基坑變形預測的改進供需優化算法-指數冪乘積模型

崔東文，李代華

(1.云南省文山州水務局,云南 文山 663000; 2.云南省水文水資源局文山分局，云南 文山 663000)

有效提高基坑變形預測精度對于判斷基坑穩定性，預見周邊建筑破壞程度，科學掌握基坑未來變形趨勢具有重要意義[1]。目前應用于變形預測的方法有灰色預測法[2]、回歸方法[3-4]、極限學習機法[5-6]、支持向量機法[7-8]、人工神經網絡法[9-11]、組合預測法[12-13]等，均在基坑變形預測應用中取得一定的預測效果，但也存在不足：灰色預測法對原始數據依賴程度高、短期預測效果差；回歸方法存在對異常值敏感、易過擬合等不足；極限學習機隱含層節點間連接權值和閾值的隨機確定或人為給定制約了其應用；支持向量機存在懲罰因子、核函數等參數選取的困難[12]；BP、Elman等人工神經網絡存在權、閾值等關鍵參數選取困難和受樣本數量多少的制約；組合預測存在模型過于復雜、各模型權重確定困難等缺點。指數冪乘積(exponential power product，EPP)是利用預報因子與若干影響因子之間存在的指數冪乘積關系構建的預測模型，對高維、非線性系統具有較好的擬合、預測效果，但不足之處在于影響因子指數參數的合理選取。目前EPP模型在回歸預測領域應用不多。

為進一步提高基坑變形預測精度，拓展基坑變形預測模型及方法，本文基于基坑變形預報因子與影響因子之間存在的指數冪乘積關系[12]，提出改進供需優化(improved supply-demand-based optimization)算法-EPP基坑變形預測模型(ISDO-EPP模型)，利用文獻[14-16] 3個基坑變形預測實例對模型進行檢驗，以驗證ISDO-EPP模型用于基坑變形預測的可行性和有效性。

1 ISDO-EPP模型

1.1 改進供需優化算法

供需優化(SDO)算法是Zhao等[17]于2019年受經濟學供需機制的啟發而提出的一種新型元啟發式優化算法。該算法在數學上模擬了消費者的需求關系和生產者的供給關系，通過將供求機制之穩定模式和非穩定模式引入到SDO算法中，利用兩種模式在給定空間中進行局部搜索和全局搜索求解待優化問題。與傳統群智能算法相比，SDO算法收斂速度快、尋優精度高、調節參數少，具有較好的探索和開發能力。

參考文獻[17]將SDO算法數學描述簡述如下。

a. SDO算法初始化。假設有n個市場，每個市場有d種不同的商品，每種商品都有一定的數量和價格。市場中d種商品價格表示優化問題d維變量的一組候選解，同時將市場中d種商品數量作為一組可行解進行評估，如果可行解優于候選解，則可行解替換候選解。n個市場商品價格和商品數量分別用X、Y兩個矩陣表示：

(1)

式中：xi和yi分別為第i個商品價格和數量；xij和yij分別為第j個商品在第i個市場中的價格和數量。

利用適應度函數分別對每個市場中的商品價格和數量進行評估，對于n個市場，商品價格和商品數量的適應度分別為：

(2)

b. 商品均衡數量與均衡價格。假設每種商品的均衡價格x0和均衡數量y0在每次迭代過程中都是可變的，從每個市場商品數量集合中選擇一種商品數量作為其數量均衡向量，其市場適應度值越大，表示每個市場所選商品數量的概率就越大。同時，每個市場也可以根據其概率從商品價格集合中選擇一種商品價格或以所有市場商品價格的平均值作為均衡價格。商品均衡數量y0表示如下：

y0=ykk=R(Q)

(3)

式中：f(yi)為商品數量yi的適應度值;R(·)為比選算子(roulette wheel selection)。

商品均衡價格x0表示如下：

(4)

式中:f(xi)為商品價格xi的適應度值；r、r1為[0,1]中的隨機數。

c. 供給函數和需求函數。依據均衡數量y0、均衡價格x0分別給出供給函數和需求函數：

yi，t+1=y0-α(xi，t-x0)

(5)

xi，t+1=x0+β(yi，t+1-y0)

(6)

式中：xi，t和yi，t分別為第t次迭代第i個商品價格和數量；α和β分別為需求權重和供給權重，通過調整α、β對均衡價格和均衡數量進行更新。

將式(5)插入式(6)中，可以將需求算式重寫為

xi，t+1=x0-αβ(xi，t-x0)

(7)

供應權重α和需求權重β分別為

(8)

