雙曲殼結構復合材料的熱臨界屈曲溫度分析

蘇建民， 劉炳昌， 李 強

(濰坊科技學院山東省高校設施園藝實驗室, 濰坊 262700)

相比較于傳統的金屬材料，復合材料是通過兩種或兩種以上不同性質的材料用某種特定方法在宏觀尺度上組成的具有新性能及特性的材料。雙曲殼結構在日常生活非常普遍，是扁殼的一種形式，所謂扁殼是指薄殼的矢量高度f與被薄殼所覆蓋的底面相對較短邊a之間比值f/a≤1/5。從幾何結構角度來看，扁殼曲面實際上是日常常見普通曲面的一部分，例如柱面殼、球面殼、雙曲殼都是扁殼的一種表現形式。雙曲殼具有力學性能優良、結構設計美觀、經濟指標優良、結構跨度范圍寬廣等優點。由于復合材料具有強度高、剛度大、質量輕并具有抗疲勞、減振、耐高溫及其可設計性強等優點近幾年在航空航天、機械制造、設施農業、汽車工業等各方面廣泛應用。由于復合材料層合結構在工作過程中往往要承受復雜的熱載荷作用，所以對復合中間層結構材料進行不同溫度條件和結構參數下的熱屈曲行為研究是十分必要的[1-5]，但是針對復合材料層合雙曲殼結構的研究較少。

文獻[6]研究了復合材料層合板在均勻溫度場下和非均勻溫度場下的熱屈曲行為，并探討層合板的不同邊界條件、鋪層方向對層合板臨界屈曲溫度的影響；文獻[7]研究分析了在溫室條件下層合板結構固有頻率變化情況；文獻[8]總結了等效單層理論、分層理論的優點，提出了復合材料夾層板、層合板的分段剪切變形的基本理論；文獻[9]對新型雙曲殼復合夾層結構的阻尼性能特性進行了理論分析研究；文獻[10-11]研究并分析了溫度變化時對不同厚度層合板的臨界熱屈曲荷載影響以及纖維鋪設方向角度的變化、邊界條件的不同對層合復合材料板的臨界屈曲溫度的影響變化情況；文獻[12]在宏觀微觀模型下建立了濕熱效應屈曲控制方程，分析研究了濕度和溫度對復合材料層合板屈曲行為，并研究了不同邊界條件和不同載荷條件對屈曲行為的影響規律；文獻[13]基于經典的層合板理論分析研究了濕熱環境條件對復合材料層合板的彎曲性能、臨界屈曲溫度和振動特性的影響；文獻[14]采用 Ravleigh-Ritz法分析研究了復合材料層合板在濕熱環境條件下的屈曲性能，在研究過程中同時考慮了材料的彈性性能及熱、濕性質是隨著溫度和濕度變化而變化的規律；文獻[15]研究分析了增強層夾心復合材料板的熱屈曲特性、阻尼特性等；文獻[16]利用經典馮·卡門平板理論和哈密頓原理推導得出復合材料層合板結構運動學方程、復合材料層合板臨界熱屈曲溫度公式，通過求解得到了層合板結構固有頻率、阻尼比分布規律；文獻[17]分析研究了雙曲殼結構的固有頻率以及環境溫濕變化對固有頻率的影響。

現在中外資料對層合板結構的優異性能和熱屈曲行為進行了大量研究[18-20]，而對復合材料雙曲殼結構的熱屈曲研究甚少。復合材料雙曲殼結構在工程實踐中有廣泛的應用，因此對復合材料雙曲殼結構臨界熱屈曲溫度進行分析計算，通過有限元BlockLanczos法計算其在均勻溫度場下鋪層厚度、邊界條件、纖維方向等因素對臨界熱屈曲溫度的影響，從而得出一些規律性研究。

1 理論分析

1.1 屈曲臨界溫度理論公式推導

復合材料層合雙曲殼結構的長度別為a、b、h。通過Von Karman經典理論可以推出雙曲殼內任一點(x,y,z)的應變-位移關系：

ε=εm+εθ+zκ

(1)

式(1)中：εm、εθ代表應變向量；κ代表曲率向量。通過振動位移公式可以表示為

(2)

式(2)中：u、ν、ω分別是中標系中的位移分量，是滿足運動條件的多項式，通過對雙曲殼上任意一點的應力以及力沿厚度方向的積分，可以得到溫度場作用下的雙曲殼中任意一點合力向量N和合力力矩向量M：

(3)

(4)

(5)

式(5)中：R(k)、Q(k)分別可表示為

Q(k)=

溫度函數fΔt為

fΔt=Δtf(x,y)

(6)

