物理題“圓”來可以這樣解

◇ 江蘇 陳宏奎

《普通高中物理課程標準(2017年版)》明確指出,高中物理課程應在義務教育的基礎上,進一步促進學生物理學科核心素養的養成和發展.通過高中物理課程的學習,學生應具有建構模型的意識和能力;能運用科學思維方法,從定性和定量兩個方面對相關問題進行科學推理、找出規律、形成結論.在日常教學過程中,教師應有意識地強化物理問題的輔助線構建,提升學生科學思維能力.從發展學生物理學科核心素養的角度看,培養這種意識是必要的.

輔助線不僅僅局限于作直線,還包括作圓.“圓”是一個完美的圖形,高中生基本上對圓知識做到了深入理解,一旦解題時涉及或符合建圓條件,構建輔助圓往往能獲得事半功倍的效果.下面結合實例,談談如何突破物理問題中的圓輔助線思維.

1 從矢量方向可變的角度切入,構建輔助圓

例1已知力F的一個分力F1與F成30°角,大小未知,另一分力F2的大小為,方向未知.則F1大小可能有幾種解( ).

A.無解 B.唯一解

C.兩種解 D.不能確定

分析學生都知道用三角形定則(或平行四邊形定則)來解決力的合成與分解問題,但本題容易形成漏解.考慮到分力F2大小確定而方向未知的情況,從矢量方向可變的角度切入,可知把所有可能滿足條件的F2矢量一端連起來應該正好構成一個圓,一旦想到和畫出這條輔助線,即構建輔助圓(如圖1),就能看出符合要求的有兩種解,問題得以完美解決.

圖1

2 從圓周角定理角度切入,構建輔助圓

例2如圖2所示,重力為mg的物體用兩根繩子OA、OB懸掛,開始時繩OA水平,現將兩繩同時順時針緩慢轉過90°,始終保持α角大小不變且物體始終靜止,繩OA的拉力為FT1,繩OB的拉力為FT2,則在此旋轉過程中不可能發生的是( ).

A.FT1先減小后增大

B.FT1先增大后減小

C.FT2逐漸減小

D.FT2最終變為零

圖2

分析分析結點O受力,總有三力合力為零,始終構成一個首尾順次相連的封閉三角形.注意到矢量三角形一條邊固定,即重力大小方向不變,相當于一條弦固定,而兩繩同時順時針緩慢轉動變化過程中,矢量三角形另外兩條邊所夾角度始終保持大小不變,可以由圓周角定理及其推論(一條弦或弧同一側有相等的圓周角)切入,在初狀態的矢量直角三角形的基礎上,以表示繩OB的拉力FT2矢量為直徑構建輔助圓,再畫出后續動態矢量三角形如圖3所示,由圖看出,FT1先增大后減小,FT2逐漸減小,直到為零,故選項A 正確.

圖3

3 從求解微小位移的角度切入,構建輔助圓

例3如圖4所示,用一根輕繩拉住一置于水平地面上的物體,繩的另一端通過定滑輪系在一輛小車上,則當小車勻速水平向左拉繩時,物體將做( ).

A.勻速運動

B.減速運動

C.加速運動

D.不能確定

圖4

分析本題考查連接體速度關系,即繩(輕桿)兩端連接的物體在沿繩(輕桿)方向上的分速度相等.先明確繩兩端兩物體運動方向.物體的實際運動是水平向左,它的速度可以產生兩個效果：一是使定滑輪右側繩子縮短;二是使定滑輪右側繩子與豎直方向的夾角減小.所以將物體速度沿繩方向和垂直繩方向進行正交分解,設小車勻速向左拉繩速度為v,得物體速度而α逐漸增大,則物體速度v1逐漸增大,選項C正確.

