梁式結構損傷模式識別研究

吳 帥 張開銀 王道恒

(武漢理工大學交通學院1) 武漢 430063) (浙江交工集團股份有限公司設計分公司2) 杭州 310052)

0 引 言

由于各種荷載和突發災害的不利影響，梁式結構在運營過程中會發生不同程度的損傷或疲勞[1].隨著損傷(疲勞)的不斷積累，結構的安全性能不斷下降，承載能力不斷降低[2].所以結構損傷識別的目的，就是要提出準確可靠的損傷識別方法，從而及時地掌握結構損傷狀態，為采取合理有效的防護加固措施提供依據[3].

為了準確可靠的識別損傷位置和損傷程度，學者們進行了大量的研究[4-5].將模式識別技術與結構損傷理論相結合，通過構造合適的模式向量，利用相應的模式分類器，將結構的實際損傷向量與各種損傷模式進行匹配分類，從而準確可靠地識別結構損傷，形成相應的結構損傷模式識別方法[6-7].

1 基本原理

1.1 結構剛度變化對固有頻率的影響

當梁結構的剛度發生改變時，其各階固有頻率會產生相應的變化[8].對于作橫向自由振動的梁式結構，在不考慮阻尼的情況下，其位移為

y(x,t)=Y(x)sin (ωt+α)

(1)

式中：Y(x)為梁結構的位移函數；ω為梁結構的固有頻率；α為梁結構的初始相位角.

式(1)對t微分，可得梁結構的速度表達式為

(2)

根據能量守恒定理，在任一t時刻，作自由振動的無阻尼彈性系統的總能量應保持不變，即系統動能與應變能之和不變.由式(1)、式(2)可知，當梁結構的位移為零時，其速度達到最大值，此時系統能量全部為動能，其值為

(3)

式中：l為梁結構的長度；ρ(x)為梁結構單位長度的質量.

同理，當梁結構的速度為零時，其位移達到最大值，此時系統能量全部為應變能，在只考慮彎曲變形能的情況下，該應變能為

(4)

式中：EI(x)為梁結構的抗彎剛度；Y″(x)為梁結構的曲率模態.

在能量守恒的情況下，有

Tmax=Umax

(5)

由此可得梁式結構的固有頻率為

(6)

當梁結構產生單一剛度損傷而質量保持不變時，可認為

δ(EI(x))≠0δ(ρ(x))=0

(7)

對式(6)變分，可近似得到梁結構的第i階固有頻率的相對改變量為

(8)

若假設梁結構的剛度損傷發生在梁上xj處的Δx范圍內，并取γj=δ(EI(xj))Δx，則化簡式(8)可得

(9)

式中：γj為梁結構在xj處的剛度損傷因子；Ui為梁結構第i階模態應變能.

由式(9)可知，梁式結構的局部單一剛度變化將引起結構各階固有頻率的改變，當結構損傷發生在某階曲率模態較大的位置時，其對該階固有頻率相對改變量的影響也較大.從能量的角度可解釋為，結構曲率模態較大的位置其應變能較高，結構在此處產生損傷，會釋放較大的模態應變能，從而引起結構固有頻率的較大變化.

特別的，對于等截面梁式結構，當其橫截面為高h、寬b的矩形時，其截面慣性矩為I=bh3/12.若xj處的裂縫寬Δx高Δh，則抗彎剛度的變分為

(10)

(11)

消去式(9)中模態應變能對結構固有頻率相對改變量的影響，根據振型的正交性，有

(12)

式中：Mi為梁結構第i階模態質量；Ki為梁結構第i階模態剛度.

(13)

式(13)表明，當梁式結構的剛度損傷發生在x處時，結構的各階固有頻率均會發生相應改變，其相對改變量與損傷處結構剛度歸一化后的曲率模態值的平方成正比.因此，可以通過損傷前后結構固有頻率的相對變化情況，利用模式識別方法，選取合適的特征向量，并對其進行模式分類，從而識別出結構的剛度損傷.

1.2 模式識別方法

根據式(13)，當梁式結構位于xj處的單元發生剛度損傷時，其對第i階固有頻率相對改變量的影響為

(14)

同理，該損傷對結構第i+1階固有頻率相對改變量的影響為

(15)

由于梁結構的剛度損傷因子γj只與損傷程度和損傷位置有關，與模態階數無關，因此對于同一損傷，式(14)、式(15)中的剛度損傷因子是相同的.此時，梁結構的同一剛度損傷引起的結構相鄰兩階固有頻率相對改變量的比值可以表示為

(16)

式(16)表明，當梁式結構產生單一剛度損傷時，結構任意相鄰兩階固有頻率相對改變量的比值僅與曲率模態有關.由于曲率模態為結構位移模態的兩階導數，結構任意相鄰兩階固有頻率相對改變量之比包含了結構損傷的位置信息，故可以將其選取為特征值，利用若干階固有頻率相對改變量之比構造特征向量.

