e、π：“數”你最好兩奇葩

【摘 要】 在茫茫數海中，有兩個大放異彩的數，一個是π，一個是e，它們是“數”字百花園中的兩朵奇葩.那么，π到底是一個什么樣的數？為什么千百年來，人們對它尋尋覓覓，孜孜以求？e的應用精彩廣泛，尤其在微積分中，可以說是微妙有趣.那么e究竟有什么實際意義？為什么以e為底的對數叫自然對數？本文從新的視角對π和e進行觀察、分析和研究，并嘗試探討它們之間的關系，使廣大讀者認識到數e和數π的神秘性和美妙性，拋磚引玉，以此激發人們對它們做進一步研究.

【關鍵詞】 數學;常數;π;e;奇葩

數字像一部未知世界的百科全書，人類讀這部大書已經數千年，但還遠未讀懂.數的稠密性告訴我們，在數軸上，無論用怎樣薄的刀片，一刀切下去，總是會“鮮血淋漓”，因為一定會有一個數被“殺”死，真是茫茫“數”海，繁若星辰.在這眾多的數中，有許多“美麗”的數，如完全數（等于除本身之外的全部因子之和的數，如6，28等），無理數（如2、3等），充滿人性的數（如5，是第一個大于1的奇數與偶數之和，因為奇數象征著男性，偶數象征著女性，所以人們把5叫做“愛情”之數）.在數的“百花園”中，更有兩朵奇葩，神秘莫測而又圣潔美好，讓人難以 釋“懷”，欲罷不能，那就是被人們叫做圓周率的“π”和自然對數的底“e”.

1 眾里尋“π”千百度

π是數學中最著名的數，忘記自然界中所有其它常數也不會忘記它， 如果數字也有諾貝爾獎，那么π必列其中.

π是什么？是圓周率，即圓的周長與其直徑的比值，與圓的大小無關，是刻畫圓這類圖形最重要的數據，但凡涉及“彎曲”、“轉動”、“角度”等，都要用到圓周率，如求圓的周長、球的體積、扇形弧長等，甚至有時涉及到那些和圓周毫不相關的地方.幾千年來，人們多么渴望能準確求出這個神秘的數值啊！為了這個數值，千百年來，多少人進行了苦苦探索，阿基米德、托勒密、張衡、祖沖之、牛頓等一大批數學大家曾經為之發奮，為之著迷，甚至不惜一生的精力.

公元前2000年左右，古巴比倫人取圓周率為3，我國天文學專著《周髀算經》中也提到“徑一周三”，古埃及人使用時取之為3.16.古羅馬人使用的圓周率是3.12.著名的古希臘學者阿基米德，曾取π為317.我國魏晉時期的劉徽創造了用割圓術求圓周率的方法，劉徽之后，研究圓周率最有名的的是我國南北朝時期的祖沖之，在公元480年左右計算的圓周率，準確到小數點后七位：3.1415926<π<3.1415927.祖沖之是世界上第一個把圓周率算到小數點后七位的數學家，這是一個非常了不起的成就，人們把3.1415926叫做“祖率”，用這個數值計算一個半徑為10千米的圓面積，誤差不超過6平方米，然而人們希望算出更為精確的圓周率.

對π的探索可分為三個時期：

早期：十六世紀末之前，主要是實驗法和幾何法，代表人物是劉徽、阿基米德、祖沖之和荷蘭數學家盧多夫·范·柯倫等.此時π的值多是憑直觀推測或實物度量而得，其值相當粗略.歷史上π首次出現于埃及，1858年蘇格蘭一位古董商人偶然發現了在古埃及莎草紙上的π數值.1610年，荷蘭人為π建立了一座不可思議的紀念碑，上面刻有盧多夫用262邊形所求的帶有35位小數的π值，盧多夫為此花費了畢生精力.

晚期：計算機的介入，1946年世界上第一臺計算機問世，計算機的介入使π的值越來越精確.1949年，馬利蘭德使用計算機，將到π的值精確到小數點后2037位;1967年計算機將π的值精確到小數點后50萬位數;六年后，又進展到100萬位，1983年，精確到600萬位.2002年，日本東京大學信息基礎中心宣布，他們已將圓周率計算到了小數點后12411億位.假設1秒鐘讀4位，讀完這個圓周率需要花費1萬年.

