基于達布變換的特征值通信性能研究

梁 猛,任 新

(西安郵電大學 電子工程學院,西安 710121)

0 引 言

信號在光纖傳輸過程中會受到衰減、色散和非線性效應等影響,最終限制了傳輸容量。非線性薛定諤方程(Nonlinear Schrodinger Equation,NLSE)描述了信號在光纖中傳輸的復包絡特性。為了研究NLSE,1972年,Zakharov等人在一個空間維度上找到了一個Lax對,并建立了Lax對方程[1]；在此基礎上,Yousefi等人在2014年提出了一種用于解決光纖通信中色散和非線性的方法,即非線性傅里葉變換(Nonlinear Fourier Transform,NFT)法[2-4],NFT也稱為逆散射變換(Inverse Scattering Transform,IST),在IST理論體系中,與NLSE相關的狄拉克型方程的特征值是不變的,NFT理論用連續和離散的非線性傅里葉譜表示信號,并且可以通過光路復用產生高階孤子的傳輸[5]；2015年,Zhen等人提出了基于NFT的非線性頻分復用傳輸[6]；2017年,Tao等人提出了一種基于NFT的光通信替代譯碼的方法[7]。但國內外幾乎沒有關于特征值優化的研究。

本文介紹了NFT理論推導和變換過程,并通過仿真軟件對特征值通信進行了驗證,在此基礎上對特征值的選取范圍進行了優化,進一步在優化特征值算法中對修正系數有了新的設定,演示了不同情況下解調出的離散特征值。仿真結果證明,特征值通信能在傳輸2 000 km的距離內很好地恢復發送信號。

1 NFT理論基礎

1.1 NFT理論

用于描述光信