學模型［6-7］。然而多自由度隔振平臺各個控制通道間往往存在強耦合，同時壓電陶瓷等智能材料固有的遲滯非線性特性會降低系統的控制精度甚至造成系統振蕩，這都給平臺系統的動力學建模與控制帶來很大的挑戰。獨立模態空間法或模態分解法是基于模態分析技術［8］，利用模態坐標變換將系統解耦成一組獨立的二階系統（模態方程），根據每一階模態獨立進行控制器設計，獲得模態坐標下的模態控制信號，再經過模態坐標反變換獲得實際作動器的控制信號［9-10］。模態控制方案降低了多自由度耦合系統動力學建模與反饋控制系統設計的難度，在六自由度壓電隔振平臺控制中得到了應用［11-13］。已有的基于模態分析的多自由度平臺動力學建模與控制工作中都未考慮壓電等智能材料遲滯非線性特性對系統的影響。此外經典的模態分析技術通過實驗測量或有限元方法獲得結構的模態參數，但對模態控制信號物理實現過程中的轉換關系研究很少。

本文針對一類模塊化六自由度壓電隔振平臺，考慮壓電材料遲滯非線性，基于模態分析方法建立面向控制的非線性動力學模型。模型采用Hammerstein結構描述平臺非線性動力學特性，利用MPI（Modified Prandtl-Ishlinskii）遲滯模型描述非線性子系統［14］，利用模態分析技術將線性子系統變換為一系列獨立的模態方程，采用實驗測量方法辨識得到模態參數。同時還研究了模態控制信號到真實控制信號之間的轉換矩陣，保證了模態控制的物理實現。

1 模塊化六自由度壓電隔振平臺

六自由度壓電隔振平臺如圖1所示。平臺采用模塊化的結構形式，其平面圖如圖2所示，每個隔振模塊提供2個自由度方向的主動隔振能力，4個隔振模塊與上下臺面組合構成具有六自由度隔振能力的平臺系統，G-XY為平面坐標系。

圖1 六自由度壓電隔振平臺Fig.1 Six-degree-of-freedom piezoelectric vibration isolation platform

圖2 六自由度壓電隔振平臺平面圖Fig.2 Planar graph of six-degree-of-freedom piezoelectric vibration vibration isolation platform

1.1 兩自由度隔振模塊

兩自由度隔振模塊如圖3所示，模塊長150mm，寬160mm，高100mm。兩自由度隔振模塊采用主動隔振元件與被動支撐元件并聯結構形式，在垂直和水平方向各布置一個壓電作動器作為主動控制元件，垂直方向布置4個被動支撐組件作為主要的承重元件。考慮到微振動控制的高精度要求，主、被動元件與L型頂板之間采用專門設計的柔性鉸鏈連接。

主動控制元件采用哈爾濱芯明天科技有限公司的VS系列壓電作動器，標稱推力為3 500 N，最大輸出位移為40μm。壓電作動器與頂板連接采用空間曲線切口式柔性鉸鏈，如圖4所示，其中xmax和xmin分別代表x方向的最大和最小的位移。通過對切口形狀參數、曲線截斷參數以及切口間距的優化設計，使柔性鉸鏈具有高軸向剛度和低彎曲剛度。

被動支撐元件與頂板之間的柔性連接結構采用一體化設計的金屬／橡膠復合結構形式，如圖5所示。

圖3 模塊化隔振單元Fig.3 Modular vibration isolation unit

圖4 作動器柔性鉸鏈Fig.4 Actuator flexible hinge

圖5 被動支撐元件結構與實物圖Fig.5 Passive support assembly structure and photo

1.2 六自由度壓電隔振平臺

六自由度壓電隔振平臺由4個兩自由度的主動隔振模塊和上下臺面組成，結構如圖1所示。隔振平臺上臺面為正方形硬鋁合金，邊長為500mm，厚度為20 mm。平臺的8個作動器以及分別布置在水平以及垂直方向的8個直線加速度傳感器如圖2所示。

