考慮重力的帶電微粒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

◇ 廣東 李 晨

不計(jì)重力的帶電粒子垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng),粒子將在入射平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),這是高中物理電磁學(xué)部分的典型問(wèn)題,但一個(gè)重力不能忽略的帶電微粒在磁場(chǎng)中將做怎樣的運(yùn)動(dòng)呢?

1 帶電微粒以水平方向的初速度射入一個(gè)豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)

帶電微粒在豎直方向的運(yùn)動(dòng)與磁場(chǎng)平行,不受磁場(chǎng)的影響.于是,在洛倫茲力和重力的共同作用下,微粒實(shí)際的運(yùn)動(dòng)為水平方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)的疊加,其軌跡應(yīng)是處在某個(gè)圓柱體側(cè)面上的一條等直徑、變螺距的螺旋線,如圖1-甲所示.由于豎直方向的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),如果將圓柱體的側(cè)面展開(kāi),運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)能拼接成一條完整的拋物線,如圖1-乙所示.

圖1

2 勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向水平,帶電微粒沿垂直于磁場(chǎng)的方向水平入射

例如,一個(gè)質(zhì)量為m、重力不能忽略且?guī)щ姾闪繛椋玵的帶電微粒,以水平初速度v0向左射入垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.為了看清其運(yùn)動(dòng)軌跡,不妨設(shè)帶電微粒具有一對(duì)等大且反向的分運(yùn)動(dòng)速度,在圖2中用v和v′表示.由于它們是同時(shí)存在,因而不會(huì)對(duì)微粒的實(shí)際運(yùn)動(dòng)有任何影響.假如則與向右的速度v′對(duì)應(yīng)的洛倫茲力Fv′＝qv′B＝mg,且方向向上,可將重力抵消.微粒由于具有向左的初速度v＋v0,而受到的洛倫茲力為Fv＋v0＝q(v＋v0)B.于是可把微粒運(yùn)動(dòng)看成下列兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成：1)水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng),速度為v0),周期的逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng).所以微粒的合運(yùn)動(dòng)仍是在同一豎直面內(nèi)的周期性曲線運(yùn)動(dòng).但其軌跡曲線不再封閉,而是一條向右伸展的螺旋形曲線,如圖3-甲所示.

其實(shí)在這種情況下,不論初速度v0方向如何,帶電微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡都是一類名叫“旋輪線”的數(shù)學(xué)曲線.它們和一個(gè)正在水平地面上勻速滾動(dòng)的車輪邊緣上的某些點(diǎn)相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡相似.例如,圖3-乙所示的等幅旋輪線(擺線)是帶電微粒在v0＝0時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡,它和車輪的邊緣某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相似.而圖3-丙所示的短幅旋輪線是帶電微粒初速度v0向右(且)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡,它和車輪輪轂上某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相似.

圖3

3 磁場(chǎng)方向水平,帶電微粒以水平初速度平行磁場(chǎng)入射

如圖4所示,三維坐標(biāo)系的z軸負(fù)方向表示勻強(qiáng)磁場(chǎng)B的方向,帶正電的微粒從y軸上的P點(diǎn)沿z軸負(fù)方向以速度v0入射.因?yàn)槌跛俣葀0沿B方向,故微粒在此方向上的運(yùn)動(dòng)不受磁場(chǎng)影響.由于垂直于B方向無(wú)初速度,微粒應(yīng)和圖3-乙中描述的運(yùn)動(dòng)相似,故此時(shí)微粒的運(yùn)動(dòng)可看成三個(gè)分運(yùn)動(dòng)的疊加：1)在xOy平面內(nèi)做半徑周期的逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng);2)沿x軸正方向以速度做勻速直線運(yùn)動(dòng);3)沿z軸負(fù)方向以速度v0做勻速直線運(yùn)動(dòng).微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條比較復(fù)雜的三維曲線,但不難發(fā)現(xiàn)其在xOy平面的投影就是圖3-乙所示的曲線.

綜上所述,筆者討論了考慮重力的帶電微粒在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的三類不同情況.結(jié)果說(shuō)明,即使微粒不再做勻速圓周運(yùn)動(dòng),我們?nèi)钥梢岳眠\(yùn)動(dòng)的疊加原理去定量計(jì)算其在某時(shí)刻的速度或位置情況,甚至還可將其推廣到質(zhì)點(diǎn)在任意其他恒力(如電場(chǎng)力)與洛倫茲力共同作用下的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的計(jì)算.

圖4