從一道網紅題談對資優生物理思維的培養

魏明遜

(昆明第三中學 云南 昆明 650500)

1 問題概述

在2019年1月13日，YouTube上的著名頻道3Blue1Brown發布了一個非常有趣的視頻(https://www.bilibili.com/video/av41712219/?spm_

圖1 3Blue1Brown網站的Logo

這個問題的描述如下：如圖2所示，在完全光滑的無限長平面上，有一個質量為M的滑塊A以垂直于墻面的速度v0向墻運動，A和墻之間的連線上停著另一個質量為m的滑塊B.假設系統所有碰撞均為完全彈性碰撞，且滑塊可以看成質點.求解M和m的質量是什么樣的關系才能使m碰撞的次數與π有一定的關系.

圖2 碰撞模型

從離散的物理碰撞能夠推導出一個無限不循環的數學常量，數學和物理有時會顯現出令人驚訝的默契，這就是3Blue1Brown所說的Unexpected，冥冥之中蘊含著宇宙的某種設計.Gregory Galperin于1990年最早發現了這個結果，并于2003在論文Playing pool with π (the number π from a billiard point of view)中公布這個問題，這是一個網紅問題.但網上的各種解答數學味比較重，并且所有解答都是為了討論與π的關系，對一般情景沒有討論，我們希望經過深入地分析讓這道從物理中來的數學題重新回歸物理的情景.

2 解決問題

設M以速度v0向右與m發生第一次碰撞后

(1)

MvM+mvm=P=Mv0

(2)

對式(1)(2)進行變形得

x2+y2=2E

(3)

(4)

分界線與x軸的夾角為θ，從初始點到點A1，對應的圓周角為θ，如圖3所示可以看出相鄰點之間的弧長相同，對應的圓周角為θ，圓心角是2θ，而全部圓心角加起來小于2π，因此碰撞次數N和θ的關系為

圖3 碰撞點區域分析

N2θ≤2π

(5)

即N取整.

至此，N和π的關系就清晰了，最終提取的其實就是π10n的整數部分，這就是碰撞問題中隱藏的π與碰撞次數的關系.所有的網絡解答都注重討論M=100nm時呈現的關系，而對于高中物理我們需要引導學生研究M和m任意比值下碰撞后速度的變化及碰撞的次數，還需要討論圖3所呈現的物理含義，探尋規律引導資優生尋找物理的樂趣.

3 深入探討

3.1 求解任意一次碰撞后M和m的速度大小

這個問題的實質就是求A1,A2,…的坐標(x1，y1),(x2,y2),…

首先求解A1的坐標，從x2+y2=2E入手，如圖3所示.

得

vM1=v0cosα

(6)

得

(7)

根據

所以

以此類推A2點的角度為2α……所以n(n為M和m碰撞次數)次M和m碰撞后的速度為

(8)

(9)

驗證：

假設M=2m，取M的初速度v0為正方向

從第一次M和m碰撞后

M的速度

m的速度為

第二次M和m碰撞后

M的速度為

m速度為

同理得到M和m第三次碰撞后，M速度為

m速度為

M,m都向右運動，并且vm3

3.2 由任意時刻M速度表達式得到碰撞次數N的其他表達式

作M的速度

圖4 v-t圖像

(10)

N取整.特別注意：如果N正好出來是整數，那么碰撞次數就是N-1.

從數學上很容易得到

(11)

真有點九九歸一的感覺.從不同的表達式也可以看出其中的物理含義：勻速圓周運動和簡諧運動本來就是圖3和圖4的兩種不同呈現方式.式(11)實際上是把兩種運動關聯起來了.

3.3 最后的碰撞點落在x軸和分界線上的物理情景

前面的討論最后的碰撞點落在圖3的斜線區域，那么對于落在x軸和分界線上的碰撞點是否具有物理意義呢？我們分別從兩個方面進行討論.

(1)如圖5所示，A4的對稱點B4正好落在分界線上，也就是M和m最后一次碰撞完以后速度大小相等，方向相反，但m與墻碰撞以后，M和m以相同的速度遠離墻.

圖5 碰撞點在分界線

以上兩個結論是不是很有意思啊！

4 啟示

這道題本來只是一道數學的趣題，想反映出大自然中存在的神奇.如果僅僅根據機械能守恒和動量守恒只是揭示了碰撞和π之間隱藏的關系.但對于資優生而言消化網絡上對網紅題的解法僅僅是欣賞物理的開始，應該引導學生對圓進行討論，特別是根據圓上的點可以引導學生求解任意時刻碰撞的速度，并通過速度的表達式，進一步發現M速度大小不光是M=m時可以回到原來的初速度大小，而且M和m只要比例適當就可以使M的速度變為v0或者M,m速度大小相同，這是大自然神奇的一面.進一步研究發現M的速度大小變化是一條余弦曲線，從而找到M和n碰撞的其他表達式，最后發現這兩個表達式在數學上是等價的，最終完成勻速圓周運動和簡諧運動的統一，物理真奇妙！

物理之所以能給優秀學生持續不斷的動力，關鍵一點還是有趣，我們討論一道題實際上不是題目本身，而是要告訴學生，外面的世界很精彩，如何欣賞物理，并從中得到快樂.這些優秀學生不一定將來都從事物理學研究，但他們能長期保持愛好，并在將來提出一些有意思的問題，推動社會的進步不就是我們教物理最大的快樂嗎.