飛行器控制的偽線性系統方法
——第二部分：方法與展望

段廣仁

(哈爾濱工業大學控制理論與制導技術研究中心，哈爾濱150001)

0 引 言

本文的第一部分《綜述與問題》首先將非線性控制方法歸納為基于李雅普諾夫泛函的設計方法、基于最優控制的設計方法和以線性為主導的設計方法，并簡要地綜述了這三類非線性控制方法中的重要進展；其次，在此三類設計方法的框架下，特別對飛行器控制的非線性方法進行了概述，并由此引入偽線性系統的概念；然后，對于衛星姿軌控制、空間交會與攔截、飛行器制導等六類典型飛行器控制問題，給出了二階偽線性系統的描述形式。

該部分首先綜述了偽線性系統理論的現有成果，然后針對第一部分提出的六類典型飛行器控制問題的一般二階偽線性系統模型，介紹了二階偽線性系統狀態反饋的直接參數化控制方法，給出了使閉環系統矩陣相似于給定常值矩陣F的偽線性狀態比例加微分反饋控制律的全體，以及對應的右特征向量矩陣的參數化表示。該參數化表示依賴于給定的常值矩陣F和自由參數矩陣Z，這兩個參數矩陣提供了所有的設計自由度，可用于優化閉環系統性能。為此，我們以閉環特征結構要求、閉環系統干擾抑制要求以及最小閉環特征值靈敏度要求為例，考慮了通過綜合優化設計自由度實現控制系統多目標設計的問題。最后對偽線性系統理論的內涵、優勢和發展前景進行了討論。

1 偽線性系統綜述

1.1 一階偽線性系統

主導控制系統分析與設計近百年的狀態空間模型描述就是一階系統描述。作為一類重要的一階非線性系統，一階偽線性系統自然得到人們的首先關注。

1.1.1定義

偽線性系統(Quasi-linear systems)是一類特殊的非線性系統，其具有線性形式而本質是非線性。通常來說，一階偽線性系統可以寫成

式中:x是系統狀態，θ是時變參量，u是控制系統輸入。很多非線性系統都可以寫成偽線性系統的形式，甚至一些系統不需要任何處理，就是“天然”的偽線性系統。下文通過兩個例子說明。

例1Lorenz系統(1963年，美國氣象學家愛德華·洛倫茲(Edward Lorenz)為大氣對流提出的簡化數學模型)：

可以寫成偽線性系統形式

例2Van del Pol方程(1927年，荷蘭物理學家巴爾塔薩·范德波爾(Balthasar Van der Pol)描述真空管放大器的極限環振蕩現象)：

一旦將非線性系統寫成偽線性系統的形式，則可以嘗試一些成熟的線性系統理論和方法。而且，偽線性系統的形式不唯一，這種不唯一性也可以為系統提供一定的設計自由度。

1.1.2現有結果概述

控制理論發展的初期，人們研究的重點是線性系統。隨著實際工程需求和線性系統理論的成熟，非線性控制系統理論成為研究熱點，研究學者對偽線性系統的研究也隨之展開。

人們先考慮了偽線性系統的分析問題。關于偽線性系統的求解問題，大多研究的對象是系統矩陣為常值的偽線性系統，提出了此類系統存在偽周期解及存在條件[1-4]。同時，也有學者研究偽線性系統的齊次解，但對系統參數有一定的限制條件，例如系統參數是慢時變的[5]、非線性項是周期變化的[6-7]等。關于偽線性系統的能控性問題，研究學者從帶有擾動的線性時變系統入手，推導了此類系統能控的充分條件，之后推廣到一般偽線性系統，值得一提的是該條件依賴于偽線性系統的解[8]。關于偽線性系統的穩定性問題，Banks等[9]首先研究系統矩陣是上三角形式的穩定性判據，并且指出系統矩陣對于所有狀態是連續且Hurwitz的，則偽線性系統是全局漸近穩定的[10]。文獻[11]針對偽線性系統提出了依賴于類狀態轉移矩陣的系統局部穩定的條件，同時給出了吸引域的計算方法。Ghane等[12]在偽線性形式下研究了非線性自治系統的穩定性，通過偽線性形式下離散化模型進行分析，將標量系統穩定的充分條件推廣到n階系統。

