數(shù)學(xué)知識點(diǎn)“源”與“流”的實踐探究

吳志凱

新冠肺炎疫情防控期間，為了保障全市30多萬小學(xué)生的優(yōu)質(zhì)線上教育，中山市教育局相繼推出在線教學(xué)方案，組織全市100多位市級骨干教師上演一場不同尋常的“戰(zhàn)役”。其中小學(xué)數(shù)學(xué)的在線教育以線下、線上組成的形式進(jìn)行。線下教學(xué)指教師設(shè)計好前置性探究學(xué)習(xí)單讓學(xué)生課前探究新知;線上教學(xué)指教師根據(jù)前置性探究學(xué)習(xí)單的設(shè)計問題和學(xué)生自主探究的情況開展視頻教學(xué)。筆者有幸參加了這次在線教學(xué)的設(shè)計，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的前置性探究學(xué)習(xí)單的設(shè)計關(guān)鍵，是讓學(xué)生潛移默化地感受到每個知識點(diǎn)“源”與“流”，感受知識點(diǎn)“源”與“流”帶來的研究樂趣和智慧生長。

本文所提的“源”是指知識點(diǎn)的來源，知識的起點(diǎn);“流”是指知識點(diǎn)的延伸和發(fā)展，或?qū)W生的后續(xù)學(xué)習(xí)。中山市教研員劉燕主編的《中山市小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要義》一書中曾詳細(xì)地梳理了各單元的前期學(xué)習(xí)和后續(xù)學(xué)習(xí)，與本文中提到的“源”與“流”有著相同的意思。那么，如何讓學(xué)生感受知識的“源”與“流”，讓學(xué)生在探究中智慧生長？本文以“數(shù)與代數(shù)”中《在直線上表示負(fù)數(shù)》和“圖形與幾何”中《圓柱的認(rèn)識》兩節(jié)課的設(shè)計為例，闡述如何讓學(xué)生了解知識點(diǎn)“源”與“流”及其重要性。

一、找準(zhǔn)知識的“源”與“流”，有利于知識的承前啟后

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，注重啟發(fā)式，在教學(xué)中，要注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”。以六年級下冊《在直線上表示負(fù)數(shù)》為例，課本中以“四個小朋友所走的方向不同，距離不同”為情境，引出如何在一條直線上表示他們的距離和方向。顯然，教材的設(shè)計是通過直觀的情境抽象出直線，引發(fā)學(xué)生的思考，實現(xiàn)了直觀到抽象的過程，這只是教材的表象。設(shè)計中，教師往往忽視了學(xué)生已有的經(jīng)驗、知識的關(guān)鍵點(diǎn)，缺乏喚醒學(xué)生對新知與舊知的聯(lián)系，知識的零散導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)知的困難。我們應(yīng)該努力挖掘教學(xué)內(nèi)容的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，找準(zhǔn)知識點(diǎn)的“源”與“流”，給學(xué)生的理解掃除障礙。我們對知識點(diǎn)的“源”與“流”找得越準(zhǔn)，找得細(xì)，學(xué)生對知識的理解就會越清晰越容易。如這節(jié)課，通過查閱資料，我們可以發(fā)現(xiàn)，早在二年級學(xué)習(xí)《萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》時，學(xué)生已經(jīng)初步接觸在直線上表示整數(shù)，到了三年級學(xué)習(xí)了《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》《小數(shù)的初步認(rèn)識》，學(xué)生又進(jìn)一步學(xué)習(xí)了用直線表示分?jǐn)?shù)和小數(shù)，四五年級時，學(xué)生學(xué)習(xí)了《大數(shù)的認(rèn)識》《小數(shù)的意義和性質(zhì)》《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》之后，經(jīng)常運(yùn)用直線表示數(shù)。可見，學(xué)生對用直線表示數(shù)并不陌生，并且有很豐富的經(jīng)驗，而本節(jié)課就是建立在學(xué)生已經(jīng)很熟悉用直線表示整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步表示負(fù)數(shù)。因此，這節(jié)課的關(guān)鍵點(diǎn)就應(yīng)該以在直線上表示整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)為鋪墊，引出負(fù)數(shù)的表示方法，然后，再借助有負(fù)數(shù)的數(shù)軸，進(jìn)一步認(rèn)識相反意義的量、一一對應(yīng)的關(guān)系等，達(dá)到承前啟后的效果。下面是設(shè)計的片段圖：

通過收集學(xué)生前置性探究學(xué)習(xí)單發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對在直線上表示整數(shù)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗豐富，都能夠正確地表示出來。這時，教師再順勢出示情境，從情境中抽象出下面的問題：

師：看來同學(xué)們對以前的知識掌握得很棒！那么-1，-2又應(yīng)該在上面的直線哪個位置表示呢？

學(xué)生有了之前舊知的回顧，喚醒了在直線上表示數(shù)的經(jīng)驗，通過調(diào)查分析，學(xué)生通過獨(dú)立思考，都能想到延長“0”左邊的線，表示出-1，-2。

這說明，找準(zhǔn)相關(guān)聯(lián)知識點(diǎn)，除了能夠幫助學(xué)生建立表象，克服解決問題的困難，還能使學(xué)生知識的認(rèn)知有序地鏈接，起到承前啟后的作用。

