深水安裝纜軸向振動共振頻率研究

佘振興，羅曉蘭，張 潔，劉軍鵬，黃 枚

(1.中國石油大學(北京)機械與儲運工程學院，北京 102249；2.中國石油大學(北京)海洋工程研究院，北京 102249； 3.惠生工程(中國)有限工程公司，上海 201210)①

水下生產(chǎn)系統(tǒng)是深海油氣田開發(fā)工程中至關(guān)重要的一部分[1]。但在水下生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)施的下放安裝過程中會出現(xiàn)安裝纜繩斷裂失效，導(dǎo)致水下設(shè)施安裝失敗，造成巨大的經(jīng)濟損失。因此，承受動態(tài)外界激勵的安裝纜繩軸向振動特性研究對深海安裝系統(tǒng)的整體分析和工程設(shè)計十分必要。

Zhu[2]在纜繩三維動力響應(yīng)方程中引入平均切向矢量法，采用外界激勵為波高5 m、周期4 s情況下對纜繩進行了動力學仿真，研究成果對避免系統(tǒng)共振和延長纜繩壽命具有重要意義；Lueck R G等[3]利用傅里葉逆變換方法和小波法對垂向吊放系統(tǒng)頻域模型進行求解，得出纜繩應(yīng)力分布和纜繩末端的位移，將外界激勵和船舶位移激勵進行分析，可以對典型系統(tǒng)的瞬時應(yīng)力和位移進行預(yù)測；Dantas C M S等[4-6]通過三角函數(shù)的逆變換，將簡單邊界下的物理模型確定的偏微分方程簡化，使用等效替代方法將連續(xù)桿下端連接的重物等效為相同質(zhì)量的附加桿，消除了復(fù)雜邊界條件，有利于數(shù)值方法中計算的穩(wěn)定性；張煒[7]在斷開模式條件下，對深水鉆井中立管的動態(tài)特性進行了研究，考慮了附加質(zhì)量，建立了復(fù)雜邊界條件的軸向振動連續(xù)桿模型，結(jié)合實例，利用試算的方法，求出共振前5階固有頻率和動態(tài)載荷；Wang等[8]研究了海洋鉆井隔水管在安裝時受到的軸向振動特性，建立了一個連續(xù)系統(tǒng)上端受到外界激勵下端連接重物整體受到洋流阻尼力的物理模型，通過使用分離變量法求解相應(yīng)的振動控制方程，得出相應(yīng)的隔水管各個位置的動態(tài)振動響應(yīng)。劉永林、朱克強等[9-10]對深海水下裝備吊放系統(tǒng)纜索進行了研究，探索一種可描述纜索系統(tǒng)垂向吊放動力學行為的解析模型，給出它的自封閉方程、固有頻率和簡諧運動表達式；唐駕時[11]研究了一端帶有集中質(zhì)量，另一端連接彈簧情況下桿的軸向振動問題，用攝動法求具有非線性邊界條件的非線性偏微分方程的近似解析解；M Shatalova[12]考慮在簡單邊界條件下經(jīng)受縱向振動的經(jīng)典粘彈性桿的長度是可隨時間而變化的，推導(dǎo)出桿的動力學的新偏微分方程；Cveticanin L[13]提出了一種用于強非線性粘著桿的軸向振動頻率和周期的計算方法，利用變量分離的方法，建立了特殊初始條件下的方程解，將偏微分方程分為兩個非線性強非線性二階微分方程。

1 理論模型

在深海下放安裝作業(yè)過程中，安裝纜繩具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，且在任意截面形變量微小，滿足連續(xù)條件。假設(shè)安裝纜繩各個截面受力均勻并且各向同性，它可以被看成是一個連續(xù)系統(tǒng)的軸向振動問題，通過求導(dǎo)出控制運動偏微分方程。結(jié)合邊界條件求解，可以解出連續(xù)系統(tǒng)的軸向振動響應(yīng)特性[14]。

纜繩的軸向振動特性符合連續(xù)桿軸向振動系統(tǒng)的條件，因此安裝纜繩下放安裝管匯的實際物理模型如圖1所示，安裝纜繩上端承受的升沉運動作為一個外界激勵FH作用在纜繩上端，纜繩承受的海水阻尼力簡化為彈簧FC，下端連接重物承受的拖曳力簡化為彈簧力FD，纜繩長為L，纜繩質(zhì)量為m，下放物體濕重為M，纜繩軸向剛度為EA，固有頻率為ω0，共振頻率為ωn。對于這種承受復(fù)雜邊界條件、外界激勵以及非線性阻尼力的連續(xù)桿系統(tǒng)的軸向振動響應(yīng)特性研究，首先需要求解出簡化系統(tǒng)的固有頻率，然后考慮承受外界激勵以及海水阻尼力，求解系統(tǒng)的共振頻率，如圖1所示。