β=2cos(2πr)

(9)

式中：T為最大迭代次數。 用變量L表示供應權重α和需求權重β的乘積，可以得到：

變量L有助于SDO算法在勘探和開發之間平穩過渡。|L|<1屬穩定模式，通過調整供應權重α和需求權重β得到均衡價格x0周圍不同的商品價格，這些商品價格可以通過隨機數r在當前價格和均衡價格之間隨機變化，穩定模式機制強調“開發”以改善SDO算法的局部勘探能力。|L|>1屬非穩定模式，它允許任何市場中的商品價格遠離均衡價格，非穩定模式機制迫使每個市場在搜索空間中加強“勘探”未知區域以提高SDO算法的全局搜索能力。

為加快SDO算法的收斂速度，進一步改善SDO局部勘探性能和全局搜索能力，將供應權重α的求解算子改進如下：

(11)

1.2 指數冪乘積模型

研究表明，基坑變形預測因子與其影響因子之間存在如式(16)所示的指數冪乘積(EPP)關系[18]：

(12)

1.3 ISDO-EPP模型預測實現步驟

ISDO-EPP模型預測實現步驟歸納如下：

步驟1通過自相關函數法AFM、虛假最鄰近法FNN確定實例基坑沉降數據的延遲時間和嵌入維數，構造EPP模型的輸入、輸出向量，合理劃分訓練樣本和預測樣本，利用式(17)對實例數據序列進行歸一化處理；設定EPP模型指數參數aj的搜尋范圍。

x′=(x-0.8xmin)/(1.2xmax-0.8xmin)

(13)

式中：x′為經過歸一化處理的數據；x為原始數據；xmax和xmin分別為序列中的最大值和最小值。

步驟2確定優化目標函數。選用均方誤差作為優化目標函數：

(14)

步驟3設置SDO算法市場群體數N，最大迭代次數T，問題維度，搜索空間。隨機初始化商品價格xi和商品數量yi，令當前迭代次數t=0。

步驟4基于式(14)計算商品價格xi和商品數量yi的適應度值Fxi和Fyi，如果Fyi優于Fxi，則用yi代替xi，保存xbest為當前最優解。

步驟5利用式(15)、式(13)確定供應權重α和需求權重β。

步驟6對于每個市場，利用式(3)確定均衡數量y0；利用式(4)確定均衡價格x0。

步驟7利用式(5)更新商品數量yi；利用式(6)更新商品價格xi。基于式(14)計算商品價格xi和商品數量yi的適應度值Fxi和Fyi，如果Fyi優于Fxi，則用yi代替xi，保存xbest為當前最優解。

步驟8令t=t+1。判斷算法是否達到終止條件，若是，輸出最優解xbest，算法結束；否則重復步驟5～步驟8。

步驟9輸出SDO算法全局最優解xbest，xbest即為EPP模型最佳指數參數aj。將指數參數aj代入EPP模型進行基坑變形預測。

ISDO-EPP算法流程見圖1。

圖1 ISDO-EPP算法流程

2 實例應用

2.1 數據來源及分析

本文以文獻[14-16]3個基坑變形預測為例進行實例驗證。其中，實例1數據來源于文獻[14]，共有40個周期的沉降監測數據；實例2數據來源于文獻[15]，共有20個周期的沉降監測數據；實例3數據來源于文獻[16]，共有15個周期的沉降監測數據。首先利用AFM確定沉降數據延遲時間，經分析，當延遲時間為1時3個實例的自相關系數最大，分別為0.938、0.779、0.786，因此確定沉降數據的延遲時間為1。其次在延遲時間為1的條件下采用FNN確定沉降數據的嵌入維數，見圖2。從圖2可以看出，當嵌入維數分別為3、4、2時，3個實例的虛假最鄰近的比例均為0，小于1%，說明由該嵌入維確定的重構吸引子不會再出現因投影到低維空間而發生重合現象，即當延遲時間為1、嵌入維數分別為3、4、2維時，3個實例具有最佳預測效果。最后，在延遲時間為1、嵌入維數分別為3、4、2條件下，利用實例1前3期、實例2前4期、實例3前2期監測數據預測實例1第4期、實例2第5期、實例3第3期基坑沉降值，并選取實例1、實例2前32期、前11期實測數據作為訓練樣本，后5期數據作為預測樣本；選取實例3前10期實測數據作為訓練樣本，后3期數據作為預測樣本。限于篇幅，基坑變形預測因子與影響因子的輸入、輸出矩陣從略。

