基于學科核心素養的高中數學教學設計
——以《三角函數的概念》為例

陳坤其

（寧德市教師進修學院，福建 寧德 352100）

一、問題提出

美國哲學家、教育家杜威早在20 世紀初就提出發展教學設計學科的構想，建立設計教學活動的相關理論體系，實現教學最優化.隨著學習論、教學論、系統論、傳播理論的發展，教學設計基本理論逐步形成和發展起來.

20 世紀80 年代中期，教學設計作為一個專門的學科被引進我國教育教學領域.國內專家和學者對教學設計進行了多維度、多層次的研究，［1］基礎教育研究者和一線教師也開展了相關學科教學設計的探索與實踐，推動了教學設計的理論研究和實踐應用，促進了教學質量的提升.

普通高中數學新課程從人的發展、課程設計、數學教學、教學評價等角度闡明了新的基本理念.新理念緊扣發展學生數學核心素養，提出立德樹人要以生為本，提升素養；課程設計要精選內容，突出素養；數學教學要把握本質，培養素養；教學評價要重視過程，聚焦素養.實施新課程必須在教學中落實數學學科核心素養，那就要在教學設計中體現新理念.因此，開展基于數學學科核心素養的高中數學教學設計研究，顯得十分必要而迫切.

二、概念闡釋

關于教學設計的概念有多種界定.如，美國著名教育心理學家加涅把教學系統定義為對用于促進學習的資源和程序的安排，教學系統設計是創建教學系統的過程.［2］美國學者肯普給教學設計下的定義是：“教學設計是運用系統方法分析研究教學過程中相互聯系的各部分的問題和需求.在連續模式中確立解決它們的方法步驟，然后評價教學成果的系統計劃過程.”［3］在我國有較大影響的一種觀點認為“教學設計是運用系統方法分析教學問題和確定教學目標，建立解決方案、評價試行結果和對方案進行修改的過程.”代表人物是烏美娜.［4］綜合對各種不同概念的理解，作如下釋義：教學設計是以學習理論、教學理論和傳播理論為指導，運用系統的方法分析教學基礎，確定教學目標，對教學內容、方法策略、情境載體等教學要素作出有序安排，并擬定教學評價方法的計劃活動.高中數學教學設計是立足于高中學生特點，著眼于解決數學學科教學問題的教學設計.

數學是培養理性思維、科學精神的重要學科，在學生形成正確的態度、價值觀，提高綜合素質等方面發揮獨特的作用.數學素養是每個現代社會人應有的基本素養，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的.［5］高中數學教育就是要著力提高學生數學思維品質和關鍵能力，發展學生核心素養，落實立德樹人根本任務.

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》明確將發展學生數學學科核心素養作為課程目標.［6］因此，我們應從發展學生核心素養的高度賦予教學設計新的內涵，構建基于核心素養的教學設計模式，以實現新的課程目標.筆者認為，基于核心素養的教學設計是為實現核心素養維度的教學目標，將核心素養作為必備要素融入教學基礎分析、教學內容與情境載體選定、教學策略方法與教學評價方式確定等各個環節進行具體計劃的過程.

三、模式構建

教學設計模式是教學設計的一般方法、步驟，包括設計過程的要素與結構.從教學設計理論誕生到現在產生了上百種教學設計模式，各有其鮮明的優點，也各有自身的缺陷.本文在借鑒以往教學設計模式的基礎上，根據高中數學新課程理念，試圖提出一種促進核心素養培養的教學設計模式.該教學設計模式包括教學基礎分析、教學目標確定、教學過程設計與教學評價設計四個環節，其結構框架如圖1 所示：

圖1

（一）教學基礎分析

教學基礎分析就是要弄清學生對某個新的學習任務所具備的基礎如何，資源條件如何.因此教學基礎分析應包括學習任務、學生基礎、資源條件三個方面.學習任務分析首先要明確學習任務及其類型、重點、難點，判斷學習難度，領會課程標準提出的一般要求.學生基礎分析既要從學生的認知基礎、認知能力等智力因素方面進行分析，也要從學習需要、學習興趣等非智力因素方面進行分析，并歸結為學生對新的學習任務所具備的“四基”“四能”、核心素養情況.資源條件分析就是要剖析完成學習任務的資源條件是否完全具備，或是還有欠缺，對于有所欠缺的資源條件能否創造條件.資源條件包括教學場所、器具、教材、教輔等教學支持條件.教學基礎分析主要是為了更準確地確定教學目標，教學基礎分析是否準確直接影響教學目標的確定.