連接體速度關系是高中物理知識難點,不少學生掌握不好,不清楚知識本質,導致解題錯誤.其實,根據速度等于位移除以時間,借助微元思想,依然可以有效求解.在極短時間t內,要找沿繩方向繩子縮短的速度(小車勻速向左拉繩速度)和物體向左運動速度之間的關系,只需要找到位移關系即可.從求解微小位移的角度入手,以定滑輪結點O為圓心,以縮短后繩長OB為半徑構建圓輔助線如圖5,則小車速度而物體速度v1＝根據數學知識,在極短時間Δt內,∠COB極小的情況下,△ACB可視為直角三角形,易得sABcosα＝sAC,則得出一致結果.

圖5

4 從等時圓模型的角度切入,構建輔助圓

例4如圖6所示,AB弧是半徑為R的1/4圓弧,在AB弧上放置一上表面光滑的木板DB.一質量為m的木塊在DB板的上端由靜止下滑,然后沖上水平面BC,在BC上滑行L距離后停下(設在B點無能量損失).已知木塊m與BC間動摩擦因數為μ,求木塊m在DB板上運動過程中重力的平均功率.

圖6

分析本題難點不在于求木塊在木板上運動時重力做的功,而在于木塊在光滑木板上運動時間的求解.看似題給條件不充分,實則暗藏等時圓模型(附：物體沿位于同一豎直圓上所有光滑弦由靜止下滑,到達圓周最低點所用時間相等,這樣的豎直圓即簡稱為“等時圓”).該題立意新穎,出題角度獨特,對考生的模型構建、知識遷移、分析綜合能力要求較高.

補全半徑為R的1/4圓弧形成一個“等時圓”,由“等時圓”結論可知：木塊在光滑木板上運動時間等于從圓最高點向下做自由落體運動2R距離到B點所用時間,即,由此問題得以突破.

圖7

5 從衛星變軌問題的角度切入,構建輔助圓

例5航天飛機在完成對哈勃空間望遠鏡的維修任務后,在A點從圓形軌道Ⅰ進入橢圓軌道Ⅱ,B為軌道Ⅱ上的一點,如圖8.航天飛機在軌道Ⅱ上經過B的速度與在軌道Ⅰ上經過A的速度相比哪個大?

分析航天飛機運動在軌道Ⅱ上經過B的速度是橢圓軌道近點的速度,大于在軌道Ⅱ上經過A點的速度(遠點速度).由變軌知識知軌道Ⅰ上經過A的速度也大于在軌道Ⅱ上經過A點的速度.題給問題貌似無法比較,思路陷入僵局.

圖8

橢圓軌道與圓軌道比較線速度大小肯定要從衛星變軌問題的角度切入,所以過B點構建一與橢圓軌道相切的圓軌道Ⅲ,由變軌知識,即加速離心轉高軌推知航天飛機在軌道Ⅱ上經過B的速度大于航天飛機在圓軌道Ⅲ上經過B的速度,由圓周運動知識可知在圓軌道Ⅲ上經過B的速度大于在圓軌道Ⅰ上經過A的速度,則航天飛機在軌道Ⅱ上經過B的速度大于在軌道Ⅰ上經過A的速度.

圖9

6 從點電荷等勢面的角度切入,構建輔助圓

例6某點電荷的電場線分布如圖10所示,同一電場線上有A、B、C三點,且滿足距離AB＝BC,試比較UAB與UBC的大小關系.

圖10

分析由題意判斷出點電荷帶正電,由點電荷等勢面的特征可知等勢面為同心球面,且離點電荷越遠等勢面越稀疏,從點電荷等勢面的角度切入,先畫出過A點與C點的等勢面輔助圓如圖11所示,再畫A、C兩點中間電勢的等勢面,這有助于加深理解相應知識,解決問題自然也會更迅速.

總之,高考物理改革的總趨勢為從知識立意轉為能力立意,高中生要將物理知識的學習內化為具備物理學科特性的必備品質和關鍵能力,養成從題目中提煉核心關鍵信息并多思考的習慣,訓練自己借助輔助線綜合分析和解決實際問題的能力.

圖11