基于Copula 的干旱頻率分析方法在唐乃亥流域中的應用

楊 濤，奚圓圓，劉 偉

（1.云南省水利水電勘測設計研究院，云南 昆明 650021；2.云南水利水電職業學院，云南 昆明 650021）

1 引言

人類生存的環境經常遭受各類自然災害的襲擊，如干旱、泥石流、臺風、洪澇、地震、火山噴發等等。據世界氣象組織統計，在世界范圍內，氣象災害導致的損失占各類自然災害總損失的85%之多，其中，約50%的氣象災害損失是由干旱引起的，全球每年因干旱造成的經濟損失高達60 億美元～80 億美元，居各類氣象災害之首[1]。就我國而言，由于降水在時間和空間上分布的高度不均勻性，進而引起水文極端干旱事件頻繁發生，干旱在中國已成為影響區域最廣、發生最頻繁、造成經濟損失最大的氣象災害之一。歷史旱災資料統計表明，從公元前206 年至公元1949 年的2155 年間，共發生1056 次干旱事件，平均每兩年就發生一次。在新中國成立以后的1950 年～2010 年共61 年間，全國發生嚴重、特大旱災24 次，發生頻次為40%，平均每2.5 年發生一次，平均受災面積達到2.16×107hm2，平均每年成災面積達9.61×107hm2，平均因災損失糧食1.61×107t[2]。

黃河上游唐乃亥站以上區域位于青藏高原東北部，流域面積12.20 萬km2，占黃河流域面積的16.2%，多年平均來水量200 億m3，占黃河流域多年平均來水量的34.5%。流域地勢總的趨勢是西高東低，境內分布著大小冰川40 多條，冰川總面積120.57 km2，是黃河流域的天然固體水庫和主要水源。該區多年平均降水量400 mm～700 mm，雨量分布不均，干旱寒冷，年平均氣溫為-4℃，具有顯著的寒缺氧、氣溫低、光輻射強、晝夜溫差大等典型的高原大陸性氣候特點。據統計，從1990 至今，黃河已出現多次斷流：1996 年和1998 年，黃河在“黃河源頭第一縣”的瑪多縣出現兩次斷流；1999 年5 月2 日至6 月3 日，扎陵湖和鄂陵湖之間的河道出現斷流，河道干涸達8 km；1998 年從鄂陵湖以下黃河出現60 km 的斷流。2001 年瑪多縣遭遇了百年不遇的特大旱情，7 月份以后降水比上年同期偏少近71%，大多牧草未結草籽便提前枯死，之前綠草如茵的地方，現已變成了荒漠和沙地，此次干旱造成瑪多縣1599 戶7640 名牧民和38 萬頭牲畜受災，2095 萬畝夏秋草場可利用率不到60%，30 萬牲畜無法安全越冬。

干旱的發生是自然變化和區域人類活動共同作用的產物，它已成為阻礙社會發展、擾亂人們正常生活的焦點問題，迫切需要加強對抗旱減災和旱災風險管理的研究，而目前研究者們對該區域水文干旱和頻率分析的研究較少。干旱是包括干旱歷時和干旱烈度等多個相關變量的極值水文事件，在干旱頻率分析研究中，干旱歷時與干旱烈度之間的關系是重點，必須加以考慮，而copula 函數是一種描述變量之間相關性的有效方法[3]。

2 數據和方法

2.1 數據

本文數據主要是黃河源區唐乃亥水文站45 a（1956 年～2000 年）的逐月天然徑流資料，數據來源于水文統計年鑒。圖1 是唐乃亥水文站1956 年～2000 年年徑流過程。

圖1 唐乃亥水文站1956 年～2000 年年徑流過程

2.2 水文干旱識別

游程理論是目前水文干旱識別的主要理論，它因為無需假定變量所服從的概率分布，均可直接從簡單的統計游程現象的方法入手，揭示游程現象發生的概率[4～5]。在實際應用中，依據徑流量距平百分率確定月徑流量的三個閾值R0，R1，R2，當單月徑流量小于R1初步判定為干旱，有a，b，c，d 四個干旱過程；對歷時等于1 的干旱過程，若指標小于R2則視為一次干旱，若小于R1但大于R2則不視為一次干旱過程；對于兩次干旱過程，若間隔等于1 且該指標值小于R0，則合并為一次干旱過程，其干旱烈度S=Sb+Sc，反之為兩次干旱過程，根據《水文情報預報規范》中的標準，徑流量距平百分率的三個閾值分別為R0=0，R1=-20%，R2=-40%。

