地月空間NRHO與DRO在月球探測中的應用研究

曾 豪，李朝玉,彭 坤,王 平，黃 震

(1.中國空間技術研究院載人航天總體部，北京100094；2.北京理工大學宇航學院，北京100081)

0 引 言

地月系統平動點軌道是空間環境觀測與行星際探測任務的低能量樞紐[1-2]。ARTEMIS任務利用地月Lissajous軌道研究了地球磁尾與太陽風的相互作用[3]。“嫦娥5T1”服務艙[4]實現了利用月球近旁飛越進入地月平動點軌道，促成了“嫦娥4號”中繼星的L2點Halo軌道任務，為著陸器與巡視器的月球背面任務提供了導航方案[5]。其次，NASA提出的“月球軌道平臺門戶”計劃[6]，將空間站部署于月球附近的近直線Halo軌道(Near rectilinear Halo orbit, NRHO)，能夠作為未來地月空間物資運輸訪問、火星探測和載人小行星任務的中轉站。由于平動點軌道存在的諸多優點，如何實現探測器低能量往返轉移軌道設計成為空間領域研究的重點與難點。同時，低能量軌道源于多天體系統下引力的共同作用，在軌道設計時將面臨復雜動力學環境的影響，針對此背景，對地月空間三體軌道在月球探測中的應用研究是必要的。

針對地月空間軌道設計問題，轉移方式主要分為直接轉移、弱穩定轉移、借力轉移與小推力轉移。Rausch[7]采用兩層微分修正算法構造了地球停泊軌道與L1點Halo軌道的兩脈沖直接轉移，但直接轉移所需速度增量較大。Zanzottera等[8]與Parker等[9]提出弱穩定邊界轉移策略，通過連接地月空間與日地空間的流形結構，系統分析地月L2點Halo軌道的轉移特性，而弱穩定轉移存在著任務時間長等問題。

Gordon將流形理論與借力技術相結合，設計了不同幅值Halo軌道兩脈沖轉移軌跡。針對Gordon研究中借力點方位不可調與燃耗較大等局限性，Li等[10]、Folta等[11]與Zeng等[12-13]對月球借力方位與入軌點位置進一步研究，提出了改進的月球引力輔助三脈沖轉移方案，并給出了入軌點選擇策略與定量分析月球借力約束集合的影響。同時，隨著小推力技術日趨成熟。Ozimek等[14]、Zhang等[15]基于不同的優化策略，對地月空間小推力轉移軌跡進行求解，實現了不變流形與小推力軌道的最優拼接。

在地月空間任務中引入天體借力飛行，能夠有效地降低軌道轉移的燃料消耗。然而，借力天體附近動力學環境的多樣性與復雜性，給軌道最優借力點的確定帶來了挑戰。同時，不同目標軌道及入軌點位置的選取，一定程度影響著轉移軌道的燃料性能指標。因此，如何建立合適的借力約束模型，如何將借力技術與二體Lambert轉移有效融合，如何調整入軌點保證低燃耗的同時降低任務時間，都是天體引力輔助軌道設計時需要考慮并解決的問題。

本文針對上述問題，采用遺傳算法與二體Lambert轉移初值搜索策略，快速確定滿足約束的軌道初值。基于序列二次規劃算法(SQP)與多重打靶法，構造出同時考慮近月點與近地點等約束的燃料最優地月往返轉移軌道。其中，引入時間變量表征目標軌道，能夠在求解過程中搜索確定往返軌道合適的入軌點與逃逸點。選取三體軌道NRHO與DRO為研究對象，重點分析了不同近月點高度、目標軌道空間結構對任務時間與機動速度增量的影響。最后，通過關鍵數據對比，突出本文設計策略的適用性與有效性，在未來的月球探測任務中提供借鑒與技術支持。

1 軌道動力學模型及研究對象

1.1 圓型限制性三體模型

圖1 質心旋轉坐標系及目標軌道Fig.1 Rotating barycenter frame and target orbits

在質心旋轉系中，飛行器的動力學方程為：

(1)