隨著溫度差的不斷增加，雙曲殼的固有頻率降低。當其頻率值為0時，殼發生屈曲，此時與溫度變化量Δtcr即為熱屈曲臨界溫度。如果溫度分布函數f(x,y,z)是一定的，可由式(7)、式(8)求解雙曲殼臨界屈曲溫度Δtcr：

(KL-λKT)X=0

(7)

式(7)中：KL表示結構線性剛度矩陣；KT表示溫度的剛度矩陣。

雙曲殼臨界熱屈曲溫度Δtcr可由最小特征值λ0和初始值Δt0來表示：

Δtcr=λ0Δt0

(8)

雙曲殼運動方程的通解為

X(t)=X0eλl

(9)

式(9)中：λ和X0分別為系統的特征值和特征向量；t表示時間。

利用Block-Lanczos有限元分析法，分析層合雙曲殼結構的振動特性，對空間區域離散分析，根據節點單元位移差值公式：

(10)

表述成矩陣如下：

(11)

1.2 雙曲殼結構模型驗證

雙曲殼結構參數如下：彈性模量E1=125 GPa，E2=5 GPa；剪切模量G12=G13=2.5 GPa，G23=1 GPa，泊松比ν12=0.25，密度ρ=1 600 kg/m3，a/b=1，a/h=100，Rx=Ry=R，λ=[ωa2(ρ/E2h2)1/2]

四邊簡支條件下自由振動無量綱基頻收斂情況如表1所示。

表1 文獻解與本文解的無量綱基頻

由表1可知，通過本文計算模型得到的復合材料雙曲殼結構的無量綱基頻隨著Ry/b的增加而減小并且本文計算的雙曲殼結構的無量綱基頻與文獻結果吻合度良好，誤差在3%以內，從而驗證了本文模型的正確性。文獻[17]使用的是Navier解法只適用于四邊簡支的邊界條件的求解；而本文所用Block-Lanczos法不僅適用于四邊簡支的邊界條件的求解，同時也適用于其他一些邊界條件求解，比如四邊固支等。

2 鋪層厚度對層合雙曲殼結構臨界屈曲溫度的影響

層合雙曲殼結構模型如圖1所示。層合雙曲殼結構各層厚度為1、1、1 mm，弦長為0.4 m，半徑為0.5 m，圓心角為π/6，四邊簡支約束,各向異性的層合復合材料雙曲殼結構各項參數：彈性模量E1=132 GPa，E2=10.3 GPa；剪切模量G12=G13=65 MPa，G23=3.91 GPa，泊松比ν12=0.25，密度ρ=1 570 kg/m3，熱膨脹系數α1=1.2×10-6℃-1，α2=2.4×10-5℃-1。

圖1 雙曲殼模型Fig.1 Model of doubly-curved shells

層合雙曲殼結構采取三層鋪層，每層厚度從1 mm逐漸增加到3 mm。利用DEWESOFT模態測試儀采用單點激勵、多點拾振的方法進行錘擊實驗，研究不同厚度下層合雙曲殼結構的mode(1,1),mode(2,2)的臨界屈曲溫度的變化情況，詳見表2四邊簡支(SSSS)、四邊固支(CCCC)邊界條件下臨界屈曲溫度變化情況。

由表2和圖2可知，層合雙曲殼結構的厚度對臨界屈曲溫度影響非常大，弦長、半徑、包心角一定的情況下：四邊簡支條件下mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度呈上仰曲線變化，其中mode(2,2)上仰趨勢比mode(1,1)的上仰趨勢明顯，這表明四邊簡支邊界條件下層合雙曲殼結構的厚度對mode(2,2)臨界屈曲溫度比mode(1,1) 臨界屈曲溫度影響

表2 雙曲殼結構中不同邊界條件下厚度對臨界屈曲溫度影響

圖2 厚度對臨界屈曲溫度影響Fig.2 Effect of thickness on critical buckling temperature

更加明顯；四邊固支條件下mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度呈直線變化，其中mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度隨厚度變化曲線斜率基本一致，這表明四邊固支邊界條件下層合雙曲殼結構的厚度對mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度影響基本一致。由上可見，無論是在四邊簡支還是四邊固支邊界條件下，層合雙曲殼結構的mode(1,1)、mode(2,2)的臨界屈曲溫度隨厚度的增加而提高，而且都變化非常明顯，因此在復合材料雙曲殼的結構設計中可以增加厚度來提高臨界屈曲溫度。