2.3 基于Copula 函數的干旱頻率分析

（1）Copula 函數

Copula 是連接一維邊際分布形成在[0,1]上的多元分布的聯合分布函數。Copula 函數能夠將二元聯合分布劃分為變量的邊緣分布和變量之間的相關性結構來分別進行處理，其中用Copula 函數來描述變量間的相關性結構。任意形式的邊緣分布均可通過Copula 函數來構造其聯合分布函數，形式靈活多樣，計算求解較易。由于邊緣分布包含變量的所有信息，在轉換過程中信息不會失真，被廣泛地應用在多變量水文頻率分析計算中[6]。設x、y 為連續的隨機變量，其邊緣分布函數分別為Fx和Fy，F（x,y）為變量x 和變量y 的聯合分布函數，那么存在唯一的Copula 函數C，使得F（x,y）=Cθ（Fx（x）,Fy（y）），式中：（Fx（x）,Fy（y））為Copula 函數，θ 為待定參數，可以通過與Kendall 秩相關系數τ 的關系確定。

（2）干旱特征變量概率分布

一般情況下，假設某一特征變量服從某種分布，通過參數估計得到該分布概率密度函數，再由假設檢驗判斷該假設的正確性。假定干旱歷時服從指數分布，干旱烈度服從2 參數的Gamma 分布[7]。經過計算得出干旱歷時和干旱烈度的參數，然后構造統計量，采用χ2檢驗驗證擬合度。

（3）Copula 聯合分布函數的選擇

采用Kolmogorov-Smimov（K-S）檢驗來評價聯合分布計算與聯合觀測值的擬合程度[8]，表征描述干旱特征變量之間的相關性，采用均方根誤差RMSE 作為擬合優度的評價指標。

①Copula 函數的擬合檢驗，采用Kolmogorov-Smimov（K-S）檢驗，其統計量D 計算如下：

式中：F（xi，yi）為（x，y）的聯合分布；m（i）為觀測樣本中滿足x≤xi，y≤yi條件的聯合觀測值個數。

②采用均方根誤差（RMSE）來評定Copula 函數擬合結果優劣，其表達式為：

式中：Pc（i）是Copula 函數計算得的第i 個聯合觀測值（di，si）的聯合分布概率值；n 為聯合觀測樣本數；P0（i）為多元聯合分布經驗值。

式中：mi表示聯合觀測樣本中滿足條件D≤di且S≤si的聯合觀測值的個數。

（4）干旱聯合重現期

干旱重現期作為描述隨機事件在時間上稀遇程度的統計量，是水文極值事件的重點研究對象，也是干旱頻率分析和水文頻率分析的重要內容[9]。一般定義為：具有某種屬性的隨機事件出現一次的平均間隔時間[10]。然而，干旱事件不同于其它水文極值事件，持續時間長，發展緩慢且不易被發現，一次干旱事件可能持續多年或者一年中發生多次干旱過程。根據現有的研究成果，常采用超定量法選樣來描述其重現期。據此，Shiau 和Shen[11]推導出了干旱重現期的計算公式。干旱歷時重現期：TD=E（L）/[1-FD（d）]；干旱烈度TS重現期：TS=E（L）/[1-FS（s）]，式中，E（L）為干旱間隔的期望值，它等于干旱歷時和非干旱歷時的期望值之和。

當同時考慮干旱歷時與干旱烈度時，干旱事件的重現期分兩種情況計算：

①在干旱歷時D＞d，或者干旱烈度S＞s 時的干旱重現期為：

②當干旱歷時D＞d，且干旱烈度S＞s 時，干旱重現期為：

當識別出干旱特征系列后，將對應的干旱歷時和干旱烈度值代入上式即可求得對應的干旱重現期。

3 結果分析

3.1 水文干旱識別結果

基于游程理論的水文干旱識別方法，本文對唐乃亥站1956 年～2000 年逐月天然徑流數據進行干旱序列提取，其結果見表1 和表2。由表1 和表2 可知：（1）唐乃亥站以上黃河源區1956 年～2000 年45 a 內共發生29 次干旱，從1956 年7 月～1957 年12 月發生了持續18 個月的嚴重干旱，干旱烈度是45年內最大的；干旱烈度值最小值為30093 萬m3，發生在1999年4 月和5 月，歷時為兩個月。干旱的歷時均值為4.7 個月，干旱間隔期望值為18.62 個月；（2）僅1958 年、1961 年、1964 年、1967 年、1968 年、1973 年～1976 年、1981 年～1984 年、1989 年、1992 年、1993 年共計16 年未發生干旱，其中1967 年～1968 年年連續2 年無干旱事件，1973 年～1976 年連續4 年無旱，1981 年～1984 年連續4 年無旱；（3）1994 年～2000 年每年均發生干旱，平均每年干旱持續時間為5 個月，平均干旱烈度為183397 萬m3，較45 a 年的多年平均干旱烈度高25098 萬m3。

