一種基于自適應濾波的GPS滾轉角估計方法

劉陽，李懷建，杜小菁

（北京理工大學 宇航學院，北京100081）

全球定位系統（GPS）測姿技術對于衛星導航系統和測姿領域都具有非常重要的價值。在GPS系統開發的早期階段，就認識到GPS載波用于載體姿態測量的可能性。不管是單天線還是多天線的GPS測姿系統，結構都較簡單，成本低廉，國內外已經提出了大量行之有效的算法［1］。隨著眾多學者不斷提出和改進算法，測量精度不斷提高，GPS測姿技術已經能夠滿足大部分實際工程需要［2］。但是，當前GPS測姿技術研究沒有充分利用接收機天線的測量信息，只利用信號功率或者載波相位一種測量信息。

Luo等［3］提出了一種利用單接收機天線確定旋轉載體滾轉角速度和滾轉角的方法，其利用了接收到的衛星信號I／Q幅值和相位受到滾轉角調制的特性，以衛星信號I／Q幅值和相位作為量測量，采用擴展卡爾曼濾波器對滾轉角和滾轉角速度進行實時測量，測量精度在300 Hz轉速情況下，滾轉角均方根誤差為1.8°，轉速均方根誤差為0.02Hz。Velde等［4］還提出一種使用2個或多個天線接收的GPS衛星信號之間的功率差和相位差來確定旋轉載體滾轉角速度和滾轉角的方法，適合于測量具有短基線的快速旋轉載體的滾轉角速度和滾轉角，在轉速為300 Hz時，滾轉角測量精度為（7±15）°，轉速測量精度為（0.1±0.3）Hz。

本文利用當前統計模型進行系統建模，將信號功率和多普勒頻率信息作為量測量，并根據滾轉角預測估計值合理選取，使用無跡卡爾曼濾波（UKF）算法融合2種測量信息得到載體滾轉角和滾轉角速度，在此基礎上，提出自適應濾波算法，自適應調整系統噪聲方差陣，提高濾波估計精度。

1 測量原理及模型

1.1 基于信號功率的滾轉角測量

GPS接收機天線對不同角度的衛星入射信號增益不同，形成天線方向圖，正因為天線方向圖的存在，載體的姿態變化會對接收到的衛星信號功率產生很大影響［5］。如圖1所示，由于載體的遮擋，只有載體的上半表面能接收到衛星信號，為了保證在旋轉時，有2個天線能接收到信號，應將至少4個天線等弧度地安裝在載體表面。每個天線單獨接收衛星信號進行處理，信號在各個天線的入射角度不同，每個天線的增益不同，接收的信號功率也不同，將相鄰2個天線接收的信號功率求差，利用信號功率差值與滾轉角φ的關系，即可估計出載體的滾轉角。

信號從衛星天線發射到接收機天線，衛星信號功率P的自由空間傳播公式為［6］

式中：PS為衛星信號的發射功率；GS為衛星天線在信號發射方向上的增益；G為接收機天線在信號入射方向上的增益；λ為信號波長；r為衛星與接收機天線的幾何距離；LA為大氣損耗。接收機天線增益G與信號入射方向有關，信號入射方向在天線坐標系中由入射方位角α和入射仰角β表示，天線坐標系如圖2所示。

圖1 滾轉角測量原理Fig.1 Principle of roll angle measurement

圖2 天線坐標系Fig.2 Antenna coordinate system

接收機天線增益G可以以函數［7］形式表示為

對于同一顆衛星在2個天線坐標系下的方位角和仰角不同，幾何距離可近似相等，以天線1和天線2為例，有

則天線1和天線2接收的信號功率差值P2，1為

信號功率差值P2，1的變化與接收機天線增益G相關。實際天線的增益特性是通過實驗測量，以表格形式確定。如果已知入射方位角和入射仰角，可以采用二維插值方法從表格中得到天線增益。圖3為某天線的實測天線方向圖，天頂方向約有8 dB的增益，隨著仰角β減小，天線增益逐漸降低，當仰角β小于0°時，迅速變為對信號有50 dB的衰減。

衛星信號入射方位角α和入射仰角β與衛星在天線坐標系的坐標raS有關。GPS定位可以得到衛星在地心地固直角坐標系的坐標reS，通過地理坐標系和載體坐標系，建立reS到raS的坐標變換模型，用CX（γ）、CY（γ）和CZ（γ）表示直角坐標系分別繞X軸、Y軸和Z軸旋轉γ角的坐標變換矩陣。

