響應面分析法在相似模擬試驗配比中的應用

鐘慧偉，袁 永，王圣志，滕 龍，馬馮超

（1.煤炭資源與安全開采國家重點實驗室，江蘇 徐州221116；2.中國礦業大學 礦業工程學院，江蘇 徐州221116）

當前，相似模擬[1-3]試驗方法是針對礦山壓力的主要研究方法之一，是以相似理論為基礎的模型試驗技術。該方法可以詳細的研究工作面在推進過程中巷道與工作面的巖層中所發生的機理現象，實現使用少量人力物力即可進行各種條件下的模擬工作，且花費時間少，被應用于國內的諸多礦山中。但在相似材料配比的確定過程中，一般很難有效地確定試驗配比使配制出來的試驗材料達到預想的物理力學性質，需反復試驗并調整，并且還需要考慮影響配比過程中的各個因素間的交叉影響，耗費大量的時間，這給相似模擬試驗帶來一定的困難，同時嚴重影響試驗數據的準確性。

目前的計算機技術不斷發展，數值計算水平也進一步深入，在礦山工程的計算模型變得越來越復雜，所以急需要1 種新的高效的數學規劃方法來應對這一局面。而響應面分析法正好可以很好地解決這一重大難題，該方法的優點在于能夠有效減少試驗的次數，試驗所需材料的成本低，而且試驗結果準確性較高，可適用于解決多變量多因素問題的試驗[4-6]。因此，采用響應面分析法中的Box-Behnken 試驗設計建立抗壓強度試驗模型，對模型進行回歸分析和方差分析來進一步確定抗壓強度的最優化配比。

1 響應面分析法

響應面分析法（Response surface method，簡稱RSM）通過中心組合試驗，采用多元線性回歸的方法，將試驗中的各個因素及其交叉因素進行多項式擬合，再根據函數的響應面等值線和回歸方程確定試驗的最佳參數組合[4,7-8]。

該方法可有效減少試驗次數，具有精度高、成本低的優點，成為解決多變量多因素問題的一種有效試驗設計分析方法。主要包括Box-Benhnken（BBD）、均勻外殼設計（Uniform Shell Design，USD）、中心組合設計（Central Composite Design，CCD）3 種，本文采用的為BBD 設計。

2 單因素試驗設計

根據參考資料，確定影響物理力學性質的主要因素：含砂量、石膏量以及水泥摻量。通過3 種影響因素的單因素試驗[9]來確定影響因素的范圍取值，然后才可以使用BBD 中心組合設計法來設計試驗。單軸壓縮試驗[10-12]結果如圖1～圖3。

圖1 含砂量對抗壓強度的影響曲線Fig.1 Influence curve of sand content on compressive strength

不同含砂量的試件所對應的不同抗壓強度的變化范圍，最小值為3.38 MPa，最大值為4.11 MPa。根據圖中曲線的變化趨勢，可知含砂量對相似材料的影響情況，即在小范圍內模擬試驗材料的抗壓強度隨著含砂量的變化，呈現略微增大再顯著減小。

圖2 水泥摻量與抗壓強度的關系曲線Fig.2 Relation curve between cement content and compressive strength

圖3 石膏含量與抗壓強度的關系曲線Fig.3 Relation curve between gypsum content and compressive strength

當相似材料中含砂量與石膏用量固定后，隨著相似材料中水泥摻量的增大，試驗試件的抗壓強度以及抗彎強度也均出現顯著增加的情況。這是由于在相似材料中增加水泥用量后，相似材料中形成的水泥凝膠量也就隨之增多，而接觸面積大小的決定因素之一就是水泥凝膠量，因此當水泥凝膠量增大，促進了其與骨料的接觸面積的增大，進而就提高了水泥凝膠與骨料間的黏聚力，也就展現出試驗試件的抗壓強度增大[13-14]。

模擬試驗材料的抗壓強度隨著材料中石膏含量的增加，在小范圍內逐漸增大的趨勢，這是由于熟石灰粉中加入水時，熟石灰粉與水發生化學反應生成二水硫酸鈣，由于該化學反應消耗水，減少了模擬材料中游離狀態水的存在；并且石膏粉遇到水后形成凝膠，同樣起到增大材料內部凝膠體與骨料間的接觸面積的作用，進而提高材料內部的黏聚力，試驗試件的抗壓強度也隨之增長[13-14]。

3 試驗結果與分析

3.1 響應面分析法進行試驗分析

按照試驗設計步驟以及測試方法完成了對試件的單因素試驗，不含水泥試件的材料力學性質見表1 和含水泥試件的材料力學性質表2。

表1 不含水泥試件的材料力學性質Table 1 Mechanical properties of materials without cement

表2 含水泥試件的材料力學性質Table 2 Mechanical properties of materials containing cement

通過試驗數據可以明顯的發現水泥的加入對試件的抗壓強度影響很大。因此，選取抗壓強度作為響應面分析試驗的主要考察指標，響應面設計的零點則選用單因素試驗中取得抗壓強度最大值時所對應的試驗條件，然后再采用Box-Behnken 試驗設計對抗壓強度進行響應面分析[15]。