其中，

(2)

文中利用雅克比常數C表征所考慮的周期軌道，積分常數滿足：

(3)

1.2 目標軌道及狀態轉移矩陣

圓型限制性三體模型中存在著不同類型的周期軌道與擬周期軌道。文中主要針對近直線Halo軌道，即“月球門戶”計劃的目標軌道NRHO，與大幅值逆行軌道(Distant retrograde orbit, DRO)兩種類型的地月往返軌道特性進行研究，如圖2所示。

NRHO是一類在地月三體系統中，由L1點和L2點附近Halo軌道演變形成，并且軌道周期較短的三體軌道。飛行器借助月球引力輔助進入NRHO所需的速度增量較小。由圖2(a)可知，NRHO近月點距離月球較近，能夠較好地支持月球極區的探測。

圖2 地月系統目標NRHO與DRO空間分布Fig.2 Map of NRHO and DRO in Earth-Moon system

DRO屬于逆行環繞月球的共振周期軌道。研究表明，DRO相對穩定，放置于此軌道上的飛行器能夠長期保持穩定。此類型軌道主要運用于日地觀測與小行星訪問任務，作為小行星捕獲的中轉站。

在CRTBP模型中，通過狀態轉移矩陣能夠聯系當前時刻與下一時刻的狀態量，降低軌道設計的難度，即：

(4)

2 約束建模與轉移方案分析

2.1 借力約束模型的定義

針對地月空間NRHO與DRO往返軌道設計，本文考慮月球引力作用以降低任務的燃料消耗，飛行器由地球出發飛抵目標軌道的轉移軌跡如圖3(b)所示，其中圓點為軌跡拼接點。

圖3 借力轉移示意圖、設計變量及多重打靶法Fig.3 Diagram of mission scenario, design variables definition and multiple shooting method

針對借力機動點與目標軌道之間的轉移軌道段，為了較好地構造出滿足約束的最優軌跡，采用多重打靶法對軌道分段處理，降低參數敏感性。因此，此軌道段自由變量C1包含入軌點三軸速度增量ΔVOI、各拼接點間飛行時間Ti與狀態量Xi，以及目標軌道時間變量τ；針對近地點與借力點間軌道段，自由變量C2包含借力機動增量ΔVFB與地月轉移時間TEM，則自由變量集合為：

C=[C1,C2]T=[ΔVOI,T1,…,Tn-1,

X2,…,Xn,τ, ΔVFB,TEM]T

(5)

約束方程表示為：

(6)

2.2 軌道初值搜索策略

針對軌道設計初值猜想問題，由于NRHO與DRO軌道相對穩定，無法通過不變流形構造軌道初值。本文采用軌道分段初值猜想搜索策略，將任務軌道分為地月轉移段與月球-目標軌道段，能夠有效地降低軌道設計對關鍵參數的敏感度，快速求解初值。其中，地月轉移段參見文獻[12]，主要針對月球-目標軌道段進行初值構造。以飛行器由地球飛抵目標軌道為例，返回軌跡設計方法類似。具體地：

結合遺傳算法與Lambert理論快速求解近月點與入軌點間兩點邊值問題。其中性能指標函數為

(7)

(8)

式中:TMH為此軌道段的飛行時間，根據任務指標要求與目標軌道空間位置確定搜索范圍，本文假設TMH-NRHO∈(0.4, 1)天，TMH-DRO∈(6, 14)天。(rm,vm)為會合系下近月點狀態量。通過遺傳算法能夠有效地搜索確定目標軌道上合適的入軌點，即自由變量τ。

2.3 約束方程解析梯度

上述搜索策略僅用于確定軌道設計初值與多重打靶法拼接點的大致區域，不能保證轉移軌道的最優性，需要結合SQP算法進一步優化求解自由變量，確定燃料最優轉移特征點位置，優化目標函數為：

(9)