在地理坐標系的衛星坐標rgS為

式中：θ為俯仰角；ψ為航向角。

在天線坐標系的衛星坐標raS為

圖3 天線方向圖Fig.3 Antenna pattern

式中：γA為天線坐標系OaYaZa平面與載體坐標系OYbZb平面之間的夾角，天線相位中心為天線坐標系原點；rbA為原點在載體坐標系的坐標。

得到衛星的坐標raS＝［xaSyaSzaS］T，則

接收機天線可以同時接收多顆可見衛星信號，對多顆衛星的信號功率求差可以提高滾轉角測量的精度。當測量n顆衛星的信號功率時，有

式中：P為功率測量值，上標為衛星編號，下標為天線編號。

分析可知，接收信號、功率差值是衛星位置、載體質心位置、載體姿態角、天線相位中心位置和夾角等參數的復雜函數。在GPS定位過程中，如果通過其他測姿方法得到俯仰角和航向角，則利用接收信號功率差值可以反推出載體的滾轉角。

1.2 基于多普勒頻率的滾轉角速度測量

接收機天線接收的衛星信號產生多普勒頻率是由于衛星運動、載體質心運動和載體繞質心轉動引起的。由于相鄰2個天線的安裝位置不同，載體的姿態變化使2個天線相對于載體質心的速度不同，導致天線測量的多普勒頻率不同，將多普勒頻率求差，可以消去衛星和載體質心運動產生的多普勒。對于高速旋轉的載體，轉速每秒可達幾轉，甚至幾十轉，俯仰角速度和航向角速度遠小于滾轉角速度，因此，可以認為多普勒頻率差值是由于滾轉角速度引起的，利用多普勒頻率差值與滾轉角速度的關系，即可估計出載體的滾轉角速度。

多普勒頻率f與天線速度V的關系為［8］

式中：VS為衛星速度；δf為接收機鐘漂；δfS為衛星鐘漂；ε為多普勒頻率的測量誤差；I為單位觀測矢量，由衛星位置和載體質心位置給出：

2個天線對于同一顆衛星的觀測矢量I可近似相等，對于天線1和天線2在地心地固直角坐標系的速度分別為Ve1和Ve2，有

則天線1和天線2的多普勒頻率差值f2，1為

則利用多普勒頻率差值可以反推出載體的滾轉角速度。

2 系統建模

2.1 狀態方程

在機動目標動力學理論中，對于機動目標跟蹤，當前統計模型被認為是一種行之有效的自適應跟蹤模型［9］。當前統計模型由學者周宏仁提出，將加速度的一步預測當作是當前加速度，并采用該加速度作為修正瑞利分布的均值，實時地修正加速度的分布，從而實現閉環自適應跟蹤［10］。本文利用當前統計模型對滾轉角和滾轉角速度測量進行系統建模。

根據當前統計模型對滾轉角建立狀態方程：

式中：ˉa為當前滾轉角加速度的預測值；Wk為離散時間過程噪聲；

其中：T為采樣周期；α*為機動頻率，只有通過實測才能得到α*的值，通常根據機動形式取經驗值，范圍為0＜α*≤1。

式中：amax和a-max分別為滾轉角加速度的最大值和最小值。

2.2 量測量的選取

對于GPS接收天線，為了抑制多路徑影響，降低對地面反射的衛星信號的接收，通常設計天線時會減小低仰角方向上的增益，同時考慮到載體對衛星信號的遮擋，最好選擇載體上表面的2個天線。天線的選擇可以根據滾轉角，如圖1所示，當滾轉角為45°時，天頂方向上的衛星正好位于天線1和天線2之間，所以選擇這2個天線。

在濾波算法遞推時，根據k-1時刻到k時刻的滾轉角預測估計值選取2個天線，量測量為2個天線接收的GPS可見星的載波信號功率差值和多普勒頻率差值：

2.3 UKF算法

由于量測方程具有較強的非線性，本文采用UKF進行濾波和估計。UKF是sigma點卡爾曼濾波的一種，通過無跡非線性變換逼近非線性系統狀態的后驗均值和協方差［11］。UKF既可以保證狀態估計的精度，又能避免對非線性方程的線性化。UKF算法的具體過程可參考文獻［12］。

3 自適應濾波算法

式中：C為比例系數。在文獻［14-15］的基礎上，本文提出滾轉角加速度估計自適應濾波算法，利用前后時刻滾轉角加速度估計值的差值，對滾轉角加速度方差的改進。如果載體的滾轉角加速度改變較小，前后時刻滾轉角加速度估計值相差較小，滾轉角加速度的分布相對于平均值的偏離程度也較小，即滾轉角加速度方差較小；反之，如果載體的滾轉角加速度改變較大，前后時刻滾轉角加速度估計值相差較大，滾轉角加速度的分布相對于平均值的偏離程度也較大，即滾轉角加速度方差較大。可以看出，滾轉角加速度方差應該和前后時刻滾轉角加速度估計值的差值相關，因此可以利用滾轉角加速度估計值的差值來估計滾轉角加速度方差，參考式（22）和式（23），可以得到一種簡單的自適應調整公式來估計滾轉角加速度方差：

