基于排隊(duì)理論的自動(dòng)化物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)規(guī)劃研究

章俊哲，李金村，徐 健，楊 驍，蔡 靖

（1.北京機(jī)械工業(yè)自動(dòng)化研究所，北京 100120；2.北自所（北京）科技發(fā)展有限公司，北京 100120）

0 引言

國(guó)家的立國(guó)之本在于制造業(yè)，制造業(yè)的蓬勃發(fā)展意味著國(guó)家經(jīng)濟(jì)的突飛猛進(jìn)。在制造業(yè)自動(dòng)化生產(chǎn)的過程中，產(chǎn)生了一些新的問題，比如輸送、倉儲(chǔ)等。美國(guó)的福特汽車公司曾經(jīng)做出過調(diào)查，生產(chǎn)工藝只花費(fèi)了大概5%的時(shí)間，而95%的時(shí)間花在了零件的搬運(yùn)和成品貨物的倉儲(chǔ)，大大浪費(fèi)了成本。從中可以看出，越來越多的企業(yè)選擇自動(dòng)化物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)作為企業(yè)構(gòu)成的重要環(huán)節(jié)[1]。

隨著自動(dòng)化物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)應(yīng)用越來越廣泛，很多學(xué)者開始對(duì)其進(jìn)行研究和優(yōu)化。薛亞莉通過對(duì)遺傳算法和模擬退火算法[2]進(jìn)行改進(jìn)和融合，優(yōu)化了立體倉庫的貨位。劉愷文等人為了合理進(jìn)行貨位的分配，研究了定位存儲(chǔ)和隨機(jī)存儲(chǔ)兩種入庫策略[3]。Banu.Y.Ekren通過穿梭式儲(chǔ)存和檢索系統(tǒng)[4]對(duì)自動(dòng)化立體庫進(jìn)行設(shè)計(jì)，克服了由于電商增加而導(dǎo)致的問題，具有更高的處理訂單效率。褚東亮等人通過計(jì)算機(jī)仿真軟件Flexsim對(duì)某物流企業(yè)的自動(dòng)化立體倉庫進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模仿真，研究人員效率、設(shè)備利用率是否能達(dá)到預(yù)期的效果[5]。以往的學(xué)者對(duì)物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)中的自動(dòng)化立體倉庫進(jìn)行了優(yōu)化，但是對(duì)自動(dòng)化物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)整體布局和規(guī)劃分析的較少。

本文應(yīng)用排隊(duì)理論對(duì)自動(dòng)化物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的抽象研究，推算出評(píng)價(jià)參數(shù)來合理地規(guī)劃物流設(shè)備數(shù)量，保證在投入成本最小的情況下得到最優(yōu)的方案。確定方案以后進(jìn)行仿真，驗(yàn)證該物流方案。

1 自動(dòng)化物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)的排隊(duì)模型

1.1 系統(tǒng)概述

圖1是A廠的自動(dòng)化物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)流程圖，主要設(shè)備包括貨架、堆垛機(jī)、機(jī)器人、輸送線等。

圖1 A廠自動(dòng)化物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)流程圖

機(jī)器人進(jìn)行對(duì)貨物的碼垛和拆垛，每次抓取1件貨物。立體倉庫中每個(gè)巷道均有左右兩排貨架，具有多層多列，每個(gè)貨位可存放一個(gè)托盤；堆垛機(jī)是完成托盤在庫內(nèi)存取，并與輸送線交互實(shí)現(xiàn)托盤的出入庫的設(shè)備；輸送線的作用是將貨物或者托盤在各個(gè)環(huán)節(jié)之間進(jìn)行傳送。

1.2 排隊(duì)理論概述

排隊(duì)理論是解決現(xiàn)實(shí)中的“服務(wù)問題”的一種方法，是一種研究系統(tǒng)由于各種隨機(jī)因素導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)出現(xiàn)堵塞的現(xiàn)象，從而通過調(diào)節(jié)一些因素來減少堵塞現(xiàn)象的理論，一般模型如圖2所示。排隊(duì)理論可以通過設(shè)定參數(shù)，建立模型，來模擬實(shí)際情況。再通過計(jì)算，得到一些指標(biāo)參數(shù)，優(yōu)化與分析整個(gè)系統(tǒng)。

圖2 排隊(duì)模型框圖

1.3 排隊(duì)模型建立

根據(jù)排隊(duì)理論對(duì)A廠的物流系統(tǒng)各環(huán)節(jié)進(jìn)行建模：

1）入庫前，顧客流為單件貨物，碼垛機(jī)器人為服務(wù)機(jī)構(gòu)，單件貨物通過輸送線運(yùn)送至碼垛機(jī)器人進(jìn)行碼垛，6件貨物碼放為一垛，碼垛完畢視為服務(wù)結(jié)束，即顧客離去。

