關(guān)于拓撲線性空間的定義

何微

拓撲線性空間是一類其線性結(jié)構(gòu)與最一般的拓撲結(jié)構(gòu)有機結(jié)合起來的集合。有關(guān)拓撲線性拓撲空間的研究這種拓撲代數(shù)結(jié)構(gòu)以及把它們應(yīng)用于分析問題的方法。拓撲線性空間理論作為泛函分析學(xué)科的一個分支產(chǎn)生于20世紀40--50年代。在這段時期以前，人們集中的研究了度量空間上的類似結(jié)構(gòu)，這主要是Hilbert空間和Bananch空間以及這些空間的算子。從Hilbert空間和Bananch空間的研究轉(zhuǎn)到拓撲線性空間的研究泛函分析發(fā)展史上的餓里程碑式的發(fā)展。無論如何，拓撲線性空間至今仍然是現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至自然科學(xué)中與之有關(guān)的各種問題和理論討論或闡述的最廣泛的框架。

同時拓撲線性空間又稱拓撲向量空間，它是具有拓撲結(jié)構(gòu)的線性空間，賦范線性空間概念的推廣。泛函分析早期所研究的空間大都是賦范線性的。但到了30年代初，人們已經(jīng)充分地認識到，無論從巴拿赫空間理論本身，還是算子代數(shù)的研究，都必須引進一般的，不只是序列收斂的弱拓撲。那時已經(jīng)把巴拿赫空間的一些基本結(jié)果推廣到完備的、擬賦范的線性空間上去。其后，分布理論的出現(xiàn)，又提出一批新空間如D空間、φ空間等等。這樣大量的重要空間就不再是賦范線性的了，于是有必要在它們的基礎(chǔ)上，建立起局部凸拓撲線性空間理論。從而開創(chuàng)了新的研究領(lǐng)域，也使泛函分析舊有的理論得到進一步發(fā)展。

本文主要對拓撲線性空間的定義做些介紹和討論。

1 基本定義

1.1 線性空間定義

設(shè)R是實數(shù)域，C是復(fù)數(shù)域，用Φ代表二者，即或為實數(shù)域，或為復(fù)數(shù)域， Φ中的元素稱為標量。

定義1： 一個集合X稱為線性空間或向量空間，如果X上定義了兩種運算：

1.加法“+”;對于任何x，y∈X，存在z∈X使得x+y=z，稱 是x與y之和，滿足

（1） x+y+z=x+（y+z）x，y，z∈X;

（2） x+y=y+x， ?x，y∈X;

（3） X使得 ，X+θ=X;

（4） ?， X使得x+y=θ，記y=-x，

2. 數(shù)乘“﹒”;對于任何a∈Φ，x∈X， 使得a·x=y，稱y是a與x的（數(shù)乘）積（通常省略“﹒”），滿足

（1）1x=x， ;

（2） ;

（3） ， ， 。

線性空間中的元稱為向量或點。若Φ=R，則稱X是實線性空間;若Φ=C，則稱X是復(fù)線性空間。θ稱為X的零元，通常記為0，根據(jù)上下文容易區(qū)分零元與標量中的數(shù)字0。

1.2 拓撲空間定義

定義2：設(shè)X是某個集合，X的子集族 稱為是X上的拓撲，若

（1） ?;

（2） 對于 的任一子集 ， · ;

（3） 對于任意有限個

， 。

此時，稱（X， ）是拓撲空間， ?中的每個元素成為Xf的開集，開集關(guān)于X的余集成為閉集。

對于拓撲空間中的任意一點x，包含x的開集稱為x的領(lǐng)域。x點的領(lǐng)域全體稱為x的領(lǐng)域系，記為N（x），N（x）的子族 稱為點x的領(lǐng)域基，若x的任意一領(lǐng)域都包含 中的某個元。

1.3 拓撲線性空間定義

定義3：設(shè)X是標量域Φ上的線性空間， ?是X上的拓撲，若

（1） 對于每一點 是X中的閉集;

（2） 線性空間的加法和數(shù)乘運算關(guān)于 拓撲連續(xù)。

則稱X是拓撲線性空間或拓撲向量空間。

2 拓撲線性空間定義的分析討論

2.1 與拓撲線性空間的相關(guān)定義與定理

緊集定義

定義4：拓撲空間（X， ）中的子集E稱為是緊集，若對于E覆蓋的任一開集族 ?（即 ），從中可選出有限多個開集Bα，i=1，2，…，n，使得它們?nèi)匀桓采wE，即 。

T1，T2分離公理

T1分離公理：在拓撲空間X中，如果任取 ，則x存在的鄰域U不包含y并且存在y的鄰域V不包含x，稱空間X滿足T1分離公理。

T2分離公理（Hausdorff分離公理）： 設(shè)X是拓撲空間，如果任取 ，則分別存在x的鄰域Gx和y的鄰域Gy，使得 稱空間X是T2或是Hausdorff分離空間。

從上面兩個定理可以容易得到，任意的Hausdorff分離空間都是滿足T1的，但反過來則不然。而且我們可以得出關(guān)于Hausdorff空間的任何收斂序列極限點唯一性定理。