關于偽線性系統的控制問題，文獻[13]通過求解代數Riccati方程設計了偽線性系統的P和PI鎮定控制器。Banks等[14]利用一系列線性時變系統近似逼近偽線性系統和目標函數解決了偽線性系統線性二次最優控制問題，要求在足夠小的時間域內以保證其收斂性，進一步將文獻[14]的結果應用到主動磁軸承旋轉柔性軸的非線性最優控制[15]。Cloutier等[16-17]通過求解狀態依賴Riccati方程解決了偽線性系統的調節和H∞控制問題，提出了線性控制方法的可以應用的條件。進一步，?imen和Lin等分別提出了基于狀態依賴Riccati方程/狀態依賴微分Riccati方程的偽線性系統控制方法[18-19]。

上述關于偽線性系統的分析和設計只是針對偽線性系統的幾種特殊形式進行的，并未對一般偽線性系統進行研究。作者及其合作者建立了正常[20-22]、廣義[23-25]一階偽線性系統控制律設計基本理論和方法，給出了使得閉環系統矩陣相似于某一待定穩定矩陣F的控制律的全體，以及對應的特征向量矩陣的參數化表示。該方法兼顧非線性系統和線性系統的優點。

1.2 二階偽線性系統

許多自然現象、動力過程的描述都是二階系統，并已在航天器的飛行動力學[26]、單機無窮大電力系統[27]、機器人的關節控制[28]等許多領域有了應用。這類二階系統模型都是非線性的，例如機械臂的一般動態方程如下

近年來，我們考慮了如下的一般二階偽線性系統模型

式中:x是系統狀態，θ是時變參量，u是控制系統輸入。傳統的處理方法都是將二階系統轉化為一階系統后利用已有的方法處理。這種做法沒有考慮到二階系統的模型下直接設計的優勢，有可能會帶來4個問題：

1) 許多模型的系數矩陣是具有一定物理意義，系統轉化后參數的物理意義就失去了；

2) 轉化后系統維數增加，導致計算量增加；

3) 轉化破壞了系統矩陣的性質(如：正定性、稀疏性等)和系統結構；

4) 轉化后可能會出現數值穩定性問題，在轉化過程中產生的誤差將直接影響最終結果。

鑒于上述考慮，我們直接在二階偽線性系統的框架下研究了系統的控制律設計問題，具體包括：

1)建立了二階偽線性系統狀態反饋的直接參數化控制方法，通過設計偽線性狀態反饋控制律，可使閉環系統化為一個具有指定特征結構的二階線性定常系統，并提供了控制系統設計中的所有自由度[29]。同時，還將研究成果推廣到廣義二階偽線性系統的狀態反饋控制律設計之中[30]。

2)建立了二階偽線性系統輸出反饋的直接參數化控制方法，給出了使閉環系統矩陣相似于給定常值矩陣F的偽線性輸出反饋控制律的全體，以及對應的左、右特征向量矩陣的參數化表示。該參數化表示依賴于給定的常值矩陣F和自由參數矩陣Zb和Zc，這三個參數矩陣可以提供設計自由度用于優化閉環系統性能[31]。

3)將提出的二階偽線性系統的直接參數化控制方法應用于導彈制導與控制[32-34]、航天器姿態控制[35-36]、空間合作目標的交會[37]、非合作目標的交會與攔截控制[38]等問題，充分地顯示了偽線性系統方法的優越性。

1.3 偽線性系統理論

有關高階偽線性系統的理論方法[39-46]，我們將另文討論。這里只闡述兩個觀點。

偽線性系統既包括一階偽線性系統和二階偽線性系統，同時也包括高階偽線性系統。眾所周知，以狀態空間為基礎的現代控制理論只面向一階的狀態空間模型描述，所有的理論方法都是針對狀態空間描述的一階微分方程來展開的。站在這一固有觀點上看，二階系統和高階系統根本沒有存在和討論的必要。然而由本文可見，二階偽線性系統的直接設計方法是非常簡單、方便的，并且具有一階系統設計方法所不能獲得的優勢。