圖1 安裝纜繩軸向振動分解示意

2.1 安裝纜繩軸向振動固有頻率

纜繩下放安裝系統(tǒng)的自由振動特性需要考慮到纜繩的質(zhì)量、密度、彈性模量、長度及下放物體帶來的復(fù)雜邊界條件的影響。建立纜繩下放安裝系統(tǒng)自由振動的物理模型如圖2a，其中u是軸向形變位移，du/dx是軸向應(yīng)變。

圖2 自由振動物理模型受力分析

取纜繩上質(zhì)量為m的任意微單元體dx進行軸向受力分析，如圖2b所示。微單元體上端軸向力為：

(1)

忽略高階分量的影響，微單元體下端軸向力為：

(2)

式中：E為纜繩材料的彈性模量，Pa；A(x)為纜繩在x處的橫截面積，m2。

對微單元體進行受力分析，可得纜繩軸向無阻尼自由振動微分方程為：

(3)

式(3)可以簡化為波動方程。

(4)

(5)

結(jié)合纜繩受力情況分析，初始條件和整體的邊界條件方程為：

(6)

式中：L為纜繩長度，m；M為下放物體濕重，t。

對于波動方程(5)使用分離變量法求解[15]，可得：

(7)

式中：A，B，C，D為參數(shù)；ω為頻率。

由邊界條件方程(6)與式(7)，可得：

(8)

(9)

將式(9)代入式(7)得：

(10)

軸向力表達式為：

(11)

纜繩頂部(x=0)處動態(tài)應(yīng)力為：

(12)

(13)

對應(yīng)固有周期T為：

(14)

2.2 安裝纜繩軸向振動共振頻率

建立安裝纜繩阻尼受迫振動模型及纜繩中一個微單元體dx的受力分析，如圖3。其中f(x，t)表示微單元體dx上作用的外力。

圖3 阻尼受迫振動模型受力分析

根據(jù)達朗貝爾原理，纜繩軸向受迫振動微分控制方程為：

(15)

式中：H為單位長度的線性阻尼系數(shù)，kg/(m/s)；ρ(x)為纜繩在x處的密度，kg/m3。

假設(shè)纜繩各向同性且橫截面積保持一致，式(15)可簡化為安裝纜繩的阻尼軸向受迫振動微分控制方程。

(16)

設(shè)H/m=2h，而m=ρA，則：

(17)

纜繩的上端固定在安裝船的絞車上，跟隨安裝船做升沉運動。纜繩的下端連接著設(shè)備，可以看成是連接著集中質(zhì)量、拖曳力。阻尼軸向受迫振動微分控制方程的邊界條件為：

(18)

式中：ρs為海水的密度，kg/m3；CDZ為下放物體的垂直拖曳力系數(shù)；AP為下放物體在垂直方向有效受力面積，m2；ηL為纜繩運動幅值，m。

纜繩帶阻尼振動微分方程的解為：

(19)

式中：φi(x)為纜繩軸向阻尼振動的振動模態(tài)函數(shù)。

φi(x)振動模態(tài)函數(shù)滿足下列條件。

(20)

由式(17)、式(19)，可以得到一個微分方程：

(21)

由于振動模態(tài)的正交性，式(21)可表示為：

(22)

對式(22)常系數(shù)微分方程進行求解。

安裝軸向振動特性函數(shù)為：

(23)

2.3 案例分析

以一個實際深海管匯下放安裝作業(yè)為例，水深為1 500 m，纜繩直徑100 mm，鋼纜的彈性模量0.85×1011N/m2，海水密度取1 025 kg/m3，下放設(shè)施濕重為190 t，阻尼系數(shù)取0.02，且下放物體在豎直方向投影面積為10 m2，外界激勵振幅和周期分別是1 m和8 s。

纜繩直徑為100 mm鋼絲纜繩單位長度干重為469.03 N/m，單位長度濕重為390.14 N/m，破壞強度為6 333.58 kN。計算可得安裝纜繩參數(shù)如表1。

表1 安裝纜繩參數(shù)

從表1中可知，在該安裝工況下，阻尼系數(shù)為0.4 kg/(m/s)，第1階固有頻率和共振頻率分別是4.238 8 Hz和4.219 8 Hz，降低了0.4%，影響很小。工程應(yīng)用中，在小阻尼的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動問題，通?？梢杂霉逃蓄l率代替共振頻率。