結合單因素試驗結果，運用響應面分析試驗，分別選取了含砂量、水泥摻量和石膏用量作為響應因子，設定抗壓強度為響應值，利用Design Expert 8.0.6 Trial，軟件設計本次試驗，并將試驗結果進行回歸近似和方差分析，找出試驗中的主效應和交互相應，并求出最大抗壓強度對應的最佳組合。

具體的試驗設計方法是以含砂量（A）、水泥摻量（B）和石膏用量（C），3 個相應響應因子進行響應面分析設計，3 種自變量±Level 根據單因素試驗結果取值。試驗共分為17 組，其中試驗編號從1#至12#為析因試驗，試驗編號13#至17#為中心試驗。其中試驗的前12 組的試驗點是析因試驗的析因點，是自變量取值在三維結構的立方體每條棱的中點；試驗的后面幾組13#～17#組的試驗點為零點，是設計區域的中心點（注意：零點試驗應盡量重復5 次以上試驗來估計試驗誤差）[10]。

按照之前制定的試驗方案進行抗壓試驗后，響應面分析法設計方案與試驗結果見表3。

表3 響應面分析設計方案和測試結果Table 3 Response surface analysis design scheme and test results

通過運用響應面分析法設計試驗方案并得出試驗結果后，將試驗結果輸入到軟件的Response 1 項中，再使用Design Expert V8.0.6 Trial 軟件中Analysis 的ANOVA 方差分析功能對表中的3 個因素A、B、C 和相應值Y 進行多元化回歸分析。

由分析可得：

式中：R2為判定系數，代表響應面與真值之間的差異度；AdjR 為模型校正決定系數，代表該模型擬合度；C.V.為抗壓強度的變異系數,表示試驗的精確度，系數越小表示試驗可靠性越高。

對試驗結果回歸分析，得到抗壓強度與各因素的關系：

抗壓強度的方差分析結果見表4。

由表4 可知，以抗壓強度為響應值時，模型P值＜0.000 1＜0.01，表明此模型極為顯著；所用模型和所做試驗的擬合程度（指二者的差異程度）是用失擬項來表示的，本模型中失擬項P 值=0.030 8＜0.1，這表明所做的模型失擬項差異不顯著，即試驗數據與模型不相關的情況不顯著或表述為擬合過程中非正常誤差所占的比例較小，模型可信。

表4 抗壓強度的方差分析Table 4 Variance analysis of compressive strength

同時模型的復相關系數R2=0.980 4，也就是說該模型與實際試驗近似度的差異性為0.019 6，根據響應面分析的應用理論與差異性可以判斷出，模型的擬合程度較好；模型的校正決定系數AdjR=0.965 2，可以認為該模型的回歸方程可模擬與解釋96.52%的相應值變化，僅僅存在總差異的3.48%不能解釋，說明試驗模型的擬合優度高；抗壓強度的變異系數為C.V.，用來表示試驗的精確度，當差異系數越小時，這就表明所做試驗的可靠性越高，就能夠用模型的回歸方程代替試驗真實點對試驗結果進行分析。

回歸方程中，A、B、C 的P 值小于0.1，說明這3種因素對模型抗壓強度的影響相對顯著，其中含砂量，水泥摻量，石膏用量這3 個因素對抗壓強度的影響呈現遞減趨勢，即：P（A）＞P（B）＞P（C）。具體響應面分析結果如圖4。

利用Design-Expert8.0.6 Trial 軟件中的Optimization 中Numerical 功能來確定抗壓強度模型的優化方案，求出模型的最優化值。響應面最優化設計方案見表5。

圖4 響應面分析三維圖Fig.4 3D figure of response surface analysis

表5 響應面最優化設計方案Table 5 Response surface optimization design scheme

3.2 驗證響應面最優化方案設計

以響應面中最優化方案中的3 個因素為試驗條件進行試驗驗證。即依照配比號437 制作3 個試驗 試件，分別進行3 組平行試驗。響應面最優化設計方案驗證結果見表6。

表6 響應面最優化設計方案驗證結果Table 6 Verification results of response surface optimization design scheme

通過3 組試驗，計算出抗壓強度的平均值為6.32 MPa，與響應面試驗最優化設計預測結果的偏差為1.22%，與理論最優化預測結果相近，這證明基于運用響應面分析法設計的相似模擬試驗具有較高的擬合性與準確性，響應面分析法可以應用于尋求最佳的試驗配比方案。

4 結 論

1）單因素結果表明相似材料模型中配制合適比例的含砂量、水泥摻量和石膏用量可以較大程度的提高模型的抗壓強度。

2）在響應面試驗設計中，以抗壓強度作為因變量所得到的含砂量、水泥摻量和石膏用量這3 種因素的最佳組合表明，這3 種因素的影響力度為含砂量、石膏用量和水泥摻量依次遞減。

3）通過響應面分析法建立的預測模型，并得到相似材料模型抗壓強度的最佳配比號為437。即當含砂量定為1 600 g 時，水泥摻量為120 g、石膏用量為280 g 所配制出來混合材料制成的相似模型，理論上的抗壓強度為6.25 MPa。經過對響應面分析設計方案的試驗驗證，所得到的抗壓強度的平均值為6.32 MPa，與理論數據相差1.22%，與理論值相差很小，表明運用響應面模型分析抗壓強度的變化規律所進行的模擬準確性較高，模擬可信。即：響應面分析法可應用于相似模擬試驗。