表1 唐乃亥站1956 年～2000 年月尺度干旱統計結果

表2 月尺度干旱特征值統計結果

3.2 二維聯合Copula 函數結果分析

（1）邊緣分布函數的確定

在假定干旱歷時服從指數分布，干旱烈度服從二參數Gamma 分布的前提下，分別將干旱歷時系列和干旱烈度系列樣本采用矩法進行參數估計，得出參數α、β。并選擇統計量對干旱特征系列進行假設檢驗。經過對干旱特征變量邊際分布假設檢驗，其結果表明干旱歷時服從參數為α=4.66 的指數分布，干旱烈度服從參數α=1.21、參數β=130913 二參數Gamma 分布。

表3 唐乃亥干旱特征變量的參數估計

表4 干旱特征變量邊際分布假設檢驗

（2）Copula 聯合分布函數的確定

Copula 函數具有構造方便、容易使用等優點，本文選用Gumbel-Copul、Clayton-Copula 和Frank-Copula 這三 類Copula函數構建干旱歷時和干旱烈度的聯合分布函數，采用K-S 檢驗來評價聯合分布計算值與聯合觀測值的擬合程度，表征干旱特征變量之間的相關性，采用均方根誤差RMSE 作為擬合優度的評價指標。K-S 的值越低，其理論分布與樣本序列的經驗分布擬合越好，即無顯著差異；均方根誤差RMSE 值越小，表明該Copula 函數最優。從表5 數據對比可知，構建的三類Copula 函數的kendall 相關系數均為0.537，再從均方根誤差RMSE 值來判斷，Gumbel-Copula 的均方根誤差RMSE 值為0.044，在所有Copula 函數中最小，且根據圖3 干旱特征序列點據與45°斜線擬合程度最好，故Gumbel-Copula 函數擬合結果相對較優，更適合唐乃亥流域干旱特征變量的聯合分布概率函數，其二維聯合分布概率函數見圖4。

表5 基于K-S 和RMSE 的Copula 函數最優選擇

圖3 三類Copula 函數干旱特征變量的理論與經驗聯合概率分布對比圖

圖4 基于Gumbel-Copula 函數的干旱歷時與干旱烈度的聯合概率分布

表6 干旱特征系列的重現期結果統計 單位干旱歷時：月；干旱烈度：萬m3；聯合重現期：月

（3）干旱聯合重現期

針對提取出來的干旱特征值系列，將近45 年來發生的29次干旱事件的各次干旱歷時與干旱烈度系列代入式（4）和式（5），經計算，干旱間隔的期望值E（L）=18.62 月。由表6 中數據可知：①1956 年7 月～1957 年12 月發生的這次干旱是唐乃亥站45 a 來最嚴重的一次干旱，干旱歷時持續18 個月，其聯合重現期為115 個月；1959 年9 月～1960 年6 月的這次干旱聯合重現期為31 個月，在這45 年排在第二位。②29 次干旱事件的重現期平均值為11 個月。

4 結語

（1）唐乃亥站以上黃河源區1956 年～2000 年45 a 內共發生29 次干旱，干旱的歷時均值為4.7 個月，干旱間隔期望值為18.62 個月。從1956 年7 月～1957 年12 月發生了持續18 個月的嚴重干旱，干旱烈度是45 年內最大的。干旱烈度值最小值為30093 萬m3，發生在1999 年4 月和5 月，歷時為2 個月。另外根據統計結果發現1994 年～2000 年每年均發生干旱，平均每年干旱持續時間為5 個月。

（2）通過對Gumbel-Copula、Clayton-Copula、Frank-Copula三種連接函數用K-S 和RMSE 對比分析發現Gumbel-Copula函數擬合結果相對較優，故Gumbel-Copula 函數是用于研究唐乃亥站以上流域水文干旱特征的最佳分布概率函數。

（3）通過對干旱重現期的計算，結果表明29 次干旱事件的重現期平均值為11 個月，即發生一次干旱事件的平均間隔時間為11 個月。1956.7～1957.12 發生的這次干旱是唐乃亥站以上流域45 a 來最嚴重的一次干旱，干旱歷時持續18 個月，其重現期最長，為115 個月。