π是一個無理數，這一點被約翰·蘭伯特于1768年證明，π是一個超越數，是德國數學家林德曼在1882年證明的，由此也說明我們永遠無法知道π的精確數值，可是數學家們為什么沒完沒了地去計算它的值呢？除了它能引發新的概念和思想、檢驗軟件的性能，反映一個國家的文化發展水平外，其個中之味只能去慢慢品，真是眾里尋他千百度.

有人試圖在關于π的展開式中能夠發現一些東西，例如在π的第710000位開始，連續出現了七個3，即3333333，在π的第一個1000萬位小數中，數字5，7，8也都有各個長度為七的數字串出現.長度為六的數字串，則有87個之多，上升數列23456789出現在小數點后995998位，下降數列876543210則始見于第2747956位，讓人詫異的是：自然對數的底數e=2.718281……的小數部分前六位組成的數字串“718281”在π的展開式中也能找到.神奇的是π小數點后三位相加恰是第一個完全數6，小數點后7位相加正好是第二個完全數28，真是不可思議！有一個很有趣的故事，故事發生在19世紀末，說的是有一個名叫古德溫的醫學博士，向印第安納洲立法院提出一條議案，希望將π變成“易理解的”，以固定它的值，可是提議者自己卻沒有能力知道他想要固定的值是多少，最后不了了之.π是那么的神秘，無法變成“易理解的”，但是如果我們從“角度”這個角度去看它，可能就輕易解決了這個難題，π不就是180°嗎？！一個普通得不能再普通的角度而已.

2 “e”在燈火闌珊處

在中學教科書中e是這樣被提出的：以e為底的對數就做自然對數.那么e究竟是一個什么樣的數？它到底有什么實際意義呢？為什么以e為底的對數叫自然對數？甚至還比圓周率π還大放異彩呢？

2.1 e的前世今生

π的意義很鮮明，就是一個圓的周長與其直徑的比值，那么e的意義是什么？是一個比值嗎？不是，它是一個極限值，是單位時間內，持續的翻倍所能達到的極限值.人們在研究銀行存款、細胞繁殖、放射性元素的衰變等實際問題時，都要研究當趨于無窮時的值.于是人們定義：當x無限趨向無窮大時1+1xx的值就是e.

因為以e為底編制對數表最好，許多式子都能得到簡化，用“它”是最自然的，且y=lnx的反函數y=ex的導數就是其自身，所有把e作為自然對數的底數.e也是數學中最重要的常數之一，有人叫它納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數，也有人稱它為歐拉數（Euler number），以瑞士數學家歐拉命名.e的數值約是2.71828 1828…，據記載， 第一次提到e的是約翰·納皮爾于1618年出版的對數著作附錄中的一張表——由它為底計算出的一張自然對數列表.第一次把e看為常數的是雅各·伯努利（Jacob Bernoulli）.而已知的第一次用到常數e是在萊布尼茨給惠更斯的信中，不過當時并不是用e來表示的，直到1727年，歐拉才首次用e作為數學符號使用.到1736年，e第一次才在出版物，即歐拉的《力學》中出現.雖然以后也有研究者用字母c表示，但e較常用，終于成為標準.用e表示的確實原因不明，但可能因為e是“指數”（exponential）一字的首字母.也有可能是因為這是歐拉自己名字Euler的首字母，對此，無法考證.e是無理數和超越數，由夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）于1873年證明的，但最先推測e是超越數的是法國數學家劉維爾，那時是1844年.

2.2 e的生活原型

e離我們生活很遠嗎？到底如何理解e是單位時間內，持續的翻倍所能達到的極限值呢？其實e的生活原型很多，最貼近我們生活的就是利息的計算，為此首先要理解復利是怎么回事，就是利息也可以并進本金再生利息.本利和的多少，與計息周期有很大關系，計息周期越短，其本來利和越大，如果計息周期無限縮短，本利和會無限大嗎？答案是否定的，它的無限趨近于某一個數值，e就現身在該數值當中.

銀行儲蓄可能幫助理解e的內涵.假設在銀行存了1元錢（下圖圓圈所示），存款年利率為1，計息周期為1年，滿1年后銀行付給利息1元（三角形所示），存款余額為2元（如下圖）.

如果計息周期改為半年，半年利率是0.5，每半年付一次利息，并且隨即就存入銀行，利息生新的利息（下圖斜四邊形所示），1年存款余額為2.25元.

如果計息周期為4個月，并且新產生的利息也隨即存入銀行，利息再生新的利息（下圖六邊形所示），年底的余額≈2.4414元.