如學習三角函數概念時必然聯系到初中所學銳角三角函數知識，因此，在分析學生基礎時就要認真分析學生在這個內容上的認知情況.

（二）教學目標確定

教學目標是教學活動的預期結果，對教學內容、情境載體、方法策略等的安排具有統領作用，直接影響教學過程、教學評價的設計，在整個教學設計過程中處于核心地位.《普通高中數學課程標準（2017 年版)》提出，學生應通過學習獲得“四基”，提高“四能”，發展核心素養［7］.因此，教學目標應從“四基”“四能”與核心素養三個維度來確定，稱之為新三維目標.“四基”包括每個教學內容所包含的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.“四能”指用數學的眼光發現和提出問題的能力，用數學的思維分析和解決問題的能力.核心素養包括數學抽象、邏輯推理等六個數學學科核心素養和自主學習、科學精神、實踐創新等學生發展核心素養.

教學目標的確定要在符合全面、準確、具體等一般要求的基礎上，根據核心素養形成與發展的特點提出合適的目標要求.特別要在分析核心素養培養可能性與實現水平、融入教學過程的方式和載體的基礎上，確定相應核心素養的教學目標.

相對于新三維目標，原有的三維目標稱為舊三維目標.新三維目標不是對舊三維目標的否定，而是在原有基礎上拓寬廣度、挖掘深度、調整結構的升級版.“知識與技能”可融入“四基”“情感、態度、價值觀”可融入“核心素養”“過程與方法”可融入“四基”或“四能”.在表述上采用新三維目標的結構框架，舊三維目標內容自然融入其中.

如，在確定“三角函數的概念”這個學習任務的教學目標時，應把“能在與圓周運動有關的一些實際情境中發現和提出數學問題”作為一個“四能”目標，有助于培養學生用數學的眼光觀察問題的意識；根據三角函數概念所蘊含的數學核心素養培養點，在數學核心素養上的目標可確定為“在三角函數概念的建構與應用中重點發展學生的數學抽象、直觀想象、數學建模素養”.

（三）教學過程設計

教學過程設計主要包括教學內容、情境載體、方法策略的設計.教學內容主要是教學目標中“四基”“四能”、核心素養所包含的知識、方法、思想、能力、素養等要點.情境載體就是承載教學內容的情境、素材、媒體等.方法策略就是為實現教學目標應采取的方式、手段等.教學實施的每一個進程就是教學內容、情境載體、方法策略這三者融合推進的過程.教學過程設計就是在教學目標的指引下，依照教學內容摘選、整理、編制合適的情境載體，根據教學內容類型、學生特點等，確定恰當的方法策略安排師生雙邊活動的過程.

教學過程設計融教學內容、情境載體、方法策略于一體，集中體現教學的實施方案，是教學設計的重點內容.教學過程設計按教學環節展開，每個環節可由“情境任務”“師生活動”“設計意圖”等要素構成.構成要素與結構框架可根據具體情況有所不同，但都應該突出教學內容、情境載體、方法策略、設計意圖.教學內容、情境載體、可融在“情境任務”中，方法策略可融在“師生活動”中.呈現形式可按教學順序直敘，也可以表格形式呈現，直觀明了.

基于數學學科核心素養的教學設計應該突出實現核心素養的教學情境和教學策略的設計，重點考慮能否達到實現相關核心素養培養的目標.如對“三角函數的概念”教學過程的設計，可用摩天輪轉動的生動場景作為教學情境導入，并以PPT 動畫展示作為實現直觀想象與數學建模素養培養目標的教學策略；以幾何畫板演示探究“單位圓上點的坐標與圓心角關系”作為實現“在三角函數概念的建構中發展學生數學抽象、直觀想象素養”目標的教學策略.

（四）教學評價設計

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》提出要建立目標多元、方式多樣、重視過程的評價體系，強調知識技能與核心素養共進，學習過程與學習結果并重.［8］根據新的評價理念，結合學習評價的要素特征，提出基于核心素養的學習評價參考辦法，制定相應的學習評價表（見表1）：學習評價分學習行為表現和學習結果表現兩個方面.學習行為表現分學習態度積極度、學習習慣規范度、學習方法科學度三個維度.學習結果表現分“四基”達標度、“四能”達標度、核心素養發展度三個維度.每個維度的評價要點根據具體教學內容特點、目標要求等進行設定.

