基于FRFT的多分量LFM 信號檢測與參數估計方法

宋耀輝，黃仰超，張衡陽，秦智康，高維廷

（空軍工程大學 信息與導航學院，西安710077）

變換域通信在電磁環境日益復雜、通信干擾樣式日益多樣化的條件下被提出，其以獨特的頻譜感知、主動規避干擾頻段的通信思想，得到了廣泛發展。目前，對多分量線性調頻（LFM）干擾信號參數進行準確估計是變換域通信的一個難題，也是影響通信質量的關鍵因素。在關于LFM 信號檢測與參數估計的典型方法中，文獻［1-2］通過W-V變換進行參數估計，但是由于該變換的非線性性質，導致運用到多分量信號參數估計時出現交叉項干擾，影響參數估計精度；文獻［3-5］將分數階傅里葉變換（Fractional Fourier Transform，FRFT）與短時傅里葉變換（Short-Time Fourier Transform，STFT）分析方法結合，消除了多分量參數估計時交叉項的干擾，但由于需要選擇合適的窗函數，增加了算法的復雜度；文獻［6］提出一種低復雜度的參數估計算法，通過不斷迭代找到信號的沖擊量，但該算法受限于采樣頻率；文獻［7-8］利用分數階自相關函數尋找峰值，文獻［9］減少信號采樣點數，文獻［10］采用稀疏傅里葉變換，分別從各自角度減小運算復雜度，但都未就具體如何尋找最優旋轉角度進行討論；文獻［11］提出一種高效的FRFT算法，可快速準確地估計信號參數，但不適用于多分量LFM信號的情況。

本文提出一種快速準確地檢測并估計多分量LFM信號參數的方法。該方法借助FRFT與W-V變換間的旋轉等價關系，以及LFM 信號在分數域的功率譜是聚集性優良的直線段特點，推導出不同旋轉角度下直線段長度間存在近似線性關系；利用2個初始角度下LFM 信號的時頻直線段長度，定位出最優旋轉角度的粗略值；再根據LFM信號功率譜幅值隨旋轉角度的變化規律，以最高效方式搜尋最優旋轉角度，并估計信號參數。利用CLEAN思想，逐個搜尋整個頻域內所有的LFM信號分量。為提高檢測方法的抗噪能力，采用移動窗濾波器，對時域信號進行功率譜平滑去噪，并在變換域求平均，從而更好地獲取時頻直線段長度。與傳統的多分量LFM 信號檢測方法相比，本文方法具有較高的精確度和較低的運算復雜度，且抗噪能力強。

1 LFM 信號的分數域分析原理

FRFT是傅里葉變換的擴展形式，是分析頻率時變類信號的有力工具。文獻［12］推導出FRFT與W-V分布之間的關系如下：

由此可知，FRFT是W-V變換在時頻域旋轉一定角度得到的，信號在兩者的映射中存在密切聯系。

在此基礎上，文獻［11］分析出單分量LFM信號在這2種時頻域中映射直線段之間的關系為

式中：Lφ為信號在W-V變換域中的時頻線長度；φ為W-V變換的時頻線角度；Lα為分數階長度；α為分數階傅里葉變換旋轉角度。

假設某單分量LFM信號為

式中：A為信號幅度；f0為初始頻率；k為調頻系數。

對該信號進行不同旋轉角度的FRFT變換，得到函數圖像如圖1所示。

分別用Lα1、Lα2表示信號在旋轉角度α1、α2的分數域直線段長度，不妨設α-φ＞0，可得

圖1 LFM信號在不同旋轉角度的分數階長度Fig.1 Fractional order length of LFM signal at different rotation angles

令x1＝α1-φ，x2＝α2-φ，將等式右側進行泰勒展開，得到

當x1，x2＜1時，

即當旋轉角度α接近最優旋轉角度αo時，Lα和旋轉角度距最優旋轉角度的距離α-αo近似成正比關系，如圖2所示。

圖2 旋轉角度與分數階長度關系的理想模型Fig.2 Ideal model of relationship between rotation angle and fractional order length

根據三角形相似原理，進行簡單的幾何推導，可得最優旋轉角度的估計值為此時?αo較接近理想旋轉角度αo，為進一步提高估計精度，考慮以為搜索中心，搜尋獲取最優旋轉角度的精確值。具體描述為：尋找LFM信號在最優旋轉角度形成的沖激信號，根據沖激信號參數及旋轉角度，對信號時域參數進行估計，如下：

