一道課本習題的解答修正與教學啟示

普通高中教科書·數學（人教A版）》必修第一冊（2019年6月第1版）第156頁拓廣探索第13題：

本題為開放探究題，考查學生對函數零點及零點存在定理的理解與應用.試題以含參數的類二次函數為背景，由函數的零點個數求參數取值范圍，需對最高次系數、判別式進行討論.在解決問題的過程中，滲透化歸與轉化思想、函數與方程思想、分類討論和數形結合思想，是一道培養學生直觀想象、邏輯推理、數學抽象等核心素養的好題.

下面筆者給出幾點教學啟示，供讀者參考.

1 教學內容與要求的變化

本題考查內容為必修第一冊第四章《4.5函數的應用（二）》第一課時《函數的零點與方程的解》.與上一版教科書相比，新版教科書有幾點重要變化：

1.1 零點定義提前給出

必修第一冊第二章《2.3二次函數與一元二次方程、不等式》就給出了二次函數的零點的定義，用二次函數的觀點認識一元二次方程，為一般函數零點的定義作了鋪墊.這種由特殊到一般給出定義的方法，既符合《普通高中數學課程標準（2017年版）》的意圖，又遵循了學生的認知規律，幫助學生從函數的觀點認識方程，領悟函數的本質.

1.2 課題調整，結論升級

新版教科書的課題由原來“方程的根與函數的零點”調整為“函數的零點與方程的解”，將“函數的零點”提前，同時將上一版的“結論”升級為新版的“定理”，并給出了“函數零點存在定理”的名稱.這種處理加強了該內容作為數學內部應用的定位，突出了函數的核心地位，并將重心放在應用函數性質研究方程的解上，體現了“用聯系的觀點看待問題”“用新觀點看待舊事物”“用動態變化的觀點看待靜態確定的事物”等思想[3].

1.3 例題要求提高

新版教科書第143頁例1：求方程lnx+2x-6=0的實數解的個數.

本題雖與上一版相同，但卻提高了要求，不僅將該題作為引例使用，而且在教師教學用書中通過嘗試函數的取值、放縮判斷函數值符號f（2）=ln2-20，尋找函數零點所在的區間;也可轉化為兩個基本函數g（x）=lnx與h（x）=-2x+6的交點個數.這些解法更符合教學實際，既有助于提高學生的估算意識，也拓展了學生的數學思維.

2 “函數零點存在定理”的理解與把握

“函數零點存在定理”在數學分析上是“閉區間上連續函數的介值定理”的特例，由捷克數學家波爾察諾在1817年首先證明.但由于當時缺乏實數理論，證明不嚴格，后由德國數學家魏爾斯特拉斯將這個證明嚴密化.

可以看出，由含參數的函數在某個區間上的零點個數求參數取值范圍，實際是用函數在某個區間上存在零點的必要性，由于必要性不一定成立，解題時要格外小心，不要遺漏情況.當然如果給出的函數在定義域上是單調函數，那么函數最多有一個零點，這樣就一定成立了.

參考文獻

[1] 中學數學課程教材研究開發中心等.普通高中教科書·數學（人教A版）必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.6.

[2] 中學數學課程教材研究開發中心等.普通高中教科書教師教學用書·數學（人教A版）必修第一冊 [M].北京：人民教育出版社，2019.7.

[3] 章建躍.函數零點存在定理的育人價值[J].中小學數學（高中版），2018（5）：封底.

作者簡介 王學忠（1978—），男，高級教師，臨沂市高中數學中心組成員、兼職教研員，致力于高中數學教學與高考研究，發表論文10余篇.