二、看準(zhǔn)知識的“源”與“流”，引導(dǎo)學(xué)生類化研究方法

教育應(yīng)注重教學(xué)方法和策略，正如數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。”秉承這一教育理念，教師在教學(xué)中應(yīng)看準(zhǔn)知識的“源”與“流”，引導(dǎo)學(xué)生掌握研究方法。特別是線上教學(xué)，前置性探究學(xué)習(xí)單的設(shè)計更應(yīng)該讓學(xué)生明確一類問題的研究方法，使學(xué)生在自主探究中少走彎路。如《圓柱的認(rèn)識》這節(jié)課是屬于“圖形與幾何”的范疇，在此課之前，學(xué)生已經(jīng)對平面圖形（長方形、正方形、三角形、梯形等）和立體圖形（長方體、正方體）有過系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，教材也明顯指出：我們學(xué)過的正方體和長方體都是由平面圍成的立體圖形，現(xiàn)在再來研究一種立體圖形——圓柱。可見，圓柱的認(rèn)識和學(xué)過的平面圖形、立體圖形是一系列的，它們的研究方法應(yīng)該有著大同小異之處，都是通過觀察圖形的構(gòu)成，了解圖形各邊的數(shù)量關(guān)系，探究點(diǎn)、邊、面的內(nèi)在聯(lián)系等，找到它們的圖形的共性。但是，學(xué)生由于認(rèn)知的經(jīng)驗偏少，對運(yùn)用知識遷移的方法相對薄弱，不容易準(zhǔn)確找到研究問題的方法。因此，這需要教師梳理圖形研究方法的共性，對研究的內(nèi)容進(jìn)行歸類與引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生研究的潛能。對于這節(jié)課的前置性探究學(xué)習(xí)單，我們可以如圖3那樣設(shè)計。

通過喚醒學(xué)生的回憶，了解之前圖形特征的研究方法，啟發(fā)學(xué)生思考：圓柱的認(rèn)識也是屬于圖形的認(rèn)識，可以運(yùn)用以前的方法研究圓柱的特征（如圖4）。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想。在研究數(shù)學(xué)問題中，往往需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。這樣的設(shè)計，不但結(jié)合了數(shù)學(xué)這門學(xué)科的特點(diǎn)，也符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的形成過程，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識和處理同類事物或數(shù)學(xué)問題的能力，符合新時代培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所追求的目標(biāo)。

三、把準(zhǔn)知識的“源”與“流”，幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生切實掌握知識的表現(xiàn)，就是讓學(xué)生把知識形成結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識，懂得對知識進(jìn)行遷移和運(yùn)用。因此，在教學(xué)設(shè)計中，要注意知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯關(guān)系，教師還要幫助學(xué)生將零散的知識點(diǎn)整理、排序，使知識系統(tǒng)化、條理化、網(wǎng)絡(luò)化，使學(xué)生構(gòu)建比較完整的知識體系，從而實現(xiàn)對知識的理解從點(diǎn)到面、從面到鏈?zhǔn)降霓D(zhuǎn)變。如在六年級下冊《圓柱的認(rèn)識》中，對圓柱“高”的概念的教學(xué)，大部分教師都是讓學(xué)生自行畫高，然后直接出示課本中“高”的概念。表面上看，學(xué)生似乎已經(jīng)掌握了“高”的概念，但如果進(jìn)一步提問學(xué)生：為什么你認(rèn)為所畫的線段就是圓柱的“高”時，很多學(xué)生答不出其所然。顯然，學(xué)生并沒有真正理解圓柱的“高”。如何讓學(xué)生真正理解“高”的概念，為什么自己所畫的線段就是“高”？由于概念的抽象，教師需要引導(dǎo)學(xué)生把知識放在一個知識體系里面研究，找出“高”的概念、形成過程以及和原來所學(xué)的哪些知識有聯(lián)系，自然就可以解決這個問題了。比如圖5中，為什么說兩個底面中心點(diǎn)之間的連線就是圓柱的“高”？我們不妨在這兩個底面的中心點(diǎn)，過點(diǎn)做兩條平行線。這時可以發(fā)現(xiàn)，原來現(xiàn)在所學(xué)的“高”，就是原來兩條平行線之間的距離。我們還可以發(fā)現(xiàn)，兩條平行線之間的距離處處相等，從而又可以證明圓柱有無數(shù)條高且相等。因此設(shè)計時，我們不妨把知識放在一個體系里面，抓住知識之間的前后聯(lián)系，把知識盡可能連接起來，學(xué)生學(xué)起來就變得輕松，問題就會迎刃而解。

除此之外，每一節(jié)前置性探究學(xué)習(xí)單的設(shè)計，都應(yīng)該在課前的設(shè)計和課后的歸納引導(dǎo)學(xué)生梳理知識點(diǎn)，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中。以六年級下冊《在直線上表示負(fù)數(shù)》為例，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)完新知后，要讓學(xué)生了解這個知識點(diǎn)的知識結(jié)構(gòu)和研究的框架（圖6），逐步養(yǎng)成構(gòu)建知識體系的良好習(xí)慣。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，有利于幫助學(xué)生厘清知識之間的區(qū)別和聯(lián)系。

總之，要設(shè)計好前置性探究學(xué)習(xí)單，教師應(yīng)當(dāng)找準(zhǔn)、看準(zhǔn)、把準(zhǔn)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的“源”與“流”，通過示范和歸納，使學(xué)生了解知識的前后聯(lián)系，養(yǎng)成建立知識體系的習(xí)慣，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，從而提高學(xué)習(xí)的針對性和有效性。

責(zé)任編輯 羅 峰