多分量LFM信號是各個單分量LFM信號的線性疊加，如下：

根據FRFT的線性特性，在分數域中多分量LFM信號頻譜圖中表現為出現平行于u軸的直線段的突變。圖3為一個二分量LFM信號在FRFT變換中的函數圖像。

圖3 兩個LFM信號相加時的FRFT功率譜Fig.3 FRFT power spectrum of two added LFM signals

本文借鑒CLEAN 思想，首先研究某分量LFM信號，利用上述方法估計該分量的精確參數，并在相應的分數域中對該分量精確剔除；然后將剔除后的信號返回FRFT的初始旋轉角度，繼續對下一目標進行搜索、參數估計和剔除；設定最低門限，直到所有信號都被檢測出來為止。

2 多分量LFM 信號檢測原理

在運用上述原理進行多分量LFM 信號檢測與參數估計時，需要先確定初始旋轉角度α1和α2。根據文獻［13］，α取值范圍為［π／4，3π／4］時，可得到信號的理想分數階直線；又因為分數階旋轉角度α和分數階次p的關系為α＝pπ／2，所以p的取值范圍為［0.5，1.5］；結合仿真經驗，本文取p1、p2分別為0.7和0.75。同時在進行信號的分數域分析時，由于時頻域單位不統一，導致計算存在誤差。參考文獻［14］，對信號進行單位歸一化處理，取歸一化尺度因子S＝（t0／fs）1／2，t0為采樣時間，fs為采樣頻率。

2.1 多分量LFM 信號檢測算法

LFM信號功率譜分布存在規律，隨旋轉角度與最佳旋轉角度的差值變化。根據文獻［15］，單分量LFM信號f在旋轉角度α的分數階幅度為

當信號的調頻系數k為固定值時，其函數圖像如圖4所示。

根據功率譜函數表達式及其函數圖像可得：

1）當旋轉角度等于最優旋轉角度時，其FRFT功率譜表現為沖激函數。

2）在靠近最優旋轉角度時，分數階幅度增長速率越來越快，幾乎成指數增長；在遠離最優旋轉角度時，分數階幅度緩慢減小，且幅值不大。

圖4 旋轉角度、分數階次與分數階幅度關系Fig.4 Relationship between rotation angle and fractional order amplitude，fractional order and fractional order amplitude

根據上述變化規律，本文采取以下搜尋算法：步驟1 根據式（7）計算最優分數階次的初始搜索中心

圖5 chirp信號調頻系數k與最優分數階次p關系Fig.5 Relationship between frequency modulation coefficient k of chirp signal and optimal fractional order p

步驟6 根據式（8）估計該分量信號參數，并在相應分數域將該信號精確剔除，剔除后返回到步驟1進行下一分量的估計。

步驟7 設定門限值，重復步驟1～步驟6，直到精確估計出所有LFM分量。

2.2 計算量分析

在對多分量LFM 信號的各個分量進行參數估計時，主要運算集中在不同分數階次FRFT的計算。當噪聲影響及多分量LFM 信號間干擾較小時，對各信號分量的功率譜直線段長度估計就越準確，而搜索中心就越接近最優分數階次。

結合式（7）、式（11）可得有噪聲干擾狀態與無噪聲干擾狀態下的初始分數階次之間相差n次搜尋：

假設對信號取N點采樣，則進行一次FRFT變換需O（N lg N）次運算，那么對單分量FM 信號參數的精確估計需O（15.5N lg N）次運算。相比于傳統搜索算法，要達到最優分數階次為0.000 1的估計精度，需要20 000次分數階傅里葉變換，本文算法在保證估計精度的前提下運算量顯著降低。

2.3 噪聲影響

在低信噪比條件下使用上述搜尋算法時，本文采取多項式擬合的方法進行信號處理，分別在時頻域對信號進行S-G濾波，以便確定LFM信號在初始分數階次的分數階長度。首先對時域采樣信號平滑去噪，在盡量減小失真的情況下獲取清潔信號；然后在分數域擴大移動窗長度求均值，獲取頻譜圖像的直線段長度。

對信號采用S-G FIR平滑濾波器進行平滑濾波，其濾波原理如下：確定移動窗長度，在移動窗內利用最小二乘原理，對數據進行多項式擬合。假設對時域采樣信號平滑降噪時，擬合多項式階次為n1，移動窗長度為N1；對分數域信號求均值時，多項式擬合階次為n2，移動窗長度為N2。為減少時域信號失真，在較短窗范圍內，選取高階多項式進行平滑去噪，這里取N1＝N／80，n1＝5；在分數域求平均時，應該劃定較大的窗范圍，這里取N2＝N／8，n2＝0。

