冪指函數的若干問題研究

楊方圓 韓彬玲

摘要：本文利用對冪指函數的性質進行了探討，總結得出了冪指函數的三種求極限的方法，四種求導數的方法以及冪指函數的積分定理。

關鍵詞：冪指函數;極限;微分;積分

一、冪指函數的求極限問題

由于，因此有，假設極限存在。那么求解就能轉化為求.

若，此時冪指函數的極限類型為確定式，有，其極限求解較為簡單，不做過多探討，本文主要研究00型、∞0型和1∞型三種不確定式極限的求解問題。

（一）等價無窮小代換定理

1.冪指函數00的型極限

定義1.1設f（x）和g（x）在U0（x0）上分別有定義，f（x）、g（x）均是變化過程x→x0時的無窮小量，f（x）>0，即可將稱為00型極限。

引理1.1設f（x）、g（x）、f1（x）、g1（x）在U0（x0）上分別有定義，且均是變化過程x→x0時的無窮小量，其中f（x）>0、f1（x）>0。如果f（x）～f1（x）、g（x）～g1（x），并且，則。

1.1冪指函數的∞0型極限

定義1.2設f（x）和g（x）在U0（x0）上分別有定義，f（x）、g（x）均是變化過程x→x0時的無窮小量，且有f（x）>0，即∞0可將型極限的冪指函數表示成。

引理1.2設f（x）、g（x）、f1（x）、g1（x）在U0（x0）上有定義，且均是變化過程x→x0時無窮小量，其中f（x）>0、f1（x）>0.如果有f（x）～f1（x）、g（x）～g1（x），且，則有。

1.2冪指函數1∞型極限

定義1.3設f（x）和g（x）在U0（x0）上分別有定義，f（x）、g（x）均是變化過程x→x0時的無窮小量，且有f（x）>0，即可將1∞型極限的冪指函數表示成，此時g（x）≠0。

引理1.3設f（x）、g（x）、f1（x）、g1（x）在U0（x0）上分別有定義，且均是變化過程x→x0時的無窮小量，，其中f（x）>0、f1（x）>0、g（x）≠0、g1（x）≠0。如果f（x）～f1（x）、g（x）～g1（x），且，則有。

2.洛必達法則

在冪指函數不確定式求極限中，可以將冪指函數化為以e為底的指數函數，利用洛必達法則求其指數極限，進而得出冪指函數極限，有：

（Ⅰ）00型：如果，

則有。

（Ⅱ）∞0型：如果，

則有。

（Ⅲ）1∞型：如果，

則有。

3.冪指函數型重要極限

（1）（其中）;

（2）（其中）。

4.冪指函數的極限舉例

例1.1求極限。

解：該求極限問題為冪指函數的00型不確定式極限。

，令y=xx，等式兩端同時取對數，有;

應用洛必達法則;

因此=e0=1。

二、冪指函數求微分問題

大學數學中關于冪指函數的導數求解內容很多，其求解方法可總結為四種，分別為對數求導法、指數求導法、多元函數求微分法和疊加法。

（一）對數求導法

（1）y=f（x）g（x）兩邊取對數得lny=g（x）lnf（x）;

（2）等號兩邊對x求導：;

（3）移項：（2.1）

（二）指數求導法

（1）y=f（x）g（x）=eg（x）lnf（x）;

（2）根據復合函數求導法可得：

y'=;

（3）對上式化簡計算即可得（2.1）。

（三）多元函數微分法

y=f（x）g（x）引入中間變量s和t，而中間變量依賴同一變量x，令s=f（x），t=g（x），則可以將冪指函數y=f（x）g（x）轉化成y=u（s，t）=st，這時可按照多元函數求解微分的方法進行求解冪指函數的導數。

根據二元復合函數的微分公式有

化簡即可求得（2.1）。

（四）疊加法

對前面求導結果進行整理運算有：

觀察發現，冪指函數求導時可將其分別看作指數函數和冪函數求導，再將求導數結果進行相加。

（五）冪指函數求導舉例

例2.1求y=（lnx）ex的導數

解一：利用取對數求導法

取對數，有lny=exlnlnx，再對x進行求導，有

移項：。

解二：指數求導法（略）

三、冪指函數的求積分問題

關于冪指函數的積分問題，高等數學中并沒有對其進行系統而具體的研究，也只是在一些考研習題中才可能會應用到。本文對冪指函數的積分求解以及積分性質進一步分析，并加以例題便于大家去理解應用。

（一）冪指函數積分的基本理論

在研究冪指函數的時候，利用前面求導得到的結論進行反推：

對等式兩端求其不定積分，有

定理3.1如果f（x）和g（x）均為可微函數，且有f（x）>0，u（x）=（g（x）lnf（x））'，

則∫f（x）g（x）（g（x）lnf（x））'dx=f（x）g（x）+C（其中C為任何常數）（3.1）

（二）冪指函數的積分舉例

例3.1求∫fxx（1+x+xlnx）dx。

解：∫fxx（1+x+xlnx）dx可以化簡成為，又相當于。

的某個原函數為（x+1）lnx事實上，;

所以：∫xx（1=x+xlnx）dx=xx+1+C（其中C為任何常數）。

結語

以上對冪指函數性質進行了研究討論，通過對冪指函數極限、微分、積分的性質及其求解方法進行整理分析，更好地認識了冪指函數，掌握了一些較為便捷的求解方法與技巧，希望會對大家學習數學有一定的幫助。

參考文獻：

[1]劉元宗，黃誠.一個求冪指函數的極限定理及其應用[J].新鄉學院學報，2016，33（3），65-66.

[2]李宏杰.冪指函數導數的計算方法探究[J].科技創新導報，2015，（14），20-23.