糾纏態判據與高階張量可分性的充分必要條件

征夏明　張強

摘? ?要：本文旨在進一步探究多體純量子態的代數結構和性質，以多元函數可分離變量的充分必要條件為出發點，首先證明了二階張量和純態量子態可寫成多個低階張量乘積的充要條件。再利用與矩陣的代數余子式的性質，進而得到一般的關于純多體量子態是否是糾纏態判別方法，最后證明了該定理的多個等價形式，在實際計算中可視具體情況使用。

關鍵詞：分離變量? 代數余子式? 張量的秩

中圖分類號：O413? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2020）06（b）-0143-04

量子態的糾纏判據一直是量子信息領域中的重要問題，通常采用計算糾纏熵的方式判斷，如馮諾依曼熵、瑞利熵等。然而其本質在于多體量子態中的代數結構，無論是分離譜亦或是連續譜量子態，都可以通過分析其代數結構從而得出糾纏性質。

1? 二階張量的可分性

眾所周知，一二體量子態可由二階張量aij完整表示。即在標準正交基|ij>下，任意的量子態ψ=aij|ij>（省略求和符號）。如果是連續譜，則為ψ=∫f（x，y）|xy>dxdy。我們知道一個量子態是直積態當且僅當aij=αiβj，連續譜就是f（x，y）=g（x）h（y），即張量可分離指標或函數可分離變量。文獻[1]給出了函數可分離變量的條件。

命題1：若有可微函數1（x），2（y）使f（x，y）=1（x）2（y）對任意（x，y）∈DR2成立。則

對任意（x，y）∈DR2成立。

命題2：若在R2內連續，f（x，y）在D中沒有零點且對任意（x，y）∈DR2成立。則存在連續可微的函數使f（x，y）=1（x）2（y）對任意（x，y）∈DR2成立。

能夠看出在放寬條件的前提下，可以被視為量子態是直積態的充要條件。那么這個定理是否有相應的分立譜版本？答案是肯定的。

定理1：以下命題等價。

i. 非零張量aij可分離變量;

ii. R（a）=1（張量a的秩等于1）;

iii. 張量方程ai+1，jak，l+1-ai+1，jakl-aijak，l+1+aijakl=ai+1，l+1akj-ai，l+1akj-ai+1，lakj+ailakj? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?證明：iii，顯然（文獻[2]）;

有αi+1βjαkβl+1-αi+1βjαkβl-αi βjαkβl+1+αiβjαkβl=αi+1βl+1αkβj-αiβl+1αkβj-αi+1β1αk βj+αiβlαkβj，觀察后發現等式顯然成立，iiiii，有必要先說明一下這個方程的來源，我們把命題1和命題2中方程的偏導數看做指標之間的作差，以ai+1，j-aij類比， 再以張量積類比函數的乘積，則得到本定理中的方程。

我們將張量aij寫成矩陣形式：

這是一個D×D的矩陣（D是我們研究的量子態所在希爾伯特空間的維數），我們只需寫出方程中出現的那些所在行列的項。

將式（1.2）改寫得：

能夠看出這是行列式之間的關系，只需證明矩陣a的所有二階子式都等于0，在a不是零矩陣的前提下便可證明它的秩為1。

我們分情況討論這個問題：

①，這表示了大矩陣a中所有相鄰行的二階子式的關系，同時這也是關于指標l的遞推公式。

② j=l時，有。這表示所有相鄰列的二階子式的關系，也是關于指標i的遞推公式。

③ i=k且j=l時，易得，這表示任意一個最小的二階子式（行相鄰、列相鄰）都等于0。

將代入遞推公式①，得所有相鄰行的二階子式都為0。最后只需將所有一個相鄰行的二階子式代入遞推公式②，便證明了任意一個二階子式都等于0， 又因為矩陣a≠0，所以R（a）=1[2]。