仿真中C取1時估計精度較高。從式（24）中可以看出，在一個采樣周期內，載體滾轉角加速度的變化趨勢能夠反映滾轉角加速度的偏離程度，即滾轉角加速度方差的大小。通過對滾轉角加速度方差的自適應調整，避免了預先設定滾轉角加速度最值對模型性能的限制。

4 實驗與仿真

為了驗證本文提出的基于自適應濾波的GPS滾轉角估計方法的有效性，設計實驗將接收機天線靜止置于室外，接收實際衛星信號10m in，某顆GPS衛星的信號功率和多普勒頻率的測量結果如圖4所示。

GPS衛星是在不停運動的，會引起多普勒頻率測量值變化，由于測量時間較短，認為其他因素的影響較小，可以估計出該天線信號功率的測量均方根誤差約為0.2 dB·W，多普勒頻率測量均方根誤差約為0.4 Hz。

設計載體轉速為勻加速和正弦2種機動形式的仿真，對UKF算法和本文提出的自適應濾波算法進行比較。利用導航衛星數仿軟件產生GPS衛星和接收機天線數據，根據實驗結果設定仿真中的量測噪聲，載體以100m／s的速度向北飛行，俯仰角和航向角保持不變，仿真時間為10 s，采樣周期T＝100ms，機動頻率α*＝0.025，在UKF算法中amax和a-max分別取400和-400（°）／s2。

勻加速機動模擬載體轉速從0增大到10 Hz，滾轉角加速度設為）＝360（°）／s2。勻加速機動的估計結果如圖5所示。

對于勻加速機動，滾轉角加速度保持不變，自適應濾波的滾轉角加速度方差比UKF的小，收斂速度更快。

圖4 某顆GPS衛星的測量結果Fig.4 Measurement results of a GPS satellite

正弦機動模擬載體在10 Hz轉速上有一個正弦波動，滾轉角加速度設置為φ¨（t）＝300cos（πt／5）（°）／s2。正弦機動估計結果如圖6所示。

對于正弦機動，滾轉角加速度不斷變化，2種濾波都有不同程度的滯后，其中UKF的滾轉角加速度方差與當前滾轉角加速度的預測值ˉa有關，在第2.5 s和第7.5 s時，滾轉角加速度為0，誤差明顯增大。

2種濾波算法對2種轉速機動形式的滾轉角、滾轉角速度和滾轉角加速度估計的均方根誤差如表1所示。

在實際使用過程中，載體運動可能會對天線的測量精度產生影響，以自適應濾波的正弦機動為例，在其他條件不變的情況下，加入2倍和3倍的量測噪聲，得到估計誤差如圖7所示。

圖5 勻加速機動的估計結果Fig.5 Estimation results of constant-acceleration maneuver

圖6 正弦機動的估計結果Fig.6 Estimation results of sinusoidal maneuver

表1 2種算法的均方根誤差Table 1 Root mean square error of two algorithms

圖7 不同噪聲下的估計誤差Fig.7 Estimation error under different noises

2倍量測噪聲下的滾轉角和滾轉角速度的均方根誤差分別為7.2°和34.5（°）／s，3倍量測噪聲下的滾轉角和滾轉角速度的均方根誤差分別為12.6°和48.7（°）／s。由圖7可以看出，同樣在第2.5 s和第7.5 s時，滾轉角加速度為0，但是前后時刻的滾轉角加速度改變最大，所以量測噪聲越大，誤差也越大，滯后也越明顯。

5 結 論

1）本文分析了GPS信號功率與載體滾轉角、多普勒頻率與載體滾轉角速度的關系，采用了UKF算法融合GPS信號功率和多普勒頻率測量信息，并提出了滾轉角加速度估計自適應濾波算法改進模型，仿真結果表明，濾波算法融合2種信息是可以對載體的滾轉角和滾轉角速度進行測量的，且天線的信號功率和多普勒頻率測量精度對估計精度影響很大。

2）與UKF算法相比，自適應濾波算法不僅能對各種轉速機動形式進行估計，而且避免了滾轉角加速度最值選取導致對濾波性能的影響，更有效地抑制了滾轉角、滾轉角速度和滾轉角加速度的誤差跳變幅度，減小了均方根誤差，具有更好的濾波估計能力，大幅度地提高了測量精度。