3 敏感性分析

為了考慮實際安裝工況中，不同安裝水深、纜繩直徑及水下生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)施濕重對安裝纜繩共振頻率的影響，以深海管匯下放安裝作業(yè)實例為基礎(chǔ)，研究了不同水深、纜繩直徑和下放重物質(zhì)量對安裝纜繩前4階共振頻率的影響，并對3種影響因素進行敏感性分析。

3.1 水深對共振頻率的影響

在下放深度為500、1 000、1 500、2 000、2 500 m 5種情況下，保持其他參數(shù)不變，安裝纜繩共振頻率的變化趨勢如圖4所示。

圖4 不同水深下安裝纜繩前4階共振頻率

由圖4可知，安裝纜繩的前4階共振頻率隨著下放水深的增加而逐漸減少。其中，第4階共振頻率的變化斜率從最大36.309 4 rad/s(水深500 m)減少到25.085 2 rad/s(水深2 500 m)；最重要的第1階共振頻率從5.185 7 rad/s(水深500 m)減少到3.581 7 rad/s(水深2 500 m)，因為基頻引起的振幅更大、更容易使纜繩斷裂失效，在實際安裝工程獲得更多的關(guān)注。因此，在不同的安裝水深下，當外界激勵頻率為3.5 ～ 5.0 rad/s時，需要對安裝纜頂端采取保護措施，或者考慮中止安裝作業(yè)，避免纜繩斷裂。

3.2 纜繩直徑對共振頻率的影響

在纜繩直徑為80、90、100、110、120 mm 5種情況下，保持其他參數(shù)不變，安裝纜繩的共振頻率如圖5。

由圖5可知，安裝纜繩的前4階共振頻率隨著纜繩直徑的增加而逐漸增加。其中，第4階共振頻率的變化斜率從最大26.336 9 rad/s(直徑80 mm)增加31.772 0 rad/s(直徑120 mm)；最重要的第一階共振頻率從3.759 6 rad/s(直徑80 mm)增加到4.537 8 rad/s(直徑120 mm)，變化不大。因此，安裝纜繩的直徑變化對共振頻率的影響不大；當外界激勵頻率為3.75～4.55 rad/s時，需要注意共振現(xiàn)象的發(fā)生。

圖5 不同纜繩直徑下安裝纜繩前4階共振頻率

3.3 下放設(shè)施濕重對共振頻率的影響

在下放設(shè)施濕重為90、140、190、240、290 t 5種情況下，保持其他參數(shù)不變，安裝纜繩的共振頻率如圖6。

圖6 不同下放設(shè)施濕重下安裝纜繩前4階共振頻率

由圖6可知，安裝纜繩的前4階共振頻率隨著下放設(shè)施濕重的增加而急劇減小。其中第4階共振頻率的變化斜率從最大48.010 9 rad/s(90 t)減小到21.469 9 rad/s(290 t)；最重要的第1階共振頻率從6.857 7 rad/s增加到3.064 9 rad/s，變化明顯。因此，下放設(shè)施濕重對安裝纜繩的共振頻率影響很大，在實際安裝工況中，下放不同的物體質(zhì)量時需要對安裝纜繩的共振頻率和外界激勵頻率做出更多的關(guān)注。為了避免共振現(xiàn)象的發(fā)生，在安裝大質(zhì)量設(shè)施時，應(yīng)選取更粗的纜繩，以提高共振頻率值。

3.4 敏感性分析

選取水深1 500 m，纜繩直徑100 mm，下放設(shè)施濕重190 t為標準組，結(jié)合3種因素對共振頻率影響，繪制不同因素的敏感性分析曲線如圖7。

圖7 不同因素的敏感性分析曲線

由圖7可以看出，下放設(shè)施濕重曲線的斜率最大，纜繩直徑曲線的斜率次之，水深曲線的斜率最小。說明安裝纜繩的共振頻率受下放物體質(zhì)量的影響更大，根本原因在于下放設(shè)施的濕重大于纜繩的質(zhì)量，對纜繩下放系統(tǒng)的共振頻率影響很大。所以，在使用纜繩下放安裝時，需要根據(jù)下放位置海況，對下放物體質(zhì)量進行調(diào)配，避免波浪頻率接近安裝纜繩共振頻率。

4 結(jié)論

1) 通過安裝纜繩的受力分析，運用特殊的函數(shù)變換，結(jié)合海水弱阻尼性質(zhì)，求解出安裝纜繩共振頻率跟固有頻率的關(guān)系；對弱阻尼系統(tǒng)下安裝纜繩軸向振動的共振頻率和固有頻率進行比較，得出在弱阻尼情況下共振頻率可以用固有頻率表示。

2) 對下放水深、纜繩直徑和下放設(shè)施質(zhì)量3個因素進行敏感性分析，得出對安裝纜繩軸向振動共振頻率影響最大的是下放設(shè)施濕重，影響最小的下放水深。