2）入庫時(shí)，顧客流為托盤，服務(wù)機(jī)構(gòu)為堆垛機(jī)，堆垛機(jī)將托盤存入相應(yīng)的貨位后，視為服務(wù)結(jié)束。

3）出庫時(shí)，顧客流為托盤，服務(wù)機(jī)構(gòu)為堆垛機(jī)，托盤被堆垛機(jī)運(yùn)送至出庫端放置完畢后，視為服務(wù)結(jié)束。

4）出庫后，托盤被運(yùn)送至拆垛機(jī)器人，顧客流為托盤，服務(wù)機(jī)構(gòu)為拆垛機(jī)器人，拆垛機(jī)器人進(jìn)行拆垛，拆垛完成以后，視為服務(wù)結(jié)束。

結(jié)合排隊(duì)理論，根據(jù)A廠的設(shè)計(jì)參數(shù)，對(duì)系統(tǒng)做出模型的約束松弛條件：

1）所有的顧客流均服從先到先服務(wù)（FCFS）原則：

2）顧客的到達(dá)數(shù)量無限且相互獨(dú)立，單個(gè)顧客到達(dá)服務(wù)臺(tái)的過程服從泊松分布，顧客到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布；

3）系統(tǒng)中各服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服務(wù)臺(tái)的作業(yè)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布；

4）整個(gè)系統(tǒng)不存在等待損失。

根據(jù)以上的約束松弛條件可知，系統(tǒng)符合多服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)模型。

多服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)模型可以分為兩類：多隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)模型，即s個(gè)M/M/1排隊(duì)模型；單隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)模型，即M/M/s排隊(duì)模型。根據(jù)文獻(xiàn)[6]可知1個(gè)M/M/s系統(tǒng)的工作效率要比s個(gè)M/M/1系統(tǒng)的工作效率高，因此要根據(jù)M/M/s排隊(duì)模型對(duì)物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)進(jìn)行規(guī)劃。如圖3所示，M/M/s模型的顧客都會(huì)排成一隊(duì)，當(dāng)有服務(wù)臺(tái)處于空閑時(shí)，顧客進(jìn)入服務(wù)臺(tái)進(jìn)行服務(wù)。

圖3 單隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)模型框圖

1.4 系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)

圖4是基于多服務(wù)臺(tái)等待制M/M/s排隊(duì)模型的A廠物流系統(tǒng)流程圖。

圖4 A廠多服務(wù)臺(tái)等待制M/M/s排隊(duì)模型

設(shè)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的顧客到達(dá)過程服從參數(shù)為λi的泊松分布，各環(huán)節(jié)的服務(wù)臺(tái)服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為μi的負(fù)指數(shù)分布，其中i=1，2，3，4。M/M/s的排隊(duì)理論模型評(píng)價(jià)指標(biāo)的計(jì)算方法[7]如下：

1）系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度為：

2）系統(tǒng)中所有服務(wù)臺(tái)都空閑的概率為：

3）平均隊(duì)長(zhǎng)為：

4）平均正在服務(wù)窗口：

5）系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)：

6）貨物的平均等待時(shí)間：

7）系統(tǒng)內(nèi)貨物必須排隊(duì)的概率：

8）服務(wù)臺(tái)的運(yùn)行效率：

2 實(shí)例分析

2.1 根據(jù)需求計(jì)算出入庫流量

1）碼垛入庫系統(tǒng)的流量計(jì)算

根據(jù)A廠廠商計(jì)劃，預(yù)計(jì)到2030年產(chǎn)量最高會(huì)達(dá)到1520萬件，每年工作300天，每天工作16個(gè)小時(shí)，一個(gè)托盤存放6件貨物，可以計(jì)算出每小時(shí)的入庫量為3166件/h，即527托盤/h。

2）出庫系統(tǒng)的流量計(jì)算

通過對(duì)零售和電商的出庫數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析，并考慮企業(yè)發(fā)展規(guī)劃，對(duì)未來物流中心零售業(yè)務(wù)的物流需求進(jìn)行預(yù)測(cè)，當(dāng)前規(guī)劃的日出庫目標(biāo)值為50000件，出庫系統(tǒng)每天工作24小時(shí)，即347托盤/h。

2.2 各環(huán)節(jié)排隊(duì)模型輸入?yún)?shù)確定

1）碼垛系統(tǒng)

設(shè)定碼垛機(jī)器人的碼垛能力μ1為大約10s抓取一件貨物，即μ1=60托盤/h；已知系統(tǒng)的入庫流量λ1為527托盤/h，即λ1=527托盤/h。根據(jù)以上參數(shù)，可以得到系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度：ρ1=λ1/μ1=8.78。故碼垛機(jī)器人的數(shù)量需要大于等于9臺(tái)。