1.2.1確定模式分類

若將梁式結構劃分為m個單元，則當第j個單元產生剛度損傷時，根據式(15)可建立其損傷模式向量φj

(17)

對應梁結構的任一單元損傷，均可按照式(17)得到損傷模式向量.當梁結構的單元個數為m個時，可得到m個損傷模式向量，從而構成梁結構的損傷模式為

Φ={φ1,φ2,φ3,…,φj,…,φm}T

(18)

梁結構的損傷模式包含了全部單元的損傷模式向量，代表其可能發生的m種損傷類別，故梁結構的實際損傷狀態必然處于這m種類別之一.

(19)

由于實際損傷必然符合結構損傷模式中的某種類別，特征向量φp也必然與損傷模式Φ中的某一損傷模式向量最為相似.通過選取合適的距離函數，對特征向量φp和損傷模式向量φj進行相似性度量，即可識別結構的損傷.

1.2.2選取距離函數

根據模式識別理論，判斷兩個模式之間的相似性程度，較為簡單且直接的辦法就是計算兩個模式距離的大小[9-10].當兩個模式的距離最小時，這兩個模式的相似性程度最高，從而可將待識別對象分類到該種模式下.為了將特征向量{φ}p進行模式匹配分類，這里取Minkowsky距離函數

(20)

為了將特征向量φp進行模式匹配分類，令λ=2，分別計算特征向量φp與所有損傷模式向量φj的距離，并將Minkowsky距離取得最小值時的匹配，作為損傷識別的結果.此時，特征向量φp與損傷模式向量φj的Minkowsky距離計算公式為

(j=1,2,…,m)

(21)

式中：n為損傷識別時采用的固有頻率階數.

因為計算結果均為多位小數，所以為了提高梁結構單元較多時計算結果的辨識度，可將Minkowsky距離進行歸一化處理

(22)

式中：dmin為全部dj(φp,φj)中的最小值.

當Dj=1時，可認為結構實際損傷的特征向量φp與第j個單元損傷時的損傷模式向量φj最為匹配，也即結構實際損傷狀態與第j個單元處產生損傷時一致，從而判定結構損傷位置為第j個單元處.

2 有限元模擬計算

為了研究結構剛度損傷模式識別方法對結構單一剛度損傷的識別效果，在midas/Civil中建立一等截面懸臂梁模型，懸臂梁的長度為39 cm沿梁長方向將其等分成39個單元，見圖1.

圖1 懸臂梁有限元分析模型

采用修改損傷單元材料彈性模量的方法，對結構的剛度損傷進行模擬.損傷程度設定為30%，45%和60%.對結構剛度損傷模式識別方法進行驗證時，設置的6種不同實際損傷工況，見表1.

表1 懸臂梁剛度損傷工況表

將第10號單元、第20號單元和第25號單元的材料彈性模量按相應的損傷程度進行剛度削弱后，利用特征值分析，可得其損傷前后的固有頻率見表2.

表2 不同剛度損傷工況下懸臂梁的固有頻率

該梁式結構共有39個單元，故存在39種損傷模式.分別模擬結構不同位置損傷程度為50%的剛度損傷，得到結構損傷后的固有頻率.

分別選取前3階、前4階和前5階固有頻率計算，此時實際損傷的特征向量可表示為

1) 當n=3時，

2) 當n=4時，

3) 當n=5時，

表3 各工況下懸臂梁剛度損傷特征向量

同理，當分別選取前3階、前4階和前5階固有頻率建立懸臂梁結構的損傷模式時，根據式(17)和(18)，可得懸臂梁結構損傷模式.

將結構損傷前的固有頻率和各單元分別產生損傷時的固有頻率相結合，利用式(17)可得到懸臂梁結構的損傷模式向量.之后按式(21)計算各實際損傷特征向量與損傷模式向量之間的Minkowsky距離，并將其歸一化.

為了更為直觀的分析懸臂梁結構的剛度損傷識別結果，利用MATLAB可作出6種不同工況下的歸一化Minkowsky距離折線圖，見圖2.

圖2 不同工況下的歸一化Minkowsky距離

根據式(22)，當結構的實際損傷特征向量與第j個單元的損傷模式向量的歸一化Minkowsky距離Dj=1時，可將結構實際損傷歸類于結構第j種損傷模式，從而將實際損傷定位在第j個單元處.將歸一化距離數據進行歸納總結，可得6種不同工況的損傷識別結果，見表4.

