圓錐曲線中三點共線的坐標度量與常見變形

◇ 山東 李 浩

眾所周知,圓錐曲線的問題一般可通過設線與設點進行求解,而橢圓、雙曲線內的問題又以設線居多,究其原因,是設點運算的不對稱性或代數運算較大導致的.現行的幾個版本高中教材中,很少分析三點共線的設點代數表達,人教版《選修2-1》中,也只提到了橢圓及雙曲線與直線的相交聯立,結合根與系數的關系運算.本文旨在通過以截距定值的弦為例,探究三點共線的坐標度量與常見變形,為讀者提供問題求解的思考角度.

1 操作演示

假設A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓(a＞b＞0)上不同的兩點,且直線AB經過點M(m,0),則

圖1

我們單從設點的角度切入分析,不考慮設線聯立,利用根與系數的關系,對式①一般可進行如下操作.

操作1平方

(這是兩根和積關系的線性表示.)

分析此操作的目的可以實現共線的三點橫坐標之間的互化,以達到“知二求一”的目的,為后續的快速解題提供方便.當然該式的獲得也可從根與系數的關系代數運算推得,有興趣的讀者可以自行嘗試.

操作2移項對偶構造

分析此操作的目的是可以實現雜交項x1y2和x2y1的代數求解,用兩根之和與兩根之差來線性表示,結果不僅呈現了對稱美,更反映了橫坐標與縱坐標之間的內在聯系.

操作3等比定理

分析這里若是結合式②,我們還能得到更奇妙的表示,即y1y2能以x2＋x1或x1x2單獨線性表示,實現共線三點縱坐標與橫坐標之間的線性互化.如：

圖2

類比橢圓操作：假設A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y2＝2px(p＞0)上不同兩點,且直線AB經過點T(t,0),則

操作1平方

操作2移項對偶構造

從上述操作中,我們不難發現,設點運算對于共線三點的坐標間的關系描述尤為細致,彼此之間可以實現對稱轉化,這為我們實際解題提供了新的方法,下面我們來看看上述操作在實際中的應用.

2 實例分析

例若雙曲線左、右兩支上各有一點A,B,點B在直線上的射影是點B′,若直線AB過右焦點,求證：直線AB′必過定點.

圖3

證法1設A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B的任意性及曲線的對稱性可知,AB′所過的定點必在x軸上,記(x0,0),易得又A,F,B三點共線,y1(x2－2)＝y2(x1－2),由對偶性構造可得

代入x0可得,

證法2設A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B的任意性及曲線的對稱性可知,AB′所過的定點必在x軸上,記為(x0,0),易得

又A,F,B三點共線,y1(x2－2)＝y2(x1－2),平方處理化簡,可得

代入x0,可得

點評

證法1側重于對形式x1y2的求解,從而想到對偶式的構建.證法2側重于對未知數x的處理、兩根和積關系的轉化,兩種解法的共同特點都是把原式“非齊次”問題轉化為“齊次”處理,2個例題都為我們設點后的坐標代數處理提供了很好的實踐機會.

3 結語

本文以截距為定值的弦為例,展現了設點下的三點共線坐標度量與常見變形,分別是平方、移項構造對偶式求解、等比定理,然后利用點在圓錐曲線上,用圓錐曲線方程整體代換的思想,其他直線過定點的情況也可通過坐標平移轉化成截距為定值的弦的情況考慮.通過上述案例的分析,我們不難發現,圓錐曲線中的設點代數運算,并沒有想象中那么復雜,合理利用結構形式,觀察發現需要怎樣的變化,應該是設點求解中最重要的.