基于隴南鄉村振興的輸油管線布置中數學建模思想應用

高婷婷 張明會

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?鄉村振興是國家戰略，鄉村振興最主要的是發展產業，而基礎設施建設就是重中之重，根據某油田計劃在隴南某鐵路一側建設兩家煉油廠，并在鐵路上增建一個車站，來運送成品油，使管線建設費用最省的問題，考慮兩家煉油廠和鐵路的各種位置關系以及管線是否共用等多種情況，建立了該問題的多元函數模型，將費用的最省問題轉化為多元函數的最小值問題。通過判斷多元函數在駐點處Hesse矩陣的正定性，獲得了該模型最小值存在的充分條件，得到了最佳管線布置方案。在兩家煉油廠位置完全確定的情況下，利用Matlab軟件，結合題中所給的數據，在費用最省的情況下模擬出了兩家煉油廠及車站間管線的分布，從而驗證了所建數學模型是比較可靠的。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?函數模型;最小值;偏導數;Hesse矩陣;正定矩陣

[中圖分類號] ?TU990.3 ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ? [文章編號] ?2096-0603（2020）50-0088-02

一、問題的提出

隨著隴南市經濟社會的不斷發展，尤其是電子商務助推隴南鄉村振興的關鍵時刻，各行各業對石油的需求量也越來越大。為在隴南某鐵路沿線建造煉油廠并增建火車站，來生產成品油和增加成品油的運送量將顯得十分必要。現今某油田計劃在鐵路線一側建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運輸生產的成品油。對此，設計院要考慮這兩家煉油廠和增建的車站選在何處、輸油管線如何鋪設，才會使輸油管線建設費用最省。

1.針對A、B兩家煉油廠到鐵路距離和兩煉油廠間距離的不同情形，以及是否共用輸油管，設計輸油管線布置的最佳方案。

2.針對A、B兩家煉油廠選址分別選在郊區與城區，并且在城區鋪設輸油管時還需考慮拆遷和工程補償等附加費的情形，在所有管線建設費用均相同的情況下，設計輸油管線布置的最佳方案。

3.在問題2的基礎上，根據A、B兩家煉油廠生產能力不同而選用不同的輸油管線，且共同管線費用也不同的情形，設計輸油管線布置的最佳方案。

二、假設與符號說明

（一）必要的假設

為使問題簡化，討論方便，現做如下假設：

1.不考慮地形、地貌對管線鋪設的影響，認為煉油廠A、B和鐵路線在同一水平面上。

2.不考慮鐵路線和輸油管線的彎曲程度，認為在煉油廠的附近鐵路線和輸油管線都是直線型，可以看作幾何中的線段處理。

3.不考慮煉油廠和車站的建設費用。

（二）符號說明

在文中如無特殊說明，以下字母具有特定含義。

1.大寫字母A、B表示擬建修的煉油廠的位置，也表示煉油廠，不再區分。

2.大寫字母P表示擬增建的車站位置，也表示車站，不再區分。

3.小寫字母a、b表示煉油廠A和B到鐵路線的垂直距離。

4.字母組AC、BD表示煉油廠A和B到鐵路線的垂線段。

5.小寫字母l表示兩煉油廠在鐵路線上的垂足C和D間的距離。

6.字母kA、kB表示單獨向A和B兩煉油廠鋪設輸油管線時，每千米輸油管線的費用，kAB表示A和B兩煉油廠共同鋪設輸油管線時每千米輸油管線的費用，kC表示在城區鋪設輸油管線時的附加費用。

三、模型的建立與求解

（一）簡單環境，管線費用相同

簡單環境，就是不考慮兩煉油廠的周邊環境和其他附加費用。下面分別討論兩種情況。

1.垂直

若兩煉油廠的連線與鐵路線垂直，如圖1。

由“點到直線，垂線段最短”的幾何知識，可將AB與鐵路的交點C作為擬建車站P的選址，下面分別討論共用輸油管線和不共用輸油管線時的費用。

（1）若兩煉油廠的輸油管線不共用，各自單獨鋪設，并設kA=kB，則總費用表示為f1=akA+bkB=（a+b）kA

（2）若兩煉油廠共用長度為s（s∈[0，a]）的輸油管線，其余輸油管線單獨鋪設，則總費用表示為f2=（a-s）kA+（b-s）kB+skAB=（a+b）kA+（kAB-2kA）s

為比較兩種鋪設方案費用的多少，取F=f2-f1=（kAB-2kA）s

2.不垂直

若兩煉油廠的連線與鐵路線不垂直，如圖2。

下面分別討論共用輸油管線和不共用輸油管線時的費用。

★若A、B兩煉油廠的輸油管線單獨鋪設，不共用輸油管線，且設kA=kB.

以鐵路CD為x軸，以CA為y軸，建立坐標系。則A（0，a），C（0，0），B（l，b），D（l，0），設P（x，0），則由兩點距離公式有PA=，PB=

（1）當a、b同時為0時，即兩個煉油廠均建在鐵路邊，且相距l時，其費用表示為：g（x）=PAkA+PBkB=xkA+（l-x）kB=lkA

車站可建在CD的任一點，費用均相同。

（2）當a、b不同時為0時，則輸油管線費用函數表示為：g（x）=PAkA+PBkB=kA+kB=（+）kA

要使費用最少，即函數g（x）取最小值。

由一元函數取最小值的條件：

①g′（x0）=0，②g"（x0）>0.

令g′（x0）=0，得x0=，容易驗證g"〔〕>0，

即當車站建在距離C點為時費用最省，最省費用為：g〔〕=kA=kA

此時管線的鋪設方案見圖2。

若兩煉油廠A和B共用部分輸油管線，仍設車站為P（x，0），共用輸油管線的長度為y，如圖3。

即當車站建在距離C點為6.732千米，共用輸油管線的長度為0.14千米，點Q到鐵路線的距離為7.282千米時費用最省，最省費用為：252.474萬元。

參考文獻：

[1]王汝發.數學模型[M].蘭州：甘肅教育出版社，2000.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]姜啟源，謝金星，葉俊，等.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

編輯 馬燕萍

①基金項目：2018年度隴南市哲學社會科學研究項目“利用數學建模思想對隴南電商助力鄉村振興戰略的分析與模式研究”（項目編號：18LNSK20）的研究成果。

作者簡介：高婷婷（1979—），女，漢族，甘肅禮縣人，本科，副教授，研究方向：應用數學。