分析表中的懸臂梁結構損傷識別結果，可得到以下結論：

1) 工況1和工況2的實際損傷與懸臂梁結構的第10種損傷模式相匹配，從而識別出結構損傷位置為第10號單元；工況3和工況4的實際損傷與懸臂梁結構的第20種損傷模式相匹配，從而識別出結構損傷位置為第20號單元；工況5和工況6的實際損傷與懸臂梁結構的第25種損傷模式相匹配，從而識別出結構損傷位置為第25號單元.這表明對于非對稱結構，利用其固有頻率的相對改變量之比構造特征向量與模式向量是可行的，得到的結構單一剛度損傷識別結果是較為準確可靠的.

2) 懸臂梁的實際損傷特征向量是通過分別折減相應單元彈性模量的30%，45%和60%計算得到，而結構損傷模式是將各單元的彈性模量折減50%后計算得到的，最小差異為5%，但損傷識別結果的精度和辨識度仍然較高.這表明利用該參數構造的特征向量與模式向量對結構單一剛度損傷的敏感度較高，且該特性與結構形式無關.

表4 懸臂梁剛度損傷識別結果

3) 構建結構損傷模式向量和實際損傷特征向量時，分別采用了前3階、前4階或前5階固有頻率計算，均一致得到了辨識度較高的識別結果，這再次表明結構固有頻率的階數對剛度損傷識別結果的影響很低，利用結構有限的低階固有頻率數據已經足夠定位結構的單一剛度損傷.

該算例對結構剛度損傷模式識別方法應用于非對稱結構時的損傷識別效果進行了驗證，結果表明該模式識別方法較為準確可靠.為了研究該方法在實際工程結構損傷識別中的有效性，還需對其進行試驗驗證[11].

3 懸臂梁剛度削弱試驗

利用利用文獻[12]懸臂鋼梁模態識別試驗，對結構剛度損傷模式識別方法進行試驗驗證.該懸臂鋼梁結構的長度為1.5 m，截面形式為正方形箱型截面，通過在梁上切口來模擬結構的剛度損傷，工況1 的切口位置距固定端22.5 cm深度為10 mm，工況2的切口位置與工況1相同，但切口深度為20 mm.通過試驗獲得的懸臂梁結構損傷前后的固有頻率見表5.

表5 試驗梁損傷前后固有頻率的實測值 Hz

當選取的結構固有頻率的階數不同時，可得到不同的實際損傷特征向量.建立結構的有限元分析模型，在坐標原點處對其施加約束，并沿梁長方向等分成30個單元.將各單元的材料彈性模量分別降低以模擬結構50%的剛度削弱.利用midas/Civil的特征值分析功能，得到懸臂梁結構的損傷模式向量.

計算試驗梁的實際損傷特征向量與損傷模式向量之間的Minkowsky距離.利用MATLAB可做出歸一化Minkowsky距離折線圖，見圖3.

圖3 試驗梁兩工況下的歸一化Minkowsky距離

分析可以得到以下結論：

1) 工況1和工況2的實際剛度損傷均發生在距懸臂梁固定端22.5 cm(有限元模型第5號單元中點)的位置處，這與結構剛度損傷模式識別方法識別得到的結構損傷位置(第6號單元)基本一致.這表明，利用結構固有頻率相對變化量之比構造的特征向量與模式向量包含了足夠的結構損傷信息，通過計算其Minkowsky距離，能夠較好地將實際損傷與結構損傷模式進行匹配分類，從而唯一地識別出非對稱結構的單一剛度損傷.

2) 盡管采用的固有頻率階數不同，但圖中的歸一化Minkowsky距離曲線都較為接近.同時，Minkowsky距離出現最大值時，損傷單元與相鄰單元的差異并未隨固有頻率階數的變化而發生明顯改變.這表明固有頻率的階數對損傷識別結果的影響很小，在定位損傷位置時，可僅利用結構較少的低階固有頻率數據，得到較為準確的損傷識別結果，為該模式識別方法在工程實例中推廣應用提供了便利.

4 結 論

1) 當結構產生局部剛度損傷時，其各階固有頻率的相對改變量與結構損傷處剛度歸一化后的對應階曲率模態的平方值呈正比；若結構的剛度損傷發生在某階曲率模態較大的位置，則該階固有頻率在剛度損傷前后的相對改變量較大.

2) 以Minkowsky距離函數作為分類器，采用結構固有頻率的相對變化量之比構造特征向量與模式向量的結構剛度損傷模式識別方法，能夠對梁式結構的單一剛度損傷進行定位，其識別結果具有一定的精度.