借圖象之形,明物理之理

◇ 廣東 吳正文

馬克思說：“一種科學只有成功運用數學時,才算達到了真正完善的地步.”物理學毫無疑問是數學化程度最高的自然科學,對中學生的數理思維能力有著很高的要求.高中物理教學中,為了降低數理思維難度,教師廣泛應用函數圖象,使抽象的問題具體化,直觀形象地揭示物理量間復雜變化的數量關系,體現物理情境的動態變化過程,提高課堂教學效果,激發學生學習物理的興趣.

1 借一次函數圖象學習新知識

高二學生理解愛因斯坦光電效應方程Ek＝hν－W0時,普遍覺得困難.為了突破這一難點,教師可以嘗試借用一次函數圖象,引導學生逐步作出函數圖象,然后給出圖1所示的板書.

圖1

圖象囊括了學生剛接觸到的幾個全新物理概念,用熟知的數學語言截距和斜率來關聯晦澀難懂的概念,揭示了它們之間的數量關系和一般規律.這種圖象、數量關系、物理意義三者融洽結合的呈現方式,拉近了學生與未知現象的距離,深入淺出地開展新知識的教學,符合認知規律,同時也使學生認識到深奧的量子現象居然可以用如此簡單的數學形式來描述,學習興趣倍增.高中物理中一次函數圖象出現頻率很高,例如胡克定律F-x圖象,勻變速直線運動的v-t圖象,理想氣體的p-T、v-T圖象等.

2 借二次函數圖象把握臨界

問題1A、B兩質點同時朝同一方向做勻加速直線運動,B在A前,相距s0＝60m,兩質點初速度vA0＝10m·s－1,vB0＝0;加速度aA＝1m·s－2,aB＝2m·s－2.問A能否追上B? 若不能,A、B間最小距離是多少?

分析借助數學方法,將物理問題翻譯成數學問題.建立一維坐標,寫出描述兩質點位置的方程sA、sB,得出兩質點間距離Δs＝sB－sA,若能追上,即兩質點處于坐標軸上同一位置,則Δs＝0.以A初始位置為坐標原點,A的速度方向為正方向,有sA＝vAt＋vAt＋s0,整理得.

作出t＞0 的二次函數圖象,分析得到Δs≥10m≠0,故追不上,且t＝10s時,A、B間距離最小,為10m.

在得到最后等式后

高中物理中二次函數也經常出現,用來描述勻變速曲線運動(平拋、類平拋、斜拋、類斜拋)的軌跡,也可以用來繪制勻變速直線運動的s-t圖象.

圖2

3 借復雜圖象之“形”明確多過程

高一學生在學習機車啟動問題時,普遍覺得有難度,特別是先以恒定加速度啟動的情形.教師可結合牛頓第二定律和瞬時功率公式,引導學生繪制v-t圖象,如圖3所示.借助圖象的形狀變化,明確斜率的變化后,機車啟動的三個過程清晰連貫起來,即機車先做勻加速運動,后做加速度減小的變加速運動,最后做勻速運動,其中“功率—速度—牽引力—合外力—加速度”多變量間相互關聯制約的關系也逐漸清晰起來.

圖3

4 借一次函數簡化反比例函數

問題2一只兔子從洞口爬出后沿一直線運動,其速度大小與其離開洞口的距離成反比,當其到達距洞口為d1的A點時速度為v1,若B點離洞口的距離為d2(d2＞d1),求兔子由A運動到B所需的時間.

分析引導學生做如下思考：兔子運動的速度v與離洞口距離d成反比,故v2＝v1d1/d2,作出v-d圖象如圖4所示,此運動是非勻變速直線運動,有關勻變速直線運動的公式不適用.想到驗證牛頓第二定律時也曾遇到相同情況,即m、a成反比,作出a-1/m圖象,將反比例函數變成一次函數.

圖4

圖5

設1/k＝d1v1＝d2v2,k為常量,單位為s·m－2.則有1/v1＝kd1,1/v2＝kd2,作出1/v-d圖象,為一次函數,k為斜率,如圖5所示.

結合勻變速直線運動的速度圖象和極限思想,圖線、d1、d2以及橫軸所夾梯形(如圖5中陰影)面積的單位是的單位,即秒,此陰影面積的物理意義是兔子從d1運動到d2所用時間.

學生在學習運動學時,面對這道看似用已學知識無法計算的問題,需要攻克兩道難關,一要想到繪制1/v-d圖象,化曲為直;二要在變速問題中理解速度、時間、位移三者間的關系,在此基礎上理解梯形面積的物理意義.借助一次函數之“形”巧妙地規避復雜計算,將不可算變為可以算,創造性地解決問題.

一次函數簡單易算,用以簡化反比例函數,更多地出現在實驗數據處理中,比如探究質量與加速度關系實驗,找尋理想氣體的壓強、體積的關系實驗等.

綜上,函數圖象反映兩變量相互影響的趨勢;斜率的變化反映一個量隨另一個量的變化是否均勻;交點、拐點、最高點、最低點對應物理情境中的特殊情況.在教學中教師應注意將“圖象形狀—數學關聯—物理情境或過程—物理原理”四者融合在一起,引導學生多角度學習物理知識.