圖3如果計息周期為一天，這樣利滾利的余額≈2.7146元.假設計息周期為1秒，每秒都再存入，本利總額額接近2.7182818元，如此下去，總的利息就越來越接近于并且不會突破一個常數，這個常數就是e.用表格可能更清晰.

數學家歐拉把這個極限記作e，e=2.71828…，即自然對數的底.

除了復利計算以外，事實上還有許多其他的生活原型，問題雖然不都一樣，答案卻都殊途同歸地指向e.比如，其中一個有名的問題就是求雙曲線y=1x底下的面積，雙曲線和計算復利會有什么關系，可是這個面積算出來，卻和e有很密切的關聯.驀然回首，原來生活中處處有e.

2.3 e的不同尋常

e在自然科學中的應用不亞于π，放射性物質的衰變，地球年齡的考察，生物的繁殖等很多增長或衰減過程都要用到e，都可以用自然對數函數模擬問題的研究.e還會在意想不到的地方出現，如最大乘積問題：將一個數m分成若干等份，要使各等份乘積最大，應分成多少份？要解決這個問題便要同e打交道，答案是：使均分成的份數與me最接近時或者說使等分的各份盡可能地接近e時，它們的積最大.又如：求y=xx的最大值，也居然與e有關，就是當x=e時取到，最大值為ee≈1.445;以e為底的指數函數，它是唯一的多次求導仍是自己的函數;1592年，15歲的高斯發現了素數定理：在數列1，2，3，…，N中，所含素數數與N的比值，近似等于1lnN，并且N的值越大，就越接近，直到100年后，素數定理才被證明.

關于e，神奇的結論還有很多，此處不再贅述.

3 金風玉露一相逢

π和e是兩個最重要的數學常數，兩個無限不循環小數，也是兩個超越數，但它們誕生的歷程、背景卻極不相關，應該是“風馬牛不相及”，可是因為它們的神奇，多少年來，人們一直試圖探尋它們之間的關系，還真有不少說不清道不明的東西，如π和e的前36位小數展開式中，第13位是相同的，第17，18，21，34位也都是相同的，曾經有人以驚人的毅力繼續干下去，提出一個猜想：“π和e的小數展開式從大體上說來，平均每10位就要出現一次數字相同.”對此猜想，人們不能證明，但也未能否定.如果改變“參照物”，我們以最樸素的二進制來觀察：

這個恒等式人們把它叫做歐拉公式，它將數學里最重要的兩個超越數聯系到了一起，初看上去沒什么了不起，仔細想想，簡直不可思議！1，0，π，e，i這五個數和兩個運算符號“+”，“=”.按來源和出現的歷史順序，它們相差很遠，1是正整數也是實數的基本單位，出現得最早，0的出現要晚的多，是唯一的中性數，最小的自然數，i來源于代數，關于i所代表的數的合理性討論則是16世紀以后的事，π來源于幾何，e來源于分析，“π”很早就為古巴比倫人和古埃及人所知，至于“e”直到19世紀，其神秘的面紗才被揭開，這7個在不同歷史時期出現而又在性質上相去甚遠的不同數字與符號，居然統一在一個如此簡潔的式子里，真是集簡潔、和諧、奇異等美學要素于一身，讓人驚嘆不已.e與π都非常復雜且看似極不相關，它們卻能通過一個簡潔公式聯系在一起，真是驚人，難怪人們評價它是“上帝創造的公式.

有詩贊曰：

最美之公式

e頂“ i π”，+ 1 同側舞，

“= ”擔平衡， 異側0似無，

五數性各異，兩個不同符，

相聚在一起，天地古今殊.

金風玉露一相逢，便勝卻人間無數！“e”和“π”這種關系，有一首歌詞，似乎為它們量身定做：一個是閬苑仙葩，一個是美玉無瑕.若說沒奇緣，今生偏又遇著他;若說有奇緣，如何心事終虛化……（《枉凝眉》）

真是：茫茫“數”海到天涯，百花園中兩奇葩，金風玉露一相逢，數你最好“e”“π”！

作者簡介 劉權華，教育碩士，南京市教育科學研究所科研員，南京市高中數學學科帶頭人，江蘇省“333”高層次人才工程中青年科學技術帶頭人，在省級及以上期刊發表教育教學論文60余篇.主要研究方向：高中數學教育教學，教師發展研究.