自由變量與約束方程如式(5)～(6)所示。為了提高軌道設計的正確性與計算效率，推導了目標函數與約束方程關于自由變量的解析梯度。由于目標函數僅為ΔVOI與ΔVFB的函數，則

(10)

近月端高度與航跡交約束偏導數滿足：

(11)

(12)

式中：rLF為近月點相對于月球質心的位置矢量，即rLF=rn-[1+μ,0,0]T。

近地點高度的微分關系滿足：

(13)

(14)

(15)

航跡角約束的偏導數表示為：

(16)

式中:Φrr與Φrv為狀態轉移矩陣的3×3子矩陣，vsE與asE分別為旋轉系下近地點速度與加速度矢量。近地點高度與航跡角約束關于狀態量的偏導數與式(11)～(12)類似，只需將飛行器相對于地球的位置和速度矢量替換即可。

其次，拼接點狀態量約束的梯度滿足：

(17)

(18)

應注意，約束方程關于自由變量的解析梯度為(6n-2)×(7n+1)矩陣，相關項由式(11)至式(18)組成，其余項為零。

3 地月空間往返軌道特性分析

在地-月圓型限制性三體模型中，結合所提的設計策略，對不同結構的NRHO與DRO的月球借力往返轉移軌道進行設計，分析幅值變化(即不同雅克比常數)對任務燃料與時間的影響，討論轉移軌道入軌點與借力機動點分布特性。在設計過程中，假設飛行器逃逸與返回時近地點軌道高度為200 km，航跡角為0°。

3.1 地月NRHO往返轉移方案分析

3.1.1近月點高度對借力效果的影響

圖4描述了僅考慮月球借力高度約束下，目標軌道近月點高度100 km，遠月點高度66000 km，軌道周期6天的NRHO (C=3.05804)月球借力轉移軌道，速度增量、借力機動點方位參數變化如圖5所示。其中，類傾角與類升交點赤經僅在旋轉坐標系下求解，其定義與月心慣性系下環月軌道傾角與升交點赤經定義相似。由圖可知，不同工況下飛行器的飛行軌跡具有相同變化趨勢，借力機動點分布于以月球為中心的yz平面附近，月球借力能夠顯著地改變飛行器的運動方向。

圖4 不同近月點高度的NRHO最優轉移軌Fig.4 The optimal transfers of NRHO with different flyby altitude constraints

由圖5可知：1)針對NRHO轉移方案，隨著近月點高度不斷增大，速度增量呈現先減小后增大的趨勢，但不同近月點高度對任務機動增量影響較小，改變量僅為2.658 m/s，其中借力增量介于179.845 m/s與200.508 m/s，入軌機動保持在208.345 m/s至227.241 m/s之間;2)任務總飛行時間T∈(5.667, 5.832)天，相比于地月轉移段，飛行器完成月球借力后，僅需約0.868天即可飛抵目標軌道; 3)不同工況下近月點對應的類升交點赤經與類傾角改變較小，類升交點赤經與類傾角范圍分別為(90.438°，91.976°)與(86.244°，86.611°)，即NRHO轉移的最優借力點位于月球極區附近。

圖5 不同借力高度的速度增量、飛行時間、類升交點赤經與類傾角變化曲線Fig.5 The curves of speed increment, flight time, analogy RAAN and inclination with different altitude

具體地，針對近月點高度360 km工況的最優轉移，飛行器由地球停泊軌道出發，經過4.896天飛抵近月點，沿三軸施加速度增量ΔVFB=[11.263, -118.131, -144.069] m/s，即186.648 m/s完成月球借力操作，繼續航行0.817天后到達目標NRHO，入軌機動為219.546 m/s。任務總飛行時間與燃料消耗分別為5.713天與3523.223 m/s。

