再談一道理想變壓器動態分析的經典錯題*

蔡志義

(漳州市第三中學 福建 漳州 363000)

1 引言

《物理通報》2018年第7期刊登了“經驗讓一個簡單題目成為教師的一道經典錯題——理想變壓器的動態分析”一文，文中作者白紅艷老師針對一道理想變壓器動態分析的題目，指出一些有經驗的教師用類比法來解決題目，雖能解出答案，但因為在類比過程中無形改變題干條件從而出錯，緊接著她用嚴謹的數學推導證明此題答案.雖能讓學生明白此題的來龍去脈，但耗時較多，故筆者也就此題談談自己的看法，用兩種等效的思想方法解決此類問題，以期與白老師商榷及與同行探討.

2 經典錯題與解析

【例1】如圖1所示為理想變壓器，其中r為定值電阻，R為滑動變阻器，P為滑動變阻器的觸頭，u為正弦交流電源，電源輸出電壓的有效值恒定.則( )

圖1 例1題圖

A.P向右移動時，原、副線圈的電流之比可能變大

B.P向右移動時，變壓器的輸出功率變大

C.若原、副線圈增加相同匝數，其他條件不變，則變壓器輸出電壓不變

D.若原、副線圈增加相同匝數，其他條件不變，r消耗的功率可能不變

文獻[1]的作者主要針對例1的選項B進行討論，她指出有經驗的教師用高壓輸電進行類比，當滑片P向右移動時，電阻增大，電流減小，功率減小，所以選項B錯誤.筆者認為有經驗的教師應該會引導學生思考，這個選項在求解功率問題時，應當分為兩種情況：一是定值電阻，二是變化的電阻.定值電阻由原來的分析沒問題，但此題是滑動變阻器，它是變化電阻，不能按此思路分析，因為此時電阻和電流同時變化，由功率公式P=I2R知，此時功率的變化無法確定.講到這里，學生就會明白可以與電源的輸出功率進行類比，它有一個二級結論，當電源的外電阻與內阻相等時，輸出功率最大.所以接下來用兩種等效法(等效電阻法和等效電源法)解決此類問題.

(1)等效電阻法

如圖2所示，設輸入電流為I1，輸出電流為I2，原、副線圈的電壓以及匝數分別為U1，U2和n1，n2.虛線框由一個R等等效替代，則

圖2 等效電阻法圖

E=U1+I1r

(1)

E=I1r+I1R等

(2)

U2=I2R

(3)

(4)

I1n1=I2n2

(5)

由式(1)～(5)得

將r視為電源的內阻，由等效電阻法的結論得：

(1)若R等

(2)若R等≥r，則滑片P向右移動時，變壓器的輸出功率一直減小.

(2)等效電源法

如圖3所示，設輸入電流為I1，輸出電流為I2，原、副線圈的電壓以及匝數分別為U1，U2和n1，n2.虛線框等效為一個新的等效電源，其電動勢為E等,內阻為r等，則

圖3 等效電源法圖

E=U1+I1r

(1)

E等=I2r等+I2R

(2)

U2=I2R

(3)

(4)

I1n1=I2n2

(5)

由式(1)～(5)得

由等效電源法的結論得：

(1)若R

(2)若R≥r等，則滑片P向右移動時，變壓器的輸出功率一直減小.

3 兩種等效法的應用拓展

文獻[1]通過大量繁瑣的數學推導與分析得到變壓器的輸出功率是可能增大也可能減少，實則不然，更準確的結論是變壓器的輸出功率先增大到最大后減小,也可能一直減小.如果遇到更復雜的電路圖，文獻[1]的計算方法將更麻煩，而現在的學生應用數學解決物理問題的能力相對薄弱，就算計算出來，也要耗費相當長時間.對一道選擇題來說，在保證正確答案的同時應盡量減少解題時間.下面，我們通過例2來分析應用這兩種等效法在碰到更復雜的電路圖時也可以高效解決.

【例2】如圖4所示為遠距離輸電示意圖，兩變壓器均為理想變壓器，升壓變壓器T的原、副線圈匝數為n1，n2.降壓變壓器T′的原、副線圈匝數為n3，n4.原線圈兩端接入一電壓e=Emsin(ωt)的交流電源，r為定值電阻，輸電線的總電阻為2R1，R為滑動變阻器，不考慮其他因素的影響，則當滑動變阻器阻值為多少時，它的功率最大，最大值為多少.

圖4 例2題圖

(1)“等效電源法”解析

如圖5所示，把虛線框1看作等效電源E等1，r等1

圖5 等效電源法解析圖

把虛線框2看作等效電源E等2，r等2

當r等2=R時，即

時，等效電源輸出功率最大，滑動變阻器的功率有最大值，為

(2)“等效電阻法”解析

如圖6所示，把虛線框1看作一等效電阻R等1

圖6 等效電阻法解析圖

把虛線框2看作一等效電源E等1，r等1

當R等1=r等1+2R1時，即

時，滑動變阻器的功率有最大值，為

如果例2用常規的計算方法求解，將耗費大量的運算時間，而且學生不一定能換算到最后一步，并需要用均值不等式來解極值.而用等效法能將復雜電路圖進行簡化從而大大減少繁瑣的數學運算，提高解題速度，具有事半功倍的效果.另外，培養學生“等效法”的思想方法也具有重要的作用.還能對運用此思想方法的模型進行系統復習，如等效重力場等.