2）入庫、出庫系統(tǒng)

碼垛機(jī)器人碼放完畢以后，托盤通過輸送線運(yùn)送至堆垛機(jī)，執(zhí)行入庫流程。根據(jù)出庫訂單，堆垛機(jī)執(zhí)行出庫任務(wù)取貨，將托盤出庫。立體倉庫作為系統(tǒng)的中間環(huán)節(jié)，需要對(duì)堆垛機(jī)的數(shù)量進(jìn)行優(yōu)化。

對(duì)于單臺(tái)堆垛機(jī)，單一平均作業(yè)效率δsin為1.47分鐘/盤，即40盤/小時(shí)，復(fù)合平均作業(yè)效率δcom為2.23分鐘/2盤，即53盤/小時(shí)。根據(jù)出入庫實(shí)際數(shù)據(jù)可知，堆垛機(jī)的單一作業(yè)概率sin為11%，復(fù)合作業(yè)概率com為89%，堆垛機(jī)空閑率π為15%。單臺(tái)堆垛機(jī)系統(tǒng)綜合出入庫作業(yè)能力ω定義為：

單臺(tái)堆垛機(jī)的入庫能力μ2和出庫能力μ3分別定義為：

由于入庫流量λ2為527托盤/h，出庫流量λ3為347托盤/h，所以可以得到：ω=43.8盤/小時(shí)，μ2=26.4托盤/h，μ3=17.3托盤/h。由式(1)得系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度ρ2=19.9，ρ3=20.05，故堆垛機(jī)的數(shù)量應(yīng)該大于等于21臺(tái)。

3）拆垛系統(tǒng)

出庫系統(tǒng)得出庫流量即為拆垛系統(tǒng)的輸入流量λ4為347托盤/h，拆垛機(jī)器人的拆垛能力μ4為9s處理1件貨物，即μ4=66.6托盤/h，所以可得系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度ρ4為5.21。故拆垛機(jī)器人的數(shù)量需要大于等于6臺(tái)。

2.3 各環(huán)節(jié)排隊(duì)模型數(shù)據(jù)分析

如圖5所示，根據(jù)式(7)和式(9)計(jì)算出各環(huán)節(jié)服務(wù)臺(tái)數(shù)量變化時(shí)的貨物平均等待時(shí)間和服務(wù)臺(tái)運(yùn)行效率。值的注意的是，式(4)平均隊(duì)長(zhǎng)和平均等待時(shí)間成正比，系數(shù)為λ，曲線趨勢(shì)完全一致，故不畫出。

如圖5(a)所示，服務(wù)臺(tái)數(shù)量為10臺(tái)時(shí)是曲線的拐點(diǎn)，此時(shí)ρs1＜1，碼垛系統(tǒng)穩(wěn)定；如圖5(b)所示，服務(wù)臺(tái)數(shù)量為22臺(tái)時(shí)是曲線的拐點(diǎn)，此時(shí)ρs2＜1且ρs3＜1，入庫、出庫系統(tǒng)穩(wěn)定；如圖5(c)所示，服務(wù)臺(tái)數(shù)量為7臺(tái)時(shí)是曲線的拐點(diǎn)，此時(shí)ρs4＜1，拆垛系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖5 物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)不同數(shù)量服務(wù)臺(tái)曲線圖

表1 物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)排隊(duì)模型參數(shù)

各環(huán)節(jié)服務(wù)臺(tái)數(shù)量在拐點(diǎn)附近確定。根據(jù)式(1)～式(9)計(jì)算出各環(huán)節(jié)拐點(diǎn)附近部分服務(wù)臺(tái)數(shù)量的評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)，如表1所示

1）碼垛系統(tǒng)

當(dāng)碼垛機(jī)器人數(shù)量為10臺(tái)時(shí)，平均隊(duì)長(zhǎng)Lq為4.38個(gè)托盤（26.28件貨物），貨物的平均等待時(shí)間Wq為29.9s。對(duì)于碼垛系統(tǒng)來說，輸入端堵塞的是貨物，不是托盤，系統(tǒng)擁堵情況有點(diǎn)嚴(yán)重，等待時(shí)間過長(zhǎng)，會(huì)影響效率，所以需要通過增加碼垛機(jī)器人來優(yōu)化排隊(duì)系統(tǒng)，減少排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)和排隊(duì)時(shí)間。碼垛機(jī)器人增加至11臺(tái)時(shí)，平均隊(duì)長(zhǎng)Lq為1.52托盤（9.12個(gè)貨物），貨物的平均等待時(shí)間Wq為10.41s，與10臺(tái)相比，明顯減少了排隊(duì)擁堵和等待時(shí)間，提升了整體運(yùn)行效率。