對比分析借力轉移與直接轉移方案，直接轉移速度增量特性如圖6所示。直接轉移合適的入軌點位于NRHO的遠地點附近，隨著目標軌道雅克比常數的逐步增加，捕獲速度增量總體保持單調遞增變化，介于793.216 m/s至847.332 m/s。其中，相應的轉移時間改變量僅為0.5天，即時間范圍為(5.171，5.674)天。比較圖5與圖6可知，飛行器采用借力轉移方案所需的速度增量顯著優于直接轉移，而兩種方案的飛行時間相差在1天內。

具體地，針對目標軌道雅克比常數C=3.05804的轉移設計，飛行器直接轉移機動增量為847.331 m/s，相應的轉移時間為5.174天。而借力轉移方案的總速度增量減少約441.138 m/s，時間僅增加5.713-5.174=0.539天。因此，基于月球借力的NRHO轉移更具優勢。

3.1.2NRHO的往返轉移軌道特性分析

針對地球與不同尺寸的NRHO軌道之間的往返飛行軌道特性進行分析，飛行器往返軌道如圖7所示，往返速度增量與飛行時間變化曲線如圖8所示。其中，雅克比常數在[3.05776, 3.01566]內每隔0.001進行取值，最小值與最大值對應的近月高度與遠月高度分別為120 km、65831 km與13669 km、83050 km。

圖7 NRHO空間往返轉移軌道與平面投影圖Fig.7 Round-trip transfer orbit of NRHO and the corresponding plane projection

圖8 不同工況下NRHO往返速度增量與時間特性Fig.8 The characteristics of speed increment and flight time of NRHO mission in different conditions

比較往返軌道及各項關鍵參數可知，不同工況下往返轉移軌跡具有近似對稱特性，各個特征點與各飛行時間參數相近。同樣地，往返軌跡合適的月球借力位置位于極區附近。入軌點與借力點總速度增量大小隨著雅克比常數的增大而增大，介于(388.099，407.499) m/s，而往返轉移時間總體呈現下降趨勢，改變量6.882-5.672= 1.210天。

當目標軌道C=3.05776 h，飛行器完成地球逃逸后，飛行4.999天后施加增量187.475 m/s完成月球借力機動，繼續航行0.772天后抵達目標NRHO，入軌機動220.023 m/s。完成月球探測任務后，飛行器執行返回任務，在NRHO上施加227.454 m/s的速度增量完成離軌操作，航行0.728天后抵達近月點，執行機動179.497 m/s進行月球借力，改變飛行方向，隨后繼續運行4.944天返回地球附近。

當目標軌道C=3.01566時，往返各項關鍵參數滿足：近月機動164.999 m/s與164.998 m/s，NRHO捕獲與離軌223.101 m/s與223.100 m/s，地月段時間4.786天及4.787天。

3.2 地月DRO往返轉移方案分析

飛行器往返于地球與DRO的轉移軌跡如圖9所示，對應的速度增量與飛行時間變化關系在圖10中給出。與NRHO軌道結構相似，DRO往返軌道在平面內關于y軸具有對稱特性。同時，飛行器航行于地球與目標DRO之間特征點總速度增量與飛行時間相差較小。隨著雅克比常數的減小，能夠更好地構造出低能量的轉移軌道，但轉移時間逐步增加，且近月點至入軌點轉移段耗時較長。因此，可以根據任務對燃料與時間的要求對目標軌道進行選擇。不同工況條件下，飛行器由地球出發，航行TEM∈(4.611, 6.679)天飛抵近月點時，需要施加142.453-176.962 m/s完成借力飛行，DRO入軌增量滿足74.293 m/s與89.645 m/s范圍內。

圖9 地球-DRO空間往返轉移軌道Fig.9 Round-trip transfer orbit between the Earth and DRO

圖10 不同工況下DRO往返速度增量與飛行時間曲線Fig.10 The curve graph of speed increment and flight time of DRO mission in different conditions

