“實數”常見錯解剖析

諸廣平

同學們，“實數”是相當基礎而又重要的內容.這一章有很多概念需要同學們去仔細揣摩，同學們千萬不要怕麻煩，一旦弄清了，你就會發現“實數”其實很簡單.什么是無理數？實數是什么？怎么分類？平方根、算術平方根及立方根怎么理解？近似數精確到哪一位？這些問題都沒有你想象的那么難.下面請諸老師對一些典型錯誤進行剖析，希望幫同學們更好地掌握知識，為將來的學習打下堅實的基礎.

一、概念模糊不清

例1下列各式計算正確的是（ ）.

A.3⁰=0

B.- |-3| =-3

C.3^-1=-3

D.√9=±3

錯解：選D.

剖析：本題考查了零指數冪、絕對值、負指數冪、算術平方根的概念.任何非零數的零次冪都等于1.負指數冪呢？同學們只要記住，它等于正指數冪的倒數.求數的絕對值也好，求式的絕對值也好，必須根據“正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零”來求.平方根的概念必須要這樣去理解：正數有兩個平方根，它們是一對相反數，其中正的平方根稱為這個數的算術平方根;零的平方根和算術平方根都是零：負數沒有平方根.D選項的意思是求9的算術平方根，因此答案是3.那么D選項應該怎么改呢？

±√9=±3，即9的平方根是+3，或者把3前面的“±”去掉，即9的算術平方根是3，就對了.

正解：選B.

剖析：把求絕對值、去括號兩步并成一步來進行計算，不犯錯才怪呢，本題第一步要做兩件事：求一個立方根，去一個絕對值符號.至于加減運算，還沒有輪到呢！因此第一步的正確算法應該寫成：原式=-1 -4 √3 -（√3—1）.接下來第二步是去括號，第三步才是加減運算，同學們，這類計算題出現錯誤，絕大部分是運算時跳步驟造成的，我們在計算時，一定要按部就班，一步一個腳印進行.這樣不僅不容易出錯，而且即使出錯了.我們也便于檢查究竟是哪一步出錯了.

四、對數形關系理解不透

例4在如圖1所示的數軸上，點C與點B關于點A對稱，C，A兩點表示的實數分別是√5和1，則點B表示的實數為___，錯解：1一√5.

剖析：實數與數軸上的點是一一對應的，也就是說每一個實數都可以在數軸上找到一個點和它相對應.要確定這個點表示的實數，其實和學習有理數時的方法是一樣的：在原點左側為負，在原點右側為正;然后再看這個點與原點的距離（也就是這個數的絕對值），就能確定這個數啦.

正解：因為點C與點B關于點A對稱，所以AB=AC=√5一1.即點B在點A左側（√5—1）個單位長度處，所以點B在原點左側（√5 -2）個單位長度處，所以點B表示的實數為2-、/了.

五、對近似數的精確度以及按精克確度取近似數認識不到位

例5下列由四舍五入得到的近似數，各精確到哪一位？

（1） 2.40萬;（2）5.2x10⁴.

錯解：（1）百分位;（2）十分位.

剖析：帶有單位的近似數或者用科學記數法表示的近似數和一般的近似數不一樣，它究竟精確到哪一位，需要結合其單位或數量級來考慮，第1個近似數，它是精確到“0”這一位，但這個數位不表示0.01，而是0.01萬，即百位;第2個近似數，它是精確到“2”這一位，但這個數位不是表示0.1，而是表示O.lx104.即千位.

正解：（1）百位;（2）千位.

例6用四舍五入法對26 802取近似數，要求精確到千位.

錯解：27 000.

剖析：千位是“6”所在數位，對“6”后面的數進行四舍五人，寫成27顯然是不合理的，但是寫成27 000也不合理，因為這樣一來，就變成精確到個位啦，是不是？為了解決這個問題，我們往往采用科學記數法來達到目的，

正解：2.7x10⁴.

練一練

1.（-2）²的算術平方根是（ ）.

A.2

B. 土2

C.-2

D.√2

2.設a=- |-2|，b一（一1），c=3√-27，則a，b，c中最大實數與最小實數的差是 .

3.已知某正數的兩個平方根分別是a+3和2a-15，b的立方根是-2.求-b -a的算術平方根.

參考答案：

1.A 2.4 3.2.