傳統的控制系統設計觀點是將控制系統的模型和控制系統的設計方法完全割裂開來的，只有在控制系統的模型確定以后、不再變化的情況下，才討論其控制系統的設計方法。然而，控制系統的模型描述從來都不是唯一的，選擇不同的模型會直接導致方法上和結果上的差別。傳統觀點則完全忽略了控制系統模型選擇也是控制系統設計的一個重要組成部分這一重要事實。區別于傳統的控制系統理論，偽線性系統理論絕不僅僅是一階偽線性系統的分析和設計理論，也不僅僅是二階偽線性系統的分析和設計理論，而是一階、二階和高階偽線性系統和控制系統設計方法論相融合的一個整體。

2 偽線性系統的參數化方法

2.1 問題描述

考慮如下系統

(1)

此外，作為全驅性要求，還需要作如下假設：

針對上述系統(1)，設計一個控制器，該控制器由兩部分組成：

u=uc+uf

(2)

(3)

而uf為比例微分狀態反饋項：

(4)

(5)

其中

(6)

令

(7)

根據假設3，則閉環系統(5)～(6)可轉化為如下形式的一階系統：

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

(12)

因此，閉環系統矩陣

(13)

是定常矩陣。

對于一般的非線性系統，這種要求通常難以實現。下文將在系統全驅假設3下實現這一目標。

2.2 直接參數化方法

1) 控制律參數化

定義

則下文的結果給出了問題FA全部解的求解方法[29]。

(14)

和

(15)

其中

(16)

(17)

下面進一步討論一些相關問題。

2) 解的存在性條件

Q-1FQ=JF=Blockdiag(J1,J2)

(18)

σ(J1)∩σ(J2)=φ

(19)

定義

3) 參數空間的稠密性

3 多目標綜合優化設計

從上一節可以看出，全驅二階偽線性系統可以在以下意義下實現完全參數化的控制設計：

1) 總可以找到一個反饋控制器，在該控制器作用下，閉環系統是一個具有期望特征結構的定常線性系統；

3.1 多目標綜合優化思想

在實際的飛行器控制工程設計當中，我們需要同時考慮精度、動態性能以及各種魯棒性等，因此飛行器控制本質上是一個典型的多目標設計問題。前述全驅二階偽線性系統的參數化設計方法所提供的參數矩陣F和Z可以進一步根據某些系統的設計要求來優化選取，以提高閉環系統的性能。任何一個對于閉環系統的設計要求都可以轉化為對參數矩陣F和Z的約束。這種約束的形式可以是多樣的，但歸納起來主要有以下幾種：

指標型：

minJk(F,Z),k=1,2,…,nk

(20)

不等式型：

gl(F,Z)≥0,l=1,2,…,nl

(21)

等式型：

pj(F,Z)=0,j=1,2,…,nj

(22)

極限型：

(23)

進而，一個系統的多目標設計問題可以轉化為如下綜合優化問題：

(24)

3.2 典型參數約束條件

本節接下來討論幾種具體的設計要求，并給出其關于參數矩陣F和Z的顯式表達，以便對參數矩陣F和Z進行優化來滿足預期的多目標設計要求。

3.2.1期望特征向量要求

線性系統理論告訴我們，線性系統的響應與系統的閉環特征向量矩陣密切相關。閉環系統的一些其他性能，如閉環特征值靈敏度，也依賴于閉環特征向量[47]。因此在很多實際的飛行器控制問題中，經常會對閉環特征向量矩陣的整體或其中某些元素做出要求，即希望閉環特征向量盡可能接近期望值[48]。

鑒于此本節考慮了期望特征向量約束，在給出約束的具體形式之前，作為準備，引入如下兩組指標集：

(25)

在此基礎上，我們可以給出如下期望特征向量的等式約束：

(26)

當等式約束(26)無須嚴格成立，而是盡可能成立即可時，可以把式(26)的等式要求轉化為極小化如下期望特征向量指標：

(27)

3.2.2干擾抑制

(28)

希望它盡可能地不受外界干擾d的影響。盡管研究的偽線性系統是非線性系統，但是由于所采用的直接方法可以獲得一個閉環的線性系統，因此，由閉環系統(8)以及輸出方程(28)可知，由d到所關心的變量y的關系可以在頻域中表達如下：

y(s)=G(s)d(s)

(29)

其中

(30)

為了盡可能地消除干擾d對變量y的影響，希望極小化如下指標：

(31)

對方陣X，記

πX(s)=det(sI+XT)

