探明瞬時斜率 提升核心素養①

蔡蓓蓓 丁楊泉 陸亞軍 朱建武

(江蘇省南通市如東縣馬塘中學，江蘇 如東 226401)

圖線斜率是物理圖像的重要內涵之一，探究、揭示圖線及其切線斜率的物理意義及變化特征，常成為解決圖像問題的關鍵。當某個物理量y隨另一物理量x變化時，若y-x關系圖線是曲線，運用“微元思想”實現“化曲為直”，將圖線反映的物理變化過程分割成無數小段，則任意一小段圖線可看作直線，對應的斜率為k=Δy/Δx。運用“極限思想”，當Δx→0時，Δy/Δx的極限值即為圖線上某點切線的斜率，也就是物理變化過程中某一時刻的斜率，故稱為瞬時斜率。若能揭示出與瞬時斜率k直接相關物理量的變化情況，便能明快剖析、推斷圖像的變化特征。在高中物理圖像教學中，通過引導學生探明圖線上瞬時斜率的內涵，使之理解掌握相關物理觀念和思想方法，可有效訓練科學思維，提升科學探究能力，養成科學態度，從而切實提升學生的物理學科核心素養。

1 熟悉瞬時斜率的兩種特征及應用

以v-t圖像為例，運用微元思想易知：v-t圖線與橫軸所圍成的“面積”表示位移，“面積”的正、負表示位移的方向；v-t圖線的瞬時斜率表示加速度，瞬時斜率的正、負對應加速度的方向。

(1) 當v-t圖像為折線時，其瞬時斜率為階段性定值，?？捎脕磉M行定量分析、推算。

例1：某豎井中礦車兩次不同的提升過程，其速度隨時間變化關系如圖1中圖線①、②所示，變速階段加速度的大小都相同，提升相同的高度，求對應的上升位移所用時間之比。

圖1

解析：變速階段加速度大小相同，即圖線瞬時斜率絕對值相同，則①、②圖線分別為等腰三角形、等腰梯形。上升位移相同，則①、②圖線與橫軸圍成的“面積”相等，圖像中頂部三角形與右側平行四邊形的“面積”也相等，所求之比為4∶5。

(2) 當v-t圖像為曲線形時，其瞬時斜率不斷改變，可用來進行定性或半定量分析。

例2：甲、乙兩汽車在同一條平直公路上同向運動，其速度與時間關系的圖像分別如圖2中甲、乙兩條曲線所示。已知兩車在t2時刻并排行駛，則兩車在t1時刻也并排行駛嗎？兩車的加速度是如何變化的？

圖2

解析：顯然在t1～t2時間內甲車位移較大，則在t1時刻乙車在前、甲車在后。兩車的瞬時加速度大小即為瞬時斜率的絕對值，都是先減小后增大，但加速度方向即瞬時斜率的正、負表明：甲車加速度方向先正、后負，而乙車恰恰相反。

2 掌握判斷圖像特征的兩種方法

以動能與時間關系的Ek-t圖像為例，分析、推斷圖像特征常有兩種方法：(1) 函數式法。推出動能Ek與時間t的函數關系式，據此進行判斷。(2) 瞬時斜率法。探究、揭示圖線瞬時斜率的物理意義及變化特征，據此進行判斷。

例3：從地面豎直向上拋出的小球，運動一段時間后落回地面。忽略空氣阻力，該過程中小球動能Ek與時間t的關系圖像有什么特征？

3 體驗運用瞬時斜率法的簡便性

先以速度與位移關系的v-x圖像為例，勻變速直線運動中速度與位移非一次函數關系，綜合運用運動學規律公式和數學中圓錐曲線知識，推理、判斷其v-x圖像的特征較為麻煩。如探究、揭示出圖線瞬時斜率的物理意義，其分析過程較簡明。

例4：一汽車從靜止開始做勻加速直線運動，然后剎車做勻減速直線運動，直到停止。該過程中速度v和位移x的關系圖像有什么特征？

解析：通過函數式法分析的確較麻煩，可挖掘v-x圖像中圖線切線斜率的物理意義：而Δv=aΔt，Δx/Δt的極限值為瞬時速度v，加速度a為定值，所以切線斜率k=a/v，表明瞬時斜率與瞬時速度成反比，即瞬時斜率絕對值隨瞬時速度大小變化，在加速階段|k|逐漸減小，在減速階段|k|逐漸增大，兩個階段的圖線都向下彎曲。