本表可用于對學生個體的評價，也可用于對學生整體的評價.評價可采用學生自評、學生互評或教師評價等方式.若要區分各評價要點的達成度，可視情況選擇定性方式或定量方式進行評價.這里提供一種定性方式供參考.評價要點達成度90%以上的評為“很好”，75%-90%的評為“較好”，60%-75%的評為“一般”，45%-60%的評為“較差”，45%以下的評為“很差”.同時將評價情況填入上表“觀測情況”欄目中，并結合觀測情況在“參考建議”欄目中提出改進建議.若采用定量方式評價，則可綜合考慮各基本要點的重要性、可檢測性等要素進行賦分后，根據達成度計算得分衡量學習效果.

表1 基于核心素養的學習評價表

教學設計四個環節環環相扣，相輔相成.教學基礎分析是做好教學設計的前提.教學基礎分析不準確、不到位就會影響教學目標的確定，導致錯誤的教學決策.教學目標確定是整個教學設計的核心，它以教學基礎分析為前提，直接影響教學過程、教學評價的設計.教學過程設計對教學目標的實現起著決定作用，是教學設計的關鍵.教學評價對教學目標達成情況起檢驗作用，應主要針對所確定的教學目標而進行設計，兼顧對學習行為進行評價.教學評價設計對教學基礎分析、教學目標確定、教學過程設計起到反饋調節作用.

四、案例分析

下面以《三角函數的概念》的教學設計為例進行分析.

（一）教學基礎分析

1.學習任務

本設計的學習任務是三角函數的概念，是概念型學習任務，教材采用人民教育出版社出版的新教材《普通高中教科書·數學》必修第一冊（2019 年6 月第1版）的《5.2.1 三角函數的概念》.

本學習任務的重點是用單位圓上點的坐標表示任意角三角函數，在學習探究中提升數學抽象、直觀想象、數學建模等核心素養.難點是從實際問題、特殊情形中抽象出三角函數概念.

2.學生基礎

學生在初中已學過銳角三角函數，并在進入高中后學習了函數的概念與性質、幾種初等函數，總體上具備學習三角函數的概念的基礎.但不同學校不同班級學生基礎不同、特點各異，要根據校情班情、學生特點判斷學生學習這個任務所具備的“四基”“四能”與核心素養.

（二）教學目標確定

根據以上教學基礎分析，確定如下教學目標，同時應根據學生基礎情況進行適當調整.

1.“四基”：能借助單位圓理解三角函數定義，知道它是以實數為自變量的函數.能運用三角函數定義求解一些特殊角的三角函數值，理解正弦、余弦、正切函數的定義域及相應函數值在各象限的符號，掌握終邊相同角的同一三角函數值相等（公式一）.領會數形結合的思想、特殊與一般的思想.

2.“四能”：能在與圓周運動有關的一些實際情境中發現和提出數學問題，認識圓上的點的位置與圓心角的關系，能初步應用三角函數定義分析和解決三角函數值的符號、大小等與三角函數值有關的一些簡單問題.

3.核心素養：在三角函數概念的建構與應用中重點發展學生的數學抽象、直觀想象、數學建模等核心素養.

（三）教學過程設計

限于篇幅，這里僅給出第1 課時的教學過程設計.第1 課時教材內容從第177-180 頁練習4 止.

環節一：創設情境，提出問題

情境任務1：某校高一年級幾位同學周末到戶外活動，林然同學坐上摩天輪開始轉動，站在地上的你面對摩天輪從數學角度將觀察、發現到哪些問題？

師生活動：教師通過PPT 動畫展示林同學坐在摩天輪上轉動，某同學站在正前方觀看摩天輪旋轉的場景.引導學生通過觀察，形成林同學位置隨摩天輪旋轉而改變的認識，并將摩天輪抽象為圓，林同學抽象為點，從而將林然隨摩天輪旋轉抽象為質點在圓周上的運動，培養學生直觀想象和數學抽象素養.

設計意圖：用學生比較熟悉的現實情境引入，讓學生感到親切的同時體會身邊處處有數學，感受三角函數的背景，培養學生用數學的眼光觀察問題的意識和直觀想象、數學抽象等核心素養.

情境任務2：建立恰當的數學模型，將觀察發現到的數學問題加以表示，思考如何刻畫林然的位置變化.

師生活動：教師引導學生用坐標系上單位圓O表示摩天輪外圍圓周，用點P(x，y)表示林然位置，用點A(1，0)表示林同學的起始位置，用α表示林然離開起始位置所旋轉的圓心角，并畫出相應圖形.教師糾正總結學生完成情況后展示圖形，如圖2 所示，并引導學生思考如何表示x，y.