2? 高階張量的可分性

對于一般的張量如何處理？方法與二體情況是相似的。但是多體問題的復雜性在于有幾個指標是可分的，有幾個不可分。下面將從三階張量的可分性出發，再進一步推廣。

引理：以下命題等價

i. 非零三階張量A可表示為Aijk=αiajk，其中α是矢量， a是二階張量;

ii. 非零三階張量A關于指標i和jk之間的廣義秩等于1（記作R（i，jk））;

iii. 非零三階張量A中指標i和j的偏秩與i和k的偏秩都等于1（記作R（i，j）=R（i，k）=0）;

iv. 非零三階張量A的指標i與j、i與k之間分別滿足方程（2）。

Ai+1，j，kAi'，j'+1，k-Ai+1，j，kAi'j'，k-AijkAk，j'+1，k+Aij，kAi'j'k=Ai+1，j'+1，kAi'jk-Ai，j'+1，kAi'jk-Ai+1，j'，kAi'jk+Aij'kAi'jk，即第三個指標不動，對前兩個指標代入方程。i與k之間的同理，即保持第二個指標不變。

證明：iii，設指標i，j，k所在空間的維數分別是N1，N2， N3，令l=jN2+k，則k=lmodN2，。這樣做的意義是把矩陣a當作一個矢量來處理，這個矢量有N2·N3個分量。從而有Ail=αial=，可知Ail的秩等于1[2]（這就是所謂指標i和jk之間的廣義秩）。

iii，顯然。

iiii，指標i和j的偏秩是指固定指標k不變，計算出剩下的二階張量的秩。

固定k，k=k'，此時ajk'是一個矢量，Aijk'=αiajk'，顯然二階張量Aijk'的秩等于1，即指標i和j的偏秩等于1.關于i和k同理。

iiii，利用文獻[3]，任意張量有唯一的分解式（Tensor rank decomposition）。

式中r表示張量A的秩，共有r項。也可以將其改寫成張量的乘積：

Aijk=ailbjlckl .即三個矩陣同時對指標l縮并，l∈{1，2…，r}。

同樣，我們分情況討論這個問題。

給定k，已知i和j的偏秩等于1，那么有如下可能：①則結論成立;②，得。

由條件知①和②同時成立，那么且。

結論成立。

iiiiv，利用定理1，顯然成立。

這個引理很容易推廣至n階張量是否可分為一個矢量和一個n-1階張量，這里不再贅述。利用此引理，可以得出如下定理。

定理2：以下命題等價。

i. 非零n階張量A可表示為，其中每個α是矢量;

ii. 非零n階張量A每一個指標與剩余指標的廣義秩等于1。R

iii. 非零n階張量A中任意兩個指標的偏秩都等于1.R（i，j）=1;

iv. 非零n階張量A中任意兩個指標滿足方程（2）。

證明：iii， 以i1為例，將看做張量ai2…in，再利用引理。對于其他指標思路相同，結論成立。

iiii， 顯然。iiii， 以i1為例， 用引理知i1和i2…in可分，同理可得每一個指標都與其余指標可分，因此張量A只能表示為n個矢量的張量積。

iiiiv， 利用定理1和引理，顯然成立。

如果我們不局限于一個張量表示為多個矢量的乘積，而是分成若干低階張量，則有如下推論。

定理3：以下命題等價。

i. 非零M階張量A可表示為其中每個a都是張量，且N1+N2+…Nn=M;