再以Ek-x圖像為例，即使能推出動能Ek與位移x的函數關系式，也不如揭示圖線瞬時斜率的物理意義來得簡便。

例5：一小物塊沿斜面向上滑動，然后滑回原處。物塊初動能為Ek0，與斜面間的動摩擦因數不變，則該過程中物塊動能Ek與位移x關系的圖線有什么特征？

解析：小物塊可視為質點，先沿斜面向上滑動到最高點，然后向下滑回到原處；相應的位移x先變大，在最高點時x坐標值最大，此后x坐標值變小，回到原處時x=0；物塊的動能Ek先變小，在最高點時Ek=0，此后Ek變大，回到原處時動能Ek

4 運用瞬時斜率法，舉一反三

先以機械能與位移關系的E-x圖像為例，根據功能關系，除重力以外的力所做功等于物體機械能的變化，即ΔE=W外=F外Δx，所以在機械能與位移關系的E-x圖像中，圖線的切線斜率k=F外，因此除重力以外的力F外的方向和大小直接決定了瞬時斜率k的正負及其大小。

例6：某空間區域中有豎直方向的電場(圖3甲中只畫出了一條電場線)，一個質量為m、電荷量為q的帶正電小球在電場中從A點由靜止開始沿電場線豎直向下運動，不計空氣阻力，此過程中小球的機械能E與小球位移x關系的圖像如圖3乙所示，由此可以判斷( )。

圖3

A. 小球所處的電場為非勻強電場，且場強不斷減小，場強方向向上

B. 小球所處的電場為勻強電場，場強方向向下

C. 小球可能先做加速運動，后做勻速運動

D. 小球一定做加速運動，且加速度不斷減小

解析：因為瞬時斜率k=F外=F電=qE′，所以瞬時斜率k與場強E′成正比。隨著小球下落位移x增大，小球的機械能E在減小，表明電場力做負功，場強E′方向向上；且斜率k絕對值在減小，則場強不斷減小，小球所處的電場為非勻強電場；小球所受向上的電場力一直減小，則它一直做加速運動，且瞬時加速度不斷增大，選項A正確?？赏普摚寒斝甭蔾=0時場強E′=0，機械能E不隨下落位移x變化。

再以電勢與位移關系的φ-x圖像為例，圖線上切線斜率即瞬時斜率k=-E，E為對應位置的場強。

例7： 如圖4甲所示，x軸上固定兩個點電荷Q1、Q2(Q2位于坐標原點O)，其上有M、N、P三點，間距MN=NP，Q1、Q2在軸上產生的電勢φ隨x變化關系如圖4乙，則( )。

圖4

A.M點電場場強大小為零

B.Q1、Q2為異種電荷,且Q2電荷量值較小

C.M、N之間電場方向沿x軸負方向

D. 一正試探電荷從P移到M的過程中，電場力做功|WPN|=|WNM|

解析：由于M、N、P三點位于點電荷Q1、Q2連線的Q2外側延長線上，在N點時的瞬時斜率k=E=0，選項B正確；在M點的瞬時斜率k=E≠0，選項A錯誤；M、N之間瞬時斜率k=E<0，電場方向沿x軸正方向，選項C錯誤；一正試探電荷從P移到M的過程中，電場力做功W=qU，而|UPN|<|UNM|，選項D錯誤。

5 密切聯系實際，謹防思維定勢

運用瞬時斜率法時，也得緊密聯系物理過程的實際。

圖5

A. 阻力為2×103N

B. 車速為15m/s時功率為6×104W

C. 勻加速運動加速度為3m/s2

D. 勻加速所需時間為5s

再以a-x圖像為例，說明“瞬時斜率法”并非總能應用。

例9： 一物體由靜止開始運動，其加速度a與位移x關系圖線如圖6所示，則該物體( )。

圖6

A. 最終靜止

結合以上例題的應用，學生既能明了圖線瞬時斜率的內涵，化難為易處理圖像問題，又能學會思想方法、舉一反三，還能注重聯系實際，防止想當然。