圖2 基坑監測數據虛假鄰近點法結果

2.2 算法驗證

2.2.1標準測試函數仿真驗證

為驗證ISDO算法在高維(30維)和低維(5維)條件下尋優能力，利用ISDO算法對Sphere、Schwefel 2.22、Schwefel 2.21、Griewank、Rastrigin、Ackley 6個典型測試函數進行仿真驗證，并與SDO、WOA、GWO、MSA、PSO算法的仿真結果進行比較。上述6個函數變量取值范圍分別為[-100,100]、[-10,10]、[-100,100]、[-600,600]、[-5.12,5.12]、[-32,32]，維度為30維和5維，理論最優解值均為0。其中，函數Sphere、Schwefel 2.22、Schwefel 2.21為單峰函數，主要用于測試算法的尋優精度；函數Griewank、Rastrigin、Ackley為多峰函數，主要用于測試算法的全局搜索能力。基于Matlab 2018a M語言實現6種算法對6個典型測試函數的20次重復尋優，并從平均值、標準差2個方面進行評估，見表1。實驗參數設置如下：6種算法最大迭代次數最大迭代次數T=200，群體數目N=50。其中WOA對數螺旋形狀常數b=2；MSA勘探蛾數量np=5； PSO算法慣性權重wmax、wmin分別取值0.9和0.6，自我學習因子c1、社會學習因子c2均取值2.0。其他參數采用各算法默認值。

a. 對單峰函數Sphere、Schwefel 2.22，ISDO算法在高維和低維情況下20次尋優精度略優于MSA、SDO算法，優于WOA、GWO算法，遠優于PSO算法。對于梯度函數Schwefel 2.21，ISDO算法在高維情況下20次尋優精度優于MSA、SDO算法，遠優于WOA、GWO、PSO算法；在低維條件下，ISDO算法在高維情況下20次尋優精度略優于MSA、SDO算法，優于GWO算法，遠優于WOA、PSO算法。對于單峰函數，ISDO算法在高維和低維條件下均表現出較好的尋優精度。

b. 對于多峰多模態函數Griewank，在高維和低維情況下，ISDO、MSA 算法20次尋優均獲得了理論最優值0，尋優精度優于SDO算法，遠優于WOA、GWO、PSO算法。對于易陷入局部極值多峰函數Rastrigin，在高維和低維情況下，ISDO、SDO、MSA算法20次尋優均獲得了理論最優值0，尋優精度遠優于WOA、GWO、PSO算法。對于連續旋轉不可分多峰函數Ackley，ISDO、SDO算法 20次尋優均獲得了相對理論最優值8.88×10-16，尋優精度優于MSA、WOA、GWO算法，遠優于PSO算法。對于多峰函數，ISDO算法在高維和低維條件下均表現出較好的全局搜索能力。

c. 從6個標準測試函數的仿真驗證結果來看，ISDO、MSA、SDO算法的尋優精度基本不受維度影響，對于較難優化的Schwefel 2.21、Griewank、Rastrigin函數，WOA、GWO、PSO算法的尋優精度受維度變化影響較大。綜合來看，6種算法尋優精度由高至低依次是：ISDO、MSA、SDO、GWO、WOA、PSO算法。

表1 函數優化對比結果

2.2.2實例目標函數優化驗證

為證驗證ISDO、SDO、WOA、GWO、MSA、PSO算法在實例應用中的優化性能，利用上述構造的3個基坑預測侍優化目標函數，即式(14)對ISDO等6種算法的優化性能進行驗證。其中，EPP模型參數aj的搜索范圍為[-5,5]，最大迭代次數T設置為200和500，其他參數設置、評估指標同上。實例優化結果見表2。

表2 應用實例目標函數優化對比結果

對于實例1，ISDO算法無論在迭代200次還是500次條件下，20次尋優目標函數最優值均為4.367 8，標準差小于8.00×10-8，尋優效果略優于同等條件下的SDO算法，優于PSO、GWO算法，遠優于MSA、WOA。對于實例2，ISDO、SDO算法不同迭代條件下20次尋優目標函數最小值均為2.059 5，優于PSO算法，遠優于GWO、MSA、WOA算法。對于實例3，由于序列較短和待優化維較低，ISDO、SDO、PSO算法20次尋優目標函數最小值均為2.002 0，標準差均為0，尋優效果優于同等條件下的MSA、GWO算法，遠優于WOA。