2 六自由度壓電隔振平臺模態分析與動力學建模

2.1 六自由度壓電隔振平臺模態分析原理

在本文中，上平臺是系統控制和動力學建模的對象。考慮到上平臺變形的影響，在m個主動驅動元件驅動下，由上平臺l個測量節點表達的上平臺運動方程可以寫為

式中：x為l×1維的上平臺相對運動向量；u為m×1維的主動控制量；M 為l×l維的質量矩陣；C為l×l維的阻尼矩陣；K為l×l維的剛度矩陣；z為6×1維的直接作用在上平臺上包含了不同擾動源的等效干擾向量；N為l×6維的擾動分布矩陣；H為l×m維的剛度矩陣；F為m×m維的作動器位移矩陣；Γ［u］＝［Γ1［u1］ Γ2［u2］ …Γm［um］］T為m×1維的靜態遲滯子系統，Γn［·］（n＝1，2，…，m）為對應于第n個作動器的靜態遲滯子系統模型。

對于一個實際的物理結構，質量矩陣M 是一個對稱正定矩陣，剛度矩陣K至少是一個半正定矩陣，假設阻尼矩陣C同時滿足振型正交性，由此可以引入模態變換實現對角化，即

式中：Φ 為l×l維的模態矩陣；ε為l×1維的模態運動向量。將式（2）代入式（1），則可以得到模態坐標下l個解耦的動力學方程為

模態坐標下動力學方程（3）中需要辨識的參數包括M*、C*和K*。由式（2）可得到真實加速度信號與模態加速度信號之間轉換關系為

由式（4）可得到真實控制信號與模態坐標下控制信號的關系：

壓電作動器的動態遲滯非線性模型可以由Hammerstein模型描述，表達為一個靜態遲滯非線性子系統和一個線性動態子系統的串聯形式［14-15］，其中壓電作動器機械結構的動力學被認為是其動態特征的主要來源。式（1）也被看成是輸入端為遲滯非線性的多入多出的Hammerstein非線性動力學系統，如圖6所示，其中Γ［·］為靜態遲滯非線性子系統，y（t）＝Γ［u］為靜態遲滯系統量。線性動態子系統H為多自由度耦合系統，是平臺機械結構的動力學響應，包含了壓電作動器機械結構動力學響應對系統的影響。通過式（2）的模態坐標可將系統變換成如圖7所示的模型，其優點是：模態方程是一組獨立的二階系統，因而可以據此設計獨立的模態控制器，降低了控制器設計難度。控制量再經過模態反變換得到實際控制量。圖8給出了基于模態變換后等效模型的控制流程。需要注意的是，式（6）中的遲滯逆補償器Γ-1［·］被串聯在被控對象之前，消除壓電作動器遲滯特性對系統的影響。

圖6 隔振平臺Hammerstein模型Fig.6 Hammerstein model of vibration isolation platform

圖7 模態變換后的等效模型Fig.7 Equivalent model after modal transformation

圖8 模態控制流程Fig.8 Modal control process

在圖7的等效模型中，需要辨識的參數包括模態振型Φ、質量M*、阻尼C*、剛度K*，轉換矩陣R、S以及作動器靜態遲滯非線性子系統模型Γ［·］及其逆模型Γ-1［·］。圖中：y（t）＝Γ［u］為靜態遲滯系統量；ξ（t）為模態控制信號，為輸入，為經過模態方程變換之后的模態運動向量。

2.2 模態參數

本節采用Coinv DASP模態測試與動力學分析系統辨識系統的模態動力學參數。模態測試系統框圖如圖9所示，將平臺上平面按照圖10所示劃分網格點，采用多點敲擊單點響應，用力錘在2、12測點處沿X方向水平敲擊，8、14測點處沿Y方向水平敲擊，1、5、9、13測點處沿Z方向垂直敲擊，加速度傳感器的信號經由電荷放大器傳送給DASP系統。模態擬合采用頻域擬合方法。

本文上平臺在結構設計中雖然盡量設計為剛性，但上平臺的彈性變形仍不應完全忽略。為保證系統的可觀測性，8個直線加速度傳感器被布置在如圖2所示的位置，其中垂直方向布置4個，2個水平方向各布置2個。