3 不同邊界條件對層合雙曲殼結構臨界屈曲溫度的影響

在保持復合材料雙曲殼結構厚度不變的前提下，施加不同的邊界約束條件。利用Block-Lanczos分析法對雙曲殼結構進行求解，結果如表3所示。

表3 雙曲殼不同邊界條件下的臨界屈曲溫度

由表3可知，隨著邊界條件的不同，層合雙曲殼結構的臨界屈曲溫度值變化非常明顯。當邊界條件為CCCC時，層合雙曲殼結構mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度最高，而當邊界條件為CFFF(F代表自由邊)時層合雙曲殼結構mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度最低；固支或簡支邊數越多，臨界屈曲溫度越高；當固支或簡支邊數相同時，則固支或簡支對稱約束時臨界屈曲溫度較高。因此雙曲殼結構在邊界約束時，盡量選擇簡單明了的簡支或固支約束。

4 鋪層角度對層合雙曲殼結構臨界屈曲溫度的影響

4.1 四邊簡支邊界條件下鋪設角度對臨界屈曲溫度影響

在保持復合材料雙曲殼結構厚度不變的前提下，施加四邊簡支的邊界約束條件，通過改變鋪層角度。利用Block-Lanczos分析法對雙曲殼結構進行求解，結果如表4、圖3所示。

表4 四邊簡支邊界條件下不同鋪設角度的臨界屈曲溫度

圖3 四邊簡支邊界條件下鋪設角度-臨界屈曲溫度曲線Fig.3 Laying angle-critical buckling temperature curve under simply supported boundary conditions

由表4和圖3可知，在簡支條件下改變層合雙曲殼結構基層、中間層，其mode(1,1)的臨界屈曲溫度在0°～45°隨著角度的增加而提高，在45°～90°隨著角度的增加而降低；同時改變基層、中間層變化規律與單獨改變基層、中間層相似；45°點是mode(1,1)臨界屈曲溫度最高點。

在簡支條件下改變層合雙曲殼結構中間層，其mode(2,2)的臨界屈曲溫度在0°～45°隨著角度的增加而提高，在45°～90°隨著角度的增加而降低；改變基層，其mode(2,2)的臨界屈曲溫度在0°～45°隨著角度的增加而降低，在45°～90°隨著角度的增加而提高；同時改變基層、中間層時變化規律與改變基層相似，但相比于基層變化更明顯。45°點是mode(2,2)臨界屈曲溫度變化的轉折點。

由此可知，在簡支條件下改變層合雙曲殼結構的各層鋪層角度，其mode(1,1)、mode(2,2)的臨界屈曲溫度變化規律是不一致的，這對復合材料雙曲殼的結構設計和實際應用時，提供一定的參考。

4.2 四邊固支邊界條件下鋪設角度對臨界屈曲溫度影響

在保持復合材料雙曲殼結構厚度不變的前提下，施加四邊固支的邊界約束條件，通過改變鋪層角度。利用Block-Lanczos分析法對雙曲殼結構進行求解，結果如表5、圖4所示。

表5 四邊固支邊界條件下不同鋪設角度的臨界屈曲溫度

圖4 四邊固支邊界條件下鋪設角度-臨界屈曲溫度曲線Fig.4 laying angle-critical buckling temperature curve under Fixed supported boundary conditions

由表5和圖4可知，在固支條件下改變層合雙曲殼結構中間層，其mode(1,1)、mode(2,2)的臨界屈曲溫度在0°～45°隨著角度的增加而提高，在45°～90°隨著角度的增加而降低；改變基層，其mode(1,1)、mode(2,2)的臨界屈曲溫度在0°～45°隨著角度的增加而降低，在45°～90°隨著角度的增加而提高；同時改變基層、中間層時變化規律與改變基層相似。45°點是mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度變化的轉折點。由此可知，在固支條件下改變層合雙曲殼結構的各層鋪層角度，其mode(1,1)、mode(2,2)的臨界屈曲溫度變化規律是基本一致、更加接近的，在固支條件下臨界屈曲溫度的變化規律比簡支條件下屈曲溫度的變化更見清晰。

5 總結

(1)四邊簡支或四邊固支邊界條件下，復合材料雙曲殼結構的前兩階臨界屈曲溫度隨厚度的增加而提高，并且雙曲殼結構厚度變化對臨界屈曲溫度影響非常明顯。

(2)邊界條件的不同，雙曲殼結構的臨界屈曲溫度值也明顯不同，固支或簡支邊數越多，臨界屈曲溫度越高；當固支或簡支邊數相同時，則固支或簡支對稱約束時臨界屈曲溫度較高。

(3)無論在簡支還是固支邊界條件下改變雙曲殼結構的中間層鋪層角度，其前兩階的臨界屈曲溫度在0°～90°變化規律是一致的(變化曲線呈中間高兩側低的上凸曲線)，45°點附近是前兩階臨界屈曲溫度最高點。

(4)存在一個最佳鋪層角度，使雙曲結構獲得一個最大的臨界屈曲溫度，因此在結構設計時應選用最優角度值。