則由文獻[49]中定理9.2(見第 356頁)可推得如下引理。

則當A是Hurwitz矩陣時，下述Lyapunov方程

ATP+PA=-Q

的唯一解可由下式給出

(32)

基于上述引理，可證得下述結論。

(33)

其中

(34)

證明. 若取控制律(2)～(4)，則根據定理1可知閉環系統(8)的系統矩陣為

(35)

式中:V由式(14)給出。將式(35)代入式(30)可得

G(s)=CV(sI-F)-1V-1Ec

(36)

式中:Ec由式(11)給出。

由于矩陣F是Hurwitz的，關于P1和P2的下述李雅普諾夫方程

(37)

FTP2+P2F=-VTCTCV

(38)

定理3告訴我們，為了抑制干擾d對輸出y的影響，我們可以極小化下述指標：

(39)

3.2.3特征值靈敏度

(40)

(41)

此時，在本文的控制律下閉環系統(5)可化為

(42)

其中

(43)

這里，

(44)

若根據式(7)定義狀態變量X，則閉環系統(42)可以化為如下狀態空間形式：

(45)

其中

(46)

這里，

下文基于上述帶有參數攝動的模型(45)～(47)，討論特征值靈敏度指標的求取。首先需要指出的是，根據文獻[52-53]中的結果，當不考慮參數攝動的具體形式時，整體的特征值靈敏度可以由閉環特征向量矩陣的條件數給出，即極小化如下指標：

(48)

式中:αr≥0為合適的權重系數。

本節所討論的參數攝動具有特定的形式(40)～(41)。針對此類型的攝動，極小化結構攝動靈敏度指標，來更加具有針對性地抑制參數攝動δ對閉環特征值的影響。為了求取結構攝動靈敏度指標，首先引入如下引理[47]。

(49)

基于引理2，可以得到如下結果。

F=diag(s1,s2,…,s2n)

(50)

(51)

證. 由題設可知

(52)

(53)

根據定理4，為了抑制參數攝動δ對閉環特征值的影響，可以極小化結構攝動靈敏度指標：

(54)

上面給出了三種具體的控制系統設計要求，如果要同時實現上面這些設計要求，可以分兩種情形進行處理。

情形1：要求期望特征向量等式約束(26)嚴格成立，此時所要求解的綜合優化問題可表述為

(55)

式中：αd,αr≥0為適當選取的權重系數。

情形2：僅要求期望特征向量條件(26)盡可能成立即可，此時所要求解的綜合優化問題為

(56)

式中：αd,αr,αt≥0為適當選取的權重系數。

4 討論與展望

4.1 關于偽線性系統

4.1.1一階偽線性系統

控制系統的狀態空間方法，連同龐特里亞金極大值原理和卡爾曼濾波，一同構成了現代控制理論的形成標志。狀態空間方法在現代控制理論的形成過程中起到了絕對的奠基性作用。人們的一個固有認識便是任何一個系統最終總能表述成一個狀態空間描述，即一個一階非線性微分方程組的形式。這就是最一般的表示。從這一邏輯上講，我們只要研究狀態空間模型描述的一階系統就足夠了。正因為如此，也導致了人們對于一階偽線性系統的青睞，這種固有的認識把人們束縛在一階的狀態空間描述框架之內，自然使得目前關于偽線性系統的研究結果都局限在一階系統的框架下。

提起控制系統，人們就想到一階系統描述。這種認識是殘缺的、片面的，并可產生誤導。

雖然基于狀態空間模型表示的一階非線性系統的穩定性、能控能觀性等理論比較完善，但也不等于一階系統方法對于所有控制問題都是最佳選擇，一些一階系統的方法在很多應用之中也是不方便的。

隨著時間的推進，一階偽線性系統會得到進一步的發展，但也會受到現有理論框架和方法論的束縛。

4.1.2二階偽線性系統

在一定意義上說，這個現實的物理世界就是一個“二階”的世界。眾所周知的基礎定律，如牛頓定律、動量矩定理、拉格朗日方程、歐拉方程、基爾霍夫定律等，所給出的物理模型都是二階的。也就是說，在這些物理定律的主宰下，這個世界中的所有物理系統的數學模型都是二階的。