圖2

設計意圖：選用單位圓簡化問題，讓學生易于發現數學關系.在將實際問題轉換成數學問題的過程中，培養學生用數學的語言表示問題的能力和數學建模意識.

環節二：合作交流，探究問題

情境任務3：當α分別取時，求點p的坐標.

師生活動：學生合作探求x，y取指定的特殊角時的值，教師巡視指導，發現存在的問題.

設計意圖：學生在具體問題的求解中回顧直角三角形邊角關系等知識，體會x，y的值與角α大小的關系，為后面探求一般性問題積累體驗.

情境任務4：當α為銳角時，怎樣表示x，y？

師生活動：學生合作交流，聯想初中所學銳角三角函數定義表示x，y.教師啟發學生在單位圓中構造直角三角形尋求x，y與角α的關系.

設計意圖：引導學生利用初中所學直角三角形中的邊角關系，推導得到α為銳角時的三角函數的數學形式，搭建腳手架，為建構任意角的三角函數概念作鋪墊，培養學生運用所學知識解決問題的能力.

環節三：抽象概括，建構概念

情境任務5：當α終邊在第二、三、四象限時，探究x，y的值隨α變化的情況，并思考當α為任意角時x，y的值是否由α大小唯一確定.

師生活動：教師通過幾何畫板演示，讓學生觀察發現x，y的值隨角α變化而變化，并由角α大小唯一確定.

設計意圖：讓學生在角α的變化過程中形成對應關系的認識，培養學生直觀想象素養.學生認識到每個α唯一對應著一個x或y的值之后，用所學的函數概念同化新的認知.

情境任務6：由上面探究發現的x，y的值與角α大小的關系，能聯想到已學過的什么概念？參考此概念將x，y的值與角α的關系加以闡述.

師生活動：在學生思考、交流的基礎上，請學生嘗試闡述，教師引導糾正，得出三角函數概念.

設計意圖：讓學生經歷用舊知探求新知的過程，提高分析與解決問題的能力，領會從特殊到一般、轉化與化歸思想的應用，增強數學建構意識，培養數學抽象素養.

環節四：析題解題，鞏固知識

鞏固練習1：教材p179-180 練習1、2.

設計意圖：此例與練習旨在鞏固三角函數概念，通過教師板書講解例題，給學生提供解題范例.情境任務2 已探求了第一、二象限角的三角函數值，例題與練習2 分別取，作為第四、三象限角的代表.練習1 用于強化終邊在坐標軸上的特殊角的三角函數求法.

環節五：拓展提升，理解本質

例題解析2：如圖3，設α是一個任意角，它的終邊上任意點P（不與原點O重合）的坐標為(x，y)，點P與原點的距離為r.求證：（教材例2）

圖3

鞏固練習2：教材P180 練習3、4.

設計意圖：此例旨在深化學生對三角函數概念的理解與應用，進一步領會三角函數概念的本質.練習3 是例題解析2 的具體形式，通過學生訓練加以強化.練習4 對三角函數概念進行實際應用，回應本節課引入時提出的圓周運動問題，體現從實踐中來，到實踐中去的認識規律.

（四）教學評價設計

對《三角函數的概念》（第1 課時）的學習效果評價采用上述基于核心素養的學習評價方式，根據本節課內容特點、目標要求、過程設計等確定評價要點，設置學習評價表（見表2）.

表2 《三角函數的概念》學習評價表

學習行為表現中，學習態度積極度重點看合作交流，探究問題的環節學生是否認真投入、積極參與；學習習慣良好度重點看情境任務2 的活動環節學生畫圖是否細致、規范、準確；學習方法科學度重點看學生能否以初中三角函數概念為基礎進行對比學習、拓展學習.

學習結果表現中，“四基”達標度主要通過練習題解答情況看學生是否達到教學目標提出的要求.“四能”達標度主要通過情境任務1 中學生在教師引導下觀察PPT 動畫展示發現其中數學問題的情況，看學生發現和提出問題的能力；通過情境任務3、4 中學生求解點P坐標與探求銳角三角函數的情況看學生分析和解決問題的能力；核心素養發展度，一是通過問題情景1、2 中學生能否從實際問題中建立數學模型，判斷學生直觀想象、數學抽象、數學建模素養的發展度；二是通過任務情境5、6 中對于一般的角α，探究發現x，y的值與角α大小關系后得出三角函數概念的情況，判斷學生直觀想象、數學抽象素養的發展度.