采用分數階臨界阻尼控制律的動力吸振器研究

陳炎冬，陳 寧，徐 俊

（1.無錫太湖學院 機電工程學院，無錫 214064；2.南京林業大學 機械電子工程學院，南京 210037）

0 引言

在振動的結構上附加吸振器是控制結構振動的有效措施之一[1]。動力吸振，在受控對象上附加一個質量-剛度-阻尼子系統，用它產生的控制力來部分或完全抵消受控對象受到的激振力。這時，子系統“吸收”了主系統的振動，故稱子系統為動力吸振器。經典的吸振器技術是通過耦合輔助系統使主系統的振動發生轉移，也就是使主系統的振動能量在主系統和從系統之間重新分配達到控制主系統的振動，缺陷是有效的吸振頻帶是在一個很狹小的帶寬范圍，并且不可調節。為了解決這些問題，出現了一些自適應調諧減振器[2～4]，以及變質量、變剛度甚至是零剛度、負剛度的吸振器[5～8]，正在成為研究熱點。

上世紀三十年代，Gemant，A.[9]觀察到粘彈性材料動剛度的數學模型，如果引入分數導數可以得到更理想更準確的表達。從此分數階在工程中的應用研究越來越多，其中帶分數階阻尼的動力吸振器研究開始出現[10～12]，陳寧[10]等研究了具有分數階阻尼的吸振器，通過數值仿真結果表明，分數階阻尼吸振器的減振作用正介于無阻尼吸振器和粘性阻尼吸振器之間，則可以調和無阻尼和粘性阻尼吸振器的矛盾，選擇最佳的被動式吸振器。但阻尼大小采用試湊或采用優化的方法選取。關于動力吸振器的控制研究和參數優化的方法也在不斷涌現[13～17]，但目前還很少用臨界阻尼來設計控制律，而本文將從臨界阻尼定義[18]出發，將傳統整數階臨界阻尼拓展到分數階臨界阻尼，在研究其特性的基礎上針對經典的主動動力吸振器進行分數階臨界阻尼的控制律設計并對其進行試驗驗證，得出合理選取控制參數的方法和步驟。

1 分數階臨界阻尼理論

首先基于單自由度分數階自由振動系統如式(1)所示，討論分數階臨界阻尼理論。

x(t)表示位移，0Dαx（t）表示位移的分數階導數，m、c、k分別為質量、阻尼和剛度系數。這里0Dαx（t）采用Caputo定義，如式(2)所示。

根據等式兩邊實部虛部分別為0，當特征根虛部rsinθ不為0時，系統會產生振蕩，為了避免振蕩和發散，特征根實部必須是負的即rcosθ＜0，且虛部為rsinθ=0。假設θ=（2k1+1）π，k1為整數，則上式可簡化為：

從式(9)可以看出α只有分母為奇數，分子為與分母互為質數的整數時才存在。如3/5、7/9、8/11、14/11等等。從式(7)可以看出當cosαθ=1時，可以算出特征根實部是正的，表示有外界的能量輸入系統，振蕩會越來越強，系統是發散的，相反，當cosαθ=-1時，可以算出特征根實部是負的，系統是穩定的。

綜合上述推導可得到存在臨界阻尼的條件：當k1，k2為整數，且互為質數，α∈（0，2），cosαθ=-1時有：

其中r∈R+，式(10)當du/dt=0時，可得在極值位置時的r值，r=（α/(2-α））1/2，當系統參數確定后，歸一化后的系統只能通過分數階階次來改變其臨界阻尼，將式(4)的變換條件代入式(10)得原系統的阻尼與特征值幅值之間的關系式：

當α=1時，極值位置時的r=1，代入上式可得臨界阻尼為cc=，與傳統二階系統臨界阻尼一致。

下面探討：1）c與r之間的關系；2）分數階階次對系統響應的影響；3）系統阻尼與系統振蕩之間關系4）當有干擾后，分數階臨界阻尼與整數階阻尼的作用影響。固定仿真參數：初始位移x0=0.01m，初始速度v0=0m/s，m=10kg，k=1000N/m。

根據式(11)可以繪制出c與r之間的關系圖，如圖1所示。

圖1 不同α時系統阻尼隨特征值幅值變化曲線

圖2 不同α時系統位移響應曲線

圖1為不同分數階階次α時系統阻尼隨特征值幅值變化的關系曲線，從圖1中看出當系統存在分數階阻尼項后，臨界阻尼大小可以通過改變分數階階次來設計系統需要的值，但是必須滿足前面理論推導的臨界阻尼存在條件。