針對飛行器返回軌跡的速度增量與轉移時間，與去程軌道數據比對可知，速度增量最大差值與最小差值分別為13.960 m/s(C=2.9326)與1.760 m/s(C=2.8578)。具體地，針對C=2.8578進行分析，飛行往返地月轉移段時間約為4.636天，近月點機動增量分別為141.453 m/s與141.566 m/s，近月點至目標軌道段轉移時間13.203天，完成DRO捕獲與離軌增量為82.681 m/s與84.328 m/s。

其次，針對固定轉移時間的地球至DRO任務參數特性進行分析，即13.559天，借力點機動與入軌點機動變化曲線如圖11所示。由圖可知，隨著目標軌道雅克比常數的增大，入軌點速度增量不斷減小，而借力點速度增量單調遞增。入軌點機動是任務總速度增量變化的主要影響因素，即ΔVOI∈(89.859, 282.245) m/s，而借力機動改變量僅為15.987 m/s。

圖11 固定時間的入軌點與借力點速度增量變化特性Fig.11 Variations of speed increment at flyby and insertion point at a fixed time

選取C=2.8578的DRO設計轉移軌道，飛行器地月軌道段與月球-DRO軌道段時間分別為7.179天和6.380天。完成月球借力需施加169.536 m/s，而飛行器完成DRO捕獲所需的速度增量較大，即282.245 m/s。與圖10結果進行對比，固定時間轉移任務的總飛行時間減小17.839-13.559=4.280天，相應的速度增量增大451.781-224.134= 227.647 m/s。因此，可根據任務指標要求，對方案的時間進行選擇與設計。

3.3 關鍵參數對比分析

分析NRHO與DRO探月模式的速度增量需求與時間需求，同時將本文設計結果(圖8(C=3.01566)與圖10(C=2.8772)燃料最優數據)與以往研究中采用月球借力轉移的數據進行對比，如表1和表2所示。

表1 不同探月模式的速度增量需求Table 1 Requirement for delta-v in different lunar exploration mode (m/s)

表2 不同探月模式的飛行時間Table 2 The associated flight time in different lunar exploration mode (天)

比較NRHO與DRO兩種模式的往返轉移任務，NRHO轉移所需的速度增量較大，此類型轉移可運用于短時間飛行任務。DRO轉移雖然降低了任務的燃料消耗，但飛行時間顯著增加。比較不同文獻結果，NRHO轉移時間改變量僅為1.343天，而借力點與入軌點機動增量減小63.803 m/s。基于本文方法的DRO往返適合于以燃料為主要指標要求的轉移任務，通過數據比對進一步驗證了所提設計策略的有效性。

4 結 論

本文針對地月系統NRHO與DRO往返轉移軌道設計問題，基于天體借力飛行與混合優化技術，給出了軌道設計初值選取策略，重點研究了不同目標軌道與借力方位對時間與燃料等關鍵參數的影響。研究結果表明，在圓型限制性三體系統中：

1)NRHO與DRO的地月往返軌道結構具有近似對稱特性。對于特定的目標軌道，往返機動增量、飛行時間相近。隨著目標軌道雅克比常數的增大，速度增量呈現單調遞增而轉移時間變化趨勢相反。

2)針對NRHO轉移方案分析，借力高度的變化對速度增量與時間的影響較小。月球借力轉移燃料消耗相比于直接轉移，減少(405.116, 439.472)m/s，飛行時間增加量介于0.534天至1.208天。

3)針對DRO轉移方案分析，往返總速度增量介于446.016～547.173 m/s，而時間范圍在26.401～35.616天變化。相比于NRHO方案，完成任務時間增加，由于DRO轉移位于xy平面內，轉移過程速度增量較小。

4)比較兩種模型飛行任務，NRHO轉移是時間與燃料折中的轉移方案，而DRO轉移適合于對任務時間要求不高的燃料最優轉移。

以上設計策略與分析結論，對于考慮月球借力的地月空間軌道往返軌道設計策略及參數選取具有重要的參考與應用價值。應注意，SQP算法為局部優化算法，后續可基于本文所提設計策略與全局優化算法對結果進一步優化。