ii. 將指標分成n組，，任取其中一組指標，這一組指標中的任意一個與這一組指標之外所有指標的廣義秩等于1，∈有

iii.指標分組同上，任意取兩組指標，再分別在這兩組指標中分別取一個指標，則他們的偏秩等于1，I≠J，R

iv. 指標分組同上，任意取兩組指標，再分別在這兩組指標中分別取一個指標，它們之間滿足方程（2）。

對于一個n階張量Ai1i2…in，為判斷其是否是糾纏態，如何糾纏的，只需多次使用上述定理，方法如下：

I. 依次判斷i1與剩余指標是否可分，i2與剩余指標是否可分…in與剩余指標是否可分，共n次。若每個指標都與剩余指標可分意味著張量A是完全直積態。

II. 將i1，i2看做一個整體，判斷i1與除了i2外剩下的n1-2個指標是否可分，再判斷i2與除了i1外剩下的n1-2個指標是否可分。同樣地，一直到取遍n1個指標中的任意兩個指標，將可分的排除。

III. 對剩下的指標，任意取3個指標，將其看作一個整體，判斷與其余指標的可分性。

IV. 如果n是偶數，需要一直計算到任意n-2個指標與剩余的是否可分;如果是奇數則是。最后整個張量A的可分結構就完全清楚了（如果為了降低計算量，順序反過來算更合理）。

注意到定理3中的判別條件有3個，對于有限維的情況3種都可以使用，若維數無限但是可數，在已知張量的解析表達式的前提下只能使用最后一種方法。

以上討論的都是分立譜，連續譜的判別方式與之相似，有如下定理。

定理4：若有可微函數

。則下列方程組成立：

其中i，j∈{1，2，…n}。

對任意RN1+N2+…Nn）成立。N1，N2，…Nn分別是矢量的維數。

定理5：若在內連續，在D中沒有零點且方程組

對任意成立。則存在連續可微的函數

使對任意成立。

證明：基本同文獻[4]中的定理1、定理2，設N1+N2+…Nn=N，因此可以將定理看作N個一維變量分成n組，組與組之間可以分離變量。從而由命題2、3知只需將方程組中每一組變量內部滿足的方程刪去即可（例如第一組變量有N1個，內部滿足的分離變量偏微分方程不需要考慮）。再將剩下的方程按順序排列即得證。

定理4和定理5給出了一種符號表示的思路，即將矢量作為指標[5]，因此可以得出定理3的等價形式。

定理3：以下命題等價。

i. 非零M階張量A可表示為

=式中第一個等號表示以矢量為指標和以所有矢量指標內各個分量看做標量指標是等價的，，其余同理，N1+N2+…Nn=M;

ii. 非零M階張量A中每一個矢量指標與剩余指標的廣義秩等于1，即與的廣義秩等于1，其余同理;

iii. 非零M階張量A中任意兩個矢量指標的偏秩都等于1;

iv. 非零M階張量A關于任意兩個矢量指標之間分別滿足方程組其中。

3? 結語

本文以微分方程的分離變量解法為出發點，得出連續函數分離變量的判據的張量版本，可用于量子態的糾纏判別。同時將此方法推廣至多元函數和高階張量的情形，對量子糾纏態的數學計算和物理理解都有進一步的幫助。

參考文獻

[1] Nielsen， M.A. 量子計算與量子信息（10周年版）[M]. 北京： 清華大學出版社，2015.

[2] Aubrun， Guillaume.and Szarek， Stanislaw J. Alice and Bob Meet Banach： The interface of asymptotic geometric analysis and quantum information theory[M]. Providence， Rhode Island ： American Mathematical Society，2017.

[3] David S. When Is an Ordinary Differential Equation Separable？[J]. The American Mathematical Monthly，1985， 92（6）：422-423.

[4] 邵逸民.秩為1矩陣的性質及應用[J].大學數學，2010，26（5）：194-198.

[5] Wikipedia. Tensor Rank Decomposition [EB/OL]（2019-5-7）.https：//en.wikipedia.org/wiki/Tensor_rank_decomposition.

[6] 王明新.函數可分離變量的條件[J].河南大學學報：自然科學版，1988（4）：6-8.

①基金項目：哈爾濱理工大學工程電介質及其應用教育部重點實驗室2017年開放課題“雙曲超材料聲子極化子電磁性質研究”（項目編號：KF20171110）。

作者簡介：征夏明（1996，7—），男，漢族，安徽蕪湖人，碩士在讀，研究方向：強關聯電子體系。

通訊作者：張強（1980，8—），男，漢族，黑龍江雞西人，博士，副教授，研究方向：超材料表面波性質。hsdzq80@126.com。