但遺憾的是，受狀態空間模型和狀態空間理論的影響，在處理這些二階系統的控制過程中，人們還是硬生生地把它們都化成了一階系統，為的是能夠應用一階系統的理論方法來處理問題。殊不知，在二階系統的框架下，既可以保留系統的物理特性，同時也能更簡潔、更方便地實現系統的控制。在這方面，機器人控制領域的發展起到了一定的引領作用。盡管許多機器人控制方面的論文也是在一階系統的框架下處理的，但是這一領域的學者們卻是較早地在二階系統的框架下處理了機器人控制問題。盡管他們這方面的工作往往都歸結到解耦后的二階單變量古典頻域理論，沒有充分利用系統設計中的自由度，但也彰顯了直接法非常方便的特性，使人們清楚地看到，使用狀態空間為基礎的一階系統方法來處理問題，有時候也是相形見絀的。

鑒于二階系統突出的普遍性，關于二階偽線性系統的理論和應用研究必定在將來得到迅猛發展。

4.1.3高階偽線性系統

一個復雜的控制對象往往會包含多個組成部分，而每個組成部分作為一個物理部分，其系統模型的描述一般是二階的(特殊情況下也可能有一階的)，因而這些子系統組合起來則往往給出一個高階(大于二階)的系統模型。盡管如此，人們多半還是千篇一律地、形而上學地把這些高階系統再一次轉化成一階系統，目的是要基于以狀態空間模型為基礎的一階系統的控制理論方法來處理控制問題。這就是高階偽線性系統很少見的原因。但事實上，初步研究[39-46]已經表明，即使對于這些高階偽線性系統，在高階系統的框架下來考慮相應的控制問題也是非常簡單、方便的。

4.2 關于飛行器控制

4.2.1一階和二階偽線性系統方法

自20世紀初以來，凡是在時間域上處理的飛行器控制問題，無論是線性的還是非線性的，幾乎都是基于狀態空間方法的一階系統理論框架上開展的。眾多的飛行器控制問題，盡管它們的原始模型是二階的，同許多其他的二階系統的控制問題一樣，都被化成了一階系統去處理。

那結果如何呢？

1) 對于線性的情形，有可能把一個可以簡單處理的問題復雜化了，但在理論結果上還是完備的；

2) 對于非線性的情形，在穩定性這一重大問題上，結果多半是片面的，或者要求了系統的特殊形式，或者增加了苛刻的條件。因為一階系統框架下的穩定性理論本身就很難處理。

這不是一階系統理論方法的問題。人們上百年的努力都傾注到一階系統上，在一階系統理論方法方面取得了多方面進展。問題出在方法論上。由本文可見，對于這些傳統的飛行器控制問題，采用二階系統的直接參數化方法，可以很容易地解決系統的控制問題。更難得的是，可以在極其寬泛的條件下得到一個線性的閉環系統，同時還能挖掘出系統控制設計中的所有的設計自由度。這是應用一階系統控制方法較難實現的。

經過上百年的研究，飛行器控制問題的一階系統設計方法很難再有重大突破了，除非人們在一階系統的控制理論方法方面取得重大突破，在一階偽線性系統方面能夠有強有力的方法出現。

然而，飛行器控制問題的二階系統直接處理方法，隨著人們對其認識的不斷深入，將會得到迅速的發展和完善，并逐漸在飛行器控制工程應用中發揮重要作用。

4.2.2高階偽線性系統方法

今天面臨許多復雜的飛行器控制問題，例如，帶有大撓性附件的衛星的姿態控制問題、帶有復雜執行(驅動)機構和/或檢測部件的飛行器控制問題、考慮液體晃動的衛星控制問題等。這些復雜的飛行器控制問題本質上或者為多個子系統的串聯，或者為多個子系統的并聯，或者為多個子系統的反饋結構。有關這樣復雜飛行器的控制問題，人們自然的處理方法也都是把它們化成了一階系統。但實際上，由于它們的這種多系統復合結構，其自然的系統模型應該是高階系統。

目前在高階系統方法方面所做的一些初步嘗試[39-46]也將為復雜飛行器控制問題開辟一個重要方向。隨著高階偽線性系統理論的完善和發展，復雜飛行器控制問題的高階系統方法也會得到非常廣泛的應用。

致 謝

作者感謝其學生顧大可、胡艷梅、趙天一等人協助查找文獻和組織材料。