圖9 模態測試系統框圖Fig.9 Block diagram of modal test system

圖10 隔振平臺劃分網格圖Fig.10 Grid diagram of vibration isolation platform

表1 模態頻率、質量、剛度和阻尼比Table 1 Modal frequency，mass，stiffness and damping ratio

測得模態頻率、質量、剛度、阻尼比如表1所示。振型矩陣在整個模態控制過程中需要用到2次，可見其結果的準確性對于控制過程的重要性。第1次是利用振型矩陣將平臺的物理位移轉換為模態位移，第2次是利用其進行真實控制信號與模態控制信號之間的轉換。根據實驗獲得的模態分析測試結果，將每階模態下平臺振動的形態用模態振型Φ 并采用X、Y、Z軸進行直觀的表示，如圖11所示。其中第1階模態以X向平動為主，其他各階模態既有平動和轉動的存在，也包含了可能存在的彈性變形。

2.3 遲滯非線性子系統建模

本節采用MPI算子建立靜態遲滯非線性子系統模型Γ［·］，并給出了其逆補償器Γ-1［·］。MPI算子可以寫為式中：Hrh＝［Hrh0Hrh1… Hrhn］T，Hrhi為閾值為rhi的play算子；Srs＝［Srs0Srs1… Srsn］T，Srsi為閾值為rsi的死區算子；wh＝［wh0wh1… whn］T、rh＝［rh0rh1… rhn］T和y0＝［y01y02… y0n］T分別為play算子權值向量、閾值向量和play算子初始值向量；ws＝［ws0ws1… wsn］T和rs＝［rs0rs1… rsn］T分別為死區算子權值向量和閾值向量。

給壓電作動器系統0.5 Hz低頻正弦信號作為激勵信號，基于輸入輸出數據采用最小二乘法辨識模型參數，具體辨識算法詳見文獻［16］。8個作動器按照相同的階數進行建模，根據辨識算法得到1號作動器對應的靜態遲滯非線性子系統相應的權值向量為

同理可得到其他作動器對應的靜態遲滯子系統相應的權值向量。圖12給出了1號作動器對應遲滯子系統建模結果，建模結果表明MPI算子可以準確地描述系統的遲滯特性。

圖11 隔振平臺振型辨識結果Fig.11 Vibration isolation platform vibration type identification results

表2給出了8個作動器對應靜態遲滯子系統的建模誤差，建模精度由均方根誤差來評價，定義為

當MPI模型滿足一定不等式約束條件時，式（7）表示的模型具有唯一的解析逆，其逆模型的表達式為［17］

逆模型參數與式（7）中參數具有一一映射關系。圖13給出了1號壓電作動器遲滯逆補償的實驗結果，由圖中可見，逆補償器很好地消除了壓電作動器的遲滯特性。8個作動器的逆補償實驗結果如表3所示。

圖12 壓電作動器遲滯模型建模結果Fig.12 Hysteresis modeling results of piezoelectric actuator

圖13 逆補償實驗結果Fig.13 Inverse compensation experimental results

表2 M PI模型建模誤差Table 2 Modeling error of MPI model

表3 逆補償實驗結果Table 3 Inverse compensation experimental results

2.4 轉換矩陣辨識

1）R矩陣。基于2.2節得到的振型矩陣Φ，由式（5）可以得到R矩陣為

2）S矩陣。HF矩陣可以近似為平臺在抵消了遲滯特性后各個輸入／輸出通道傳遞函數在低頻階段的增益，即各個通道的剛度。圖14給出了辨識HF的框圖，其中ui（t）表示作動器的電壓輸入，xi（t）表示8個測量節點的相對運動向量，各個通道遲滯逆補償Γ-1［·］根據2.3節所辨識得到的各個通道的遲滯模型由式（9）計算得到。由式（6）最終可以得到S矩陣為

圖14 HF辨識框圖Fig.14 Block diagram for HF identification

3 結 論

本文針對六自由度壓電智能隔振平臺開展了面向控制的動力學建模研究，為了解決系統中存在的耦合問題，建立解耦后的模態方程，得出：

1）在考慮壓電作動器遲滯特性的情況下，基于模態分析方法建立了平臺的動力學模型，為后續的模態控制器設計提供解耦后的動力學方程，并為控制回路的物理實現提供信號在不同坐標下的轉換關系。

2）采用MPI算子建立了系統的遲滯非線性模型，設計的逆補償器通過實驗驗證有效地消除了遲滯非線性的影響。