圖6為單分量LFM信號在采樣點為800時，進行本文算法處理得到的變換圖像。經過圖形對比可以看出，用本文算法濾波后的圖形更容易確定信號的分數階長度。

圖6 采樣信號在旋轉角度α1 時的分數階幅度Fig.6 Fractional order amplitude of sampled signal at rotation angle α1

3 模擬仿真

1）仿真1

驗證噪聲對多分量LFM信號檢測與參數估計產生的影響。根據2.2節分析，噪聲功率過大時將無法提取LFM 信號的分數階長度，而分量之間的相互干擾主要在小范圍內影響所獲取分數階長度的準確度。本仿真研究本文方法的抗噪能力，即在有噪聲情況下提取LFM信號分數階長度的性能。考慮將問題簡化，選用單分量LFM 信號替代多分量LFM信號進行測試。信號表達式如式（13），幅值為1，采樣頻率為600Hz，采樣時間為2 s，采樣點數為1201個。

先在無噪聲條件下進行多次參數估計，獲取平均誤差；再在此基礎上，進行不同信噪比條件下的信號檢測，獲取檢測概率。

仿真結果為：調頻系數平均估計值為60.0935，絕對誤差為0.093 5，相對誤差為1.56×10-3；初始頻率平均估計值為19.870 7，絕對誤差為0.129 3，相對誤差為6.47×10-3。給信號加入高斯白噪聲，當信噪比為［-10，0］dB條件下，在不同信噪條件下分別模擬仿真100次，得到成功檢測并精確估計出信號參數的概率，如圖7所示。由此可知，當信噪比大于-6 dB時，成功檢測信號的概率可達到90%以上；當信噪比降低到-7 dB時，成功檢測信號的概率降低到50%；當信噪比降低到-9 dB時，隨著噪聲增大，信噪比降低，成功檢測信號的概率穩定在5%左右。

2）仿真2

圖7 不同信噪比條件下信號的成功檢測概率Fig.7 Probability of successful signal detection under different SNRs

為驗證本文方法對多分量LFM 信號檢測與參數估計的有效性，設置三分量LFM信號的參數估計。信號表達式見式（14），采樣頻率為600 Hz，采樣時間為2 s，采樣點數為1 201個，為使仿真更具一般性，給信號加入高斯白噪聲，使信噪比達到-3 dB，仿真結果如表1所示，表中pi表示第i分量對應的最佳分數階次估計值。

結果表明，在信噪比為-3 dB條件下，使用本文方法能快速準確地對信號各分量進行有效估計。但是在對每一分量進行參數估計時，由于在分數域未將相應的信號分量濾除干凈，存在相同分量的重復檢測現象。該現象不對方法精度造成影響，但進行多分量LFM 信號參數估計時，該現象增加了對每一分量的檢測次數，降低了整體方法效率。

3）仿真3

本仿真驗證本文方法的運算量。將仿真1中單分量LFM信號在不同信噪比條件下的仿真運算次數記錄于表2；將仿真2中信噪比達到-3 dB條件下，三分量LFM 信號檢測時，進行20次試驗，將各個分量平均運算次數記錄于表3。

表1 三分量LFM 信號檢測與參數估計仿真結果Table 1 Simulation results of three-component LFM signal detection and parameter estimation

表2 單分量LFM 信號FRFT調用次數與信噪比Table 2 FRFT calls and SNR of single-component LFM signals

表3 三分量LFM 信號運算次數Table 3 Operation times of three-component LFM signals

分析表2數據，對單分量LFM 信號參數估計時，進行FRFT運算次數基本上與理論分析值相符，但少于理論分析中的15.5次運算，這是由所選的信號參數決定的，當選取大量不同參數的信號進行模擬仿真時，平均運算量將接近理論值；分析表3數據，對三分量LFM 信號參數估計時，平均對每一分量的FRFT運算次數都超出理論值的2～3倍，這也反映出由于在分數域未將已估計分量濾除干凈，所導致的相同分量重復檢測現象。

4 結 論

本文提出了一種多分量LFM 信號檢測和參數估計的方法——利用FRFT的線性性質，對各分量單獨分析，每次尋找一個分量的分數階沖激函數，估計該分量的參數，然后在分數域將其剔除。

1）利用信號各角度FRFT之間的幾何關系，提出最優分數階次粗略值?po的計算方法，且?p o距離最優分數階次po誤差可達到0.1以內。

2）進一步提高估計精度，按照信號的分數階幅度分布規律，提出一種高效的搜尋算法。

3）為克服各信號分量之間的相互干擾及噪聲影響，分別在時域和頻域進行階數和窗長度不等的S-G濾波，提高精確估計出信號參數的概率。同時該方法在進行沖激函數剔除時存在不足，下一步可引入分數域濾波器，減少對同一分量的重復檢測。