在上述6個標準測試函數中尋優效果表現較好的MSA、GWO、WOA在3個實例應用的優化中表現較差，尋優效果甚至低于PSO算法，可認為尋優失敗。應用實例最佳參數尋優驗證了“沒有免費午餐定理”，即沒有一種算法能解決所有優化問題。綜合來看，6種算法在實例應用中尋優精度由高至低依次是：ISDO、SDO、PSO、MSA、GWO、WOA。

可見，基于供應權重改進的ISDO算法能進一步改善SDO算法在勘探和開發之間平衡能力，提高SDO算法的收斂速度和全局搜索性能；ISDO算法不僅在標準測試函數高維和低維條件下具有較好的收斂精度和全局搜索能力，而且在實例目標函數優化中同樣表現出良好的尋優效果和穩健性能。

2.3 實例預測及分析

在最大迭代次數為200條件下分別構建ISDO-EPP、ISDO-SVM、ISDO-BP模型對上述3個實例基坑變形進行預測。選取平均相對誤差絕對值MRE、平均絕對誤差MAE作為評價指標，利用此3種模型對3個實例基坑變形進行預測，結果見表3，并給出訓練-預測相對誤差效果圖，見圖3。其中SVM、BP參數設置如下：SVM模型懲罰因子C∈[0.1,1000]、核函數參數g∈[0.1,1 000]、不敏感系數ε∈[0.001,0.1]，交叉驗證折數V=3；3個實例BP模型網絡結構分別設置為3-5-1、4-7-1、2-3-1，隱含層和輸出層傳遞函數均分別采用logsig和purelin，訓練函數均采用trainlm，設定期望誤差為0.001, 最大訓練輪回為100次，搜索空間為[-1,1]。

表3 各基坑變形預測模型效果對比

圖3 3種模型擬合預測相對誤差

依據表2、表3及圖3可以得出以下結論：

a. ISDO-EPP模型對3個實例預測的MRE分別為0.73%、3.83%和1.33%，精度分別較ISDO-SVM模型提高9.9%、12.3%和77.2%，較ISDO-BP模型提高了16.1%、43.6%、83.4%；3個實例的MAE分別為0.17 mm、0.51 mm和0.22mm，精度分別較ISDO-SVM模型提高10.5%、15.7%和75.6%，較ISDO-BP模型提高19.0%、46.9%和82.1%，具有較好預測精度和泛化能力，表明ISDO算法能有效優化EPP模型的指數參數，ISDO-EPP模型用于基坑變形預測是可行和有效的，模型及方法可為大壩變形等相關預測研究提供新的途徑和方法。

b. 從圖3和表2、表3來看，ISDO-EPP模型的擬合精度(目標函數優化結果)、預測精度均優于ISDO-SVM、ISDO-BP模型，表明ISDO-EPP模型具有較好的擬合、預測精度；從表2來看，ISDO算法20次尋優EPP模型目標函數的結果均相同，即優化參數結果相同，表明ISDO-EPP模型具有較好的穩健性能。

c. 從3種模型對3個實例預測結果對比分析來看，ISDO-EPP模型具有較好的適用性和預測效果，預測結果是可信和合理的。ISDO-BP模型預測效果并不十分理想，原因在于訓練樣本過少，難以充分訓練模型，在實際應用過程中易出現“過擬合”或“欠擬合”現象，導致模型實用性能變差。

3 結 論

a. 提出改進供需優化(ISDO)算法，通過6個典型測試函數在高維和低維情況下和3個實例目標函數對ISDO算法的尋優能力進行驗證，并與SDO、WOA、GWO、MSA、PSO算法的尋優結果進行比較。結果表明：ISDO算法不僅在標準測試函數高維和低維條件下具有較好的收斂精度和全局搜索能力，而且在實例目標函數優化中同樣表現出良好的尋優效果和穩健性能。

b. 基于AFM和FNN確定沉降數據延遲時間和嵌入維數，構建基坑變形預測的輸入、輸出向量；利用ISDO算法優化EPP模型指數參數，提出ISDO-EPP模型，并構建ISDO-SVM、ISDO-BP模型作比較模型，以3個基坑變形預測實例進行對比驗證。結果表明：ISDO-EPP模型預測精度和預測效果均優于ISDO-SVM、ISDO-BP模型，具有較好擬合-預測精度和穩健性能，表明ISDO算法能有效優化EPP模型指數參數，ISDO-EPP模型用于基坑變形預測是可行和有效的。

c. 驗證表明，在標準測試函數中尋優效果表現較好的MSA、GWO、WOA在3個實例應用的優化中表現較差，尋優效果甚至低于PSO算法，可認為尋優失敗。再次驗證了“沒有免費午餐定理”，即沒有一種算法能解決所有優化問題。