圖2為在初始位移x0=0.01，初始速度v0=0，α分別等于8/11，1，14/11時系統位移響應曲線，可以看出當分數階階次小于等于1時系統沒有振蕩，大于1會有一定的振蕩，說明當分數階階次α∈（1，2）時從物理角度解釋該材料特性已經不是α∈（0，1）粘彈性材料特性，而是介于粘性和剛性之間的混合材料，所以在剛性部分作用下會有一定的超調量。

圖3為在初始位移（0.001m）激勵下的系統位移響應，其中圖3(a)和圖3(b)分別表示α=8/11和α=14/11時，不同系統阻尼時系統位移的響應曲線。討論了臨界阻尼的作用，當α=8/11系統阻尼大于等于臨界阻尼時，系統響應指數收斂，且看出c＞cc時收斂速度小于臨界阻尼時的收斂速度，c＜cc時雖然響應快，但是有明顯的振蕩。當α=14/11系統阻尼大于等于臨界阻尼時表現出來的響應和α=8/11時有一定的區別，雖然取了臨界阻尼但是存在小幅度的超調量，也印證了圖2中α=14/11的曲線現象，α=8/11，c＜cc時一樣有明顯的振蕩。

圖4是在階躍力激勵作用下，不同α時系統位移響應，同樣可以看出α∈（0，1]時，取臨界阻尼時系統沒有振蕩，而α∈（1，2）系統有振蕩。

圖3 在初始位移（0.001m）激勵下的系統位移響應

圖4 不同α時系統位移階躍響應

綜合上述可以得出一個結論，對于單自由度振動系統，當采用阻尼項的分數階階次α∈（0，1]，阻尼系數采用臨界阻尼cc，可使振動系統有效的避免振蕩；當α∈（1，2），該項表現出既有阻尼又有剛性的作用，此時系統在理論臨界阻尼時也有振蕩，因此無法避免振蕩，但可以通過設計小于臨界阻尼的阻尼，使系統振動盡量小。

2 動力吸振器的分數階臨界阻尼控制律設計

2.1 動力吸振器建模和解耦

圖5 動力吸振器模型

根據牛頓第二定律可得動力吸振器的動力學模型：

m1、m2為主系統、吸振器的質量，k1、k2分別為主系統、吸振器的剛度，c1、c2分別為主系統、吸振器的阻尼，u為控制輸入，f(t)為主系統上受到的干擾。

根據式(12)改寫為如下矩陣形式：

其中質量矩陣、剛度矩陣、阻矩陣尼、控制矩陣及干擾矩陣如下表示：

假設Φ為該系統的特征向量矩陣，令X=Φη，并代入式(14)得：

如果C為對角陣，則系統可以完全解耦，現實中大部分系統的阻尼是無法完全解耦的，本文的動力吸振器的結構參數下也無法得到對角陣，因此這里根據主對角線占優[19]的方法來設計系統阻尼，即主對角線元素絕對值之和大于次對角線元素絕對值之和，從而忽略阻尼矩陣次對角線上的，則阻尼矩陣轉化為對角陣C=diag（Cp1，Cp2），從而系統實現近似解耦，下節設計分數階臨界阻尼控制律以此近似模型來推導。

當然這里必須討論下忽略次對角線線元素帶來的誤差大小。為了分析近似解耦模型和原模型之間的誤差大小，假設系統沒有外界激勵和控制輸入，則式(15)可以表示如下形式。

根據式(12)和式(16)、式(17)分別繪制在相同初始條件下，近似系統和實際系統響應曲線的對比圖如圖6所示，主系統的位移和速度響應圖如圖6(a)、圖6(b)所示。從圖中可以看出近似系統和實際系統的位移和速度存在誤差，對實際系統和近似系統在5秒里的主系統位移和速度的比較分析如表1所示，從表中可以兩個系統的均值和均方差存在一定的誤差，但是還可以看出兩個系統位移、速度之差絕對值的均方差的數量級比原系統的均方差小兩個數量級左右，說明利用近似模型來進行設計分數階臨界阻尼是有一定精度保證的。

2.2 分數階臨界阻尼控制律設計

根據2.1的推導，可將動力吸振器系統進行近似解耦，看成兩個獨立的單自由度振動系統，因此根據第2部分的單自由度分數階臨界阻尼的理論分析，對其進行分數階臨界阻尼控制律設計。動力吸振器的分數階臨界阻尼項，具體形式如下所示。

圖6 近似系統和實際系統響應曲線的對比圖

表1 主系統位移與速度均值和均方差

其中Cpd為控制輸入分數階導數項系數，代入式(15)有：

根據第2部分，單自由度振動系統的分數階臨界阻尼推導，同理可推得動力吸振器分數階臨界阻尼的關系式如下:

對式(21)求導，導數為0時，得到：

將其代入式(21)，可得到最優臨界阻尼系數cc，因此控制律中阻尼項系數Cpd=cc=diag（Cpdi），i=1，2，而且控制律中還有一個比例系數Kpd，這里考慮主系統為不可調參的固定系統，因此其中的Kpd1取0，只需要調節另一個Kpd2就可以快速尋到最優參數。

最后將X=Φη代入U得分數階臨界阻尼控制律：

由于式(23)中的ΦTR不是方陣，所以這里用(ΦTR)+表示廣義逆矩陣。

3 仿真試驗分析

動力吸振器的結構參數：m1=50kg，m2=10kg，k1=15000N/m，k2=8000 N/m，c1=800，c2=400。首先分析Kpd=0時，即控制律中只有一項分數階臨界阻尼項進行控制，來分析分數階階次α和其系數Cpd對系統振動大小的影響。

圖7和圖8分別為當分數階階次分別為8/11，1，14/11的分數階臨界阻尼控制和當時的被動控制。在階躍幅值為0.1干擾激勵下主系統的位移響應和在采樣周期為0.1s，功率0.001的白噪聲干擾激勵下主系統的位移響應。

圖7 主系統的階躍位移響應

圖8 不同α時主系統的白噪聲位移響應

從圖7中可以看出，沒有補償阻尼項的被動控制最敏感且振動幅度最大，分數階階次取8/11時上升時間最大，5秒后振動幅度最低。從圖8中白噪聲激勵干擾下同樣可以看出，普通的整數階臨界阻尼效果比階次大于1和被動控制時的效果好，但是分數階階次8/11的性能明顯比整數階時更好，說明本文提出的設計方法，只要合理選擇分數階階次和其對應的臨界阻尼，就可以進一步提升減振效果，印證了上一部分的結論。

進一步分析在臨界阻尼附近的特性，選擇分數階階次為8/11，阻尼取0.5cc、cc和1.5cc時，比較其減振效果。圖9為不同阻尼時主系統的白噪聲響應，其中圖9(a)、圖9(b)分別為當分數階階次8/11時的采用不同阻尼時的主系統和吸振器位移比較圖。從圖中可以看出，取小于分數階臨界阻尼振動波動大，而且發現大于分數階臨界阻尼時，減振效果提升的幅度很小，說明取0～1之間滿足分數階臨界阻尼條件的數，就可以有效的提升系統減振性能，而不需要進行復雜的在線優化，而且滿足該條件的數有限，使動力吸振器的控制律參數設計更加簡潔。

圖9 不同阻尼時主系統的白噪聲響應

圖10 當α=8/11時，不同比例系數時的簡諧響應

當然本文提出的控制律還有比例控制項，即當Kpd不等于0時，從式(21)看出，通過調節其大小可以改變臨界阻尼的大小，同時還從式(20)看出，會改變系統的固有頻率大小，從而改變吸振器的減振效果。這里繪制了當激勵為0.1sin(ωt)，ω為主系統的固有頻率，α=8/11；Kpd1=0；Kpd2=0，Kpd2=1000，Kpd2=2000時的對比分析，如圖10所示，可以看出當Kpd1=0；Kpd2=0時系統振動幅度最大，而通過調節吸振器的比例控制系數，避開主系統固有頻率，從而在合理選擇α的基礎上進一步有效的降低了主系統的振動幅度。

4 結語

本文給出了單自由度振動系統分數階臨界阻尼存在條件，并在此基礎上進行了動力吸振器的減振控制研究，得出以下結論。

1）通過對單自由度振動系統在初始干擾下的振動分析，發現分數階階次變化體現出一些特殊物理意義，當阻尼項分數階階次α∈（0，1）時，阻尼材料具有粘彈性特性通過調節α使粘性和彈性特性比重進行調節，α=1時就是傳統的粘彈性材料特性，而當α∈（1，2）時，該項表現出材料既有粘性又有剛性的特性，當然也可以調節α使粘性和剛性特性比重進行調節。

2）采用主對角線占優原則對動力吸振器模型進行解耦和誤差分析，近似模型引起的誤差較小，下一結論驗證了方法的有效性。

3）利用近似模型設計了分數階臨界阻尼控制律，并在實際模型進行試驗是有效的，而且該控制律參數選取方便。（參數選取步驟：取小于1同時滿足分數階臨界阻尼條件時的分數階階次α，然后通過調節控制律中的吸振器對應的比例系數Kpd2，最后根據式(21)、式(22)計算得到分數階臨界阻尼系數cc）。