求解小球在彈簧最低點加速度二法

◇ 甘肅 張永峰

求小球在彈簧最低點的加速度歷來是高中物理的難點,用能量法和圖象法妙解小球在彈簧最低點的加速度,強調(diào)科學(xué)思維的作用,體現(xiàn)了新課標(biāo)要求的學(xué)科核心素養(yǎng).本文從經(jīng)典的模型開始,用能量法和圖象法討論小球在彈簧最低點的加速度.

圖1

模型再現(xiàn)如圖1 所示,輕彈簧下端固定在水平面上.一個小球從彈簧正上方某一高處由靜止開始自由下落,接觸彈簧后把彈簧壓縮到一定程度后停止下落.在小球下落的這一過程中,下列說法正確的是( ).

A.小球剛接觸彈簧瞬間速度最大

B.小球自接觸彈簧起加速度方向變?yōu)樨Q直向上

C.從小球接觸彈簧到到達最低點,小球的速度先增大后減小

D.小球在最低點時的加速度大于重力加速度g

分析小球剛接觸彈簧時彈力F＜mg,加速度方向向下,與速度方向一致,隨著壓縮程度的不斷增大,小球做加速度逐漸減小的加速運動;當(dāng)F＞mg時,加速度方向向上,與速度方向相反,隨著壓縮量的不斷增大,小球做加速度逐漸增大的減速運動,直到速度為0;當(dāng)彈力F＝mg,小球加速度為0,速度最大,選項A、B錯誤、C正確.

小球在最低點時的彈力一定大于重力,但小球在最低點的加速度與g的關(guān)系和彈簧的彈力是否大于2mg有關(guān),下面用兩種方法加以分析.

能量法設(shè)小球從靜止開始下落的位置距彈簧原長頂點的高度為h,小球到最低點時彈簧的壓縮量為x.根據(jù)能量守恒,小球下落的全過程,重力勢能全部轉(zhuǎn)化為彈性勢能,設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k,則有在最低點kx－mg＝ma,故有因h＞0,故一定有a＞g.

特例討論,當(dāng)h＝0時,即小球從彈簧原長處開始下落,代入.

圖象法根據(jù)勻變速直線運動中,加速度隨位移的變化圖象與橫軸所圍面積表示速度平方之差的一半.

畫出小球下落的加速度隨彈簧壓縮量(位移)的變化圖象如圖2所示,小球下落高度h時接觸彈簧,速度為v0,小球壓縮彈簧x1時,彈力F＝mg,小球加速度為0,速度最大為vmax;小球壓縮彈簧最大xmax時,小球速度

為0,加速度為a.根據(jù)a-x圖象和橫軸所圍面積表示速度平方之差的一半,因小球從接觸彈簧到最大速度平方之差小于最大速度到彈簧壓縮最大的速度平方之差的絕對值,故x＞2x1,又因為kx1＝mg,故根據(jù)kx－mg＝ma,可得a＞g.當(dāng)h＝0時,小球接觸彈簧初速度為0,壓縮彈簧到最低點速度也為0,故此時x＝2x1,根據(jù)kx－mg＝ma,可得a＝g.

討論小球在彈簧最低點時的加速度問題,關(guān)鍵是處理小球到最低點的位移問題.彈簧彈力是變力,用能量法和圖象法討論小球到最低點的位移,都巧妙解決了變力、變加速度求位移的問題,這是兩種方法的巧妙之處.

模型應(yīng)用如圖3-甲所示,勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直放置,下端固定在水平地面上,一質(zhì)量為m的小球,從離彈簧上端高h處自由下落,接觸彈簧后繼續(xù)向下運動.若以小球開始下落的位置為原點,沿豎直向下建立一坐標(biāo)軸Ox,小球的速度v隨時間t變化的圖象如圖3-乙所示.其中OA段為直線,AB段是與OA段相切于A點的曲線,BC段是平滑的曲線,則關(guān)于A、B、C三點對應(yīng)的x坐標(biāo)及加速度大小,說法正確的是( ).

圖2

圖3

解析

在A點,xA＝h,彈簧彈力F＝0,故小球只受重力,a＝g,選項A 錯誤,選項B 正確;在B點,小球速度最大,彈力F＝kΔx＝mg,則xB＝h＋選項 C 正確;在C點,彈力大于重力,加速度不為0,選項D 錯誤.

本文用能量法和圖象法巧妙地解決小球在彈簧最低點的加速度問題,得到彈簧的彈力,彰顯了科學(xué)思維的作用,很好地體現(xiàn)了新課標(biāo)要求的學(xué)科素養(yǎng).