2.2 拓撲線性空間定義的淺析

任意拓撲線性空間是Hausdorff空間

從定義3我們可以知道條件（1）和要求X上的拓撲滿足T2條件（Hausdorff空間）是一樣的，首先我們先證明以下定理。

定理1：設(shè)W是0的任一鄰域，則存在0的對稱鄰域U（即U=-U），使得U+U W。

證明：由0+0=0及加法的連續(xù)性，存在0的鄰域發(fā)V1，V2，使得V1+V2 W。

令U=V1 V2 （-V1） （-V2），

則 即為所求的鄰域。

顯然，存在0的對稱鄰域U，使得U+U+…U W。

定理2 ：設(shè)K，C是拓撲線性空間X的子集，其中K是緊的，C是閉的，且K C= ，則存在0的鄰域V，使得

。

證明：如果K= ，對于0的任意鄰域V，K+V= ，結(jié)論顯然成立。

如果 ，任取 ，則 ，由定理1，存在0的對稱鄰域VX，使得

則由VX的對稱性有

（X+Vx+Vx） （C+Vx）= ? ? ? ? ? ? ①

另外，由于K是緊集，存在有窮個點x1，x2，…xn K，使得

記V=VX1 VX2 … Vxn，則有

由①式，上式右邊的并式中，對于每一個xi+Vxi+Vxi與C+Vxi不相交。

所以（K+V） ?（C+V）= ?得證。

因為 ，所以K+V是開集，同理 是開集，因此由定理2，我們有以下推論。

推論：設(shè)K是緊集，C是閉集且K C= ，則存在不相交的開集G1，G2分別包含K及C。

特別地，對任意x.y X，x X，x y，則取K-{x}及C={y}，則有得出以下定理結(jié)論。

定理3：任意拓撲線性空間都是Hausdorff空間。

推論 設(shè)X是拓撲線性空間， 。

（1） ?是開集當(dāng)且僅當(dāng)x+λV是開集。

（2） ?是0點的領(lǐng)域當(dāng)且僅當(dāng)x+λV是x的領(lǐng)域，特別地，-V和λV是0點的領(lǐng)域。

（3） 對于任何 ，若 是開集，則 是開集。

拓撲空間的局部基是指每一點的領(lǐng)域基，這里的（2）說明對于拓撲線性空間來說，0點的領(lǐng)域基可以通過平移作為任何一點的領(lǐng)域基。因此我們常常把0點的領(lǐng)域基稱作空間的局部基。從拓撲學(xué)的知識，若線性空間的兩個拓撲都使之成為拓撲線性空間并且兩者具有相容的局部基，則兩者是相容（相同）的。

在此我們可以定義加法運算的連續(xù)性是指映射（x+y）→x+y，是X×X到X中的連續(xù)影射，即對任意 ，及x+y的任意領(lǐng)域axV，存在x的領(lǐng)域V1及y的領(lǐng)域V2，使得V+1V2 V。

類似的，數(shù)乘運算是連續(xù)的表示映射（a，x） →ax，是K×X到X中的連續(xù)映射，即對任意 及ax的任意領(lǐng)域V，存在r<0及x的領(lǐng)域W，使得當(dāng) 時， 。

由以上定義不難看出，任意賦范空間是拓撲線性空間。

3 拓撲線性空間的相關(guān)例子

現(xiàn)在我們先給個線性拓撲空間的例子，如下有：

例1 每個賦范空間是拓撲線性空間，正如前所說，每個賦范空間是度量空間，從而有又此度量誘導(dǎo)的拓撲，現(xiàn)在只需要驗證運算“+”、“﹒”關(guān)于此度量的連續(xù)，實際上xn，x，yn，y X， ，則

‖（xn+yn）-（x+y）‖≤‖xn-x‖+‖yn-y‖

‖anxn-ax‖≤│an-a│‖x‖

這里│an│是有界的，故不難得出

Xn+yn→x+y，anxn→ax

由此即得所要的結(jié)論。

但并不是所有的拓撲空間都是線性拓撲的，其中離散拓撲空間就是最具有代表性的非線性拓撲空間的拓撲空間。

例2 考察實數(shù)軸R1是線性空間，我們考察R1上的離散拓撲，即有每一個點都是開集的拓撲。此時每個點既是開集又是閉集。

簡單分析：若離散拓撲R1是線性拓撲空間，，則0點的領(lǐng)域是吸收的，而0點本身是個開集，則0點必是吸收集，但這是不可能的。

4 總結(jié)

從上文我們可以看到，一個拓撲空間是可以完全不具備線性結(jié)構(gòu)，同樣，一個線性空間也可以完全不具備拓撲結(jié)構(gòu)，但兩者在一些條件的約束下可以聯(lián)系起來，形成新的空間結(jié)構(gòu)，即就是線性拓撲空間。

基金項目：湖北科技學(xué)院科研探索基金（項目編號：ZJ0465）

（作者單位：湖北科技學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院）