2）入庫、出庫系統(tǒng)

堆垛機(jī)數(shù)量為22臺(tái)時(shí)，等待時(shí)間過長(zhǎng)影響效率。堆垛機(jī)增加至23臺(tái)時(shí)，入庫、出庫等待時(shí)間分別減少了50.94%和46.15%。堆垛機(jī)增加至24臺(tái)時(shí)，入庫、出庫等待時(shí)間分別減少了73.58%和74.05%。并且綜合考慮到堆垛機(jī)系統(tǒng)的容錯(cuò)率，堆垛機(jī)為24臺(tái)時(shí)，顯著地減少了等待時(shí)間，優(yōu)化了出入庫系統(tǒng)。

3）拆垛系統(tǒng)

考慮到系統(tǒng)的容錯(cuò)性和冗余量，當(dāng)拆垛機(jī)器人數(shù)量為7臺(tái)或8臺(tái)時(shí)，平均隊(duì)長(zhǎng)和等待時(shí)間與6臺(tái)相比有明顯提升，并且7臺(tái)和8臺(tái)效果差距不大。因此A廠可結(jié)合投入預(yù)算，自行選擇7臺(tái)或8臺(tái)拆垛機(jī)器人。

3 仿真分析

3.1 仿真建立

建立物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型，設(shè)仿真時(shí)間為t，在t時(shí)間內(nèi)，顧客到達(dá)總量為m。顧客的到達(dá)過程服從泊松分布，第n個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間間隔為an。服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)臺(tái)為第n個(gè)顧客服務(wù)的服務(wù)時(shí)間為sn。第n個(gè)顧客到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)間間隔為An，系統(tǒng)為第n個(gè)顧客開始服務(wù)的時(shí)間為Bn，第n個(gè)顧客離開系統(tǒng)的時(shí)間為Cn。有公式：

第n個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)刻An為：

系統(tǒng)為第n個(gè)顧客開始服務(wù)的時(shí)間Bn為：

系統(tǒng)中所有顧客的平均等待時(shí)間Wq為：

3.2 仿真數(shù)據(jù)

采用3.1節(jié)中建立的仿真模型對(duì)碼垛系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖8、圖9所示。當(dāng)碼垛機(jī)器人數(shù)量設(shè)置為11臺(tái)，貨物數(shù)量為200件時(shí)，得到平均等待時(shí)間為10.05s，平均隊(duì)長(zhǎng)為1.47件。例如，第101件貨物的到達(dá)時(shí)間為585.8s，服務(wù)時(shí)間為14.6s，等待時(shí)間為10.6s，當(dāng)前排隊(duì)數(shù)量為8件，離開時(shí)間為611.1s。

10臺(tái)和11臺(tái)碼垛機(jī)器人進(jìn)行15次仿真實(shí)驗(yàn)，貨物數(shù)量為5000件的數(shù)據(jù)如表2所示。

圖8 11臺(tái)碼垛機(jī)器人等待時(shí)間仿真圖

圖9 11臺(tái)碼垛機(jī)器人隊(duì)長(zhǎng)仿真圖

表2 碼垛系統(tǒng)仿真數(shù)據(jù)

表2（續(xù)）

樣本數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)計(jì)算出樣本的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和95%置信區(qū)間。10臺(tái)碼垛機(jī)器人時(shí)，平均排隊(duì)時(shí)間的理論值為29.9s，樣本得出的95%置信區(qū)間范圍為（28.54，30.17），理論值在置信區(qū)間內(nèi)，說明排隊(duì)理論運(yùn)用在碼垛系統(tǒng)中合理。11臺(tái)碼垛機(jī)器人同理。

出入庫系統(tǒng)和拆垛系統(tǒng)仿真結(jié)果如表3所示。各系統(tǒng)的理論值均在95%置信區(qū)間內(nèi)，說明排隊(duì)理論運(yùn)用在各系統(tǒng)合理。

表3 出入庫和拆垛系統(tǒng)仿真數(shù)據(jù)

4 結(jié)語

本文提出了一種基于排隊(duì)理論規(guī)劃自動(dòng)化物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)的方法，并針對(duì)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)進(jìn)行分析。通過數(shù)學(xué)建模得出指標(biāo)參數(shù)，求出最優(yōu)方案。通過仿真驗(yàn)證排隊(duì)理論運(yùn)用在該系統(tǒng)的合理性。同時(shí)為A廠節(jié)約了成本投入，提高了物流效率。

自動(dòng)化物流倉儲(chǔ)系統(tǒng)還有許多其他的環(huán)節(jié)，例如環(huán)穿車系統(tǒng)、AGV系統(tǒng)等。鑒于篇幅有限，其他環(huán)節(jié)也可用類似的方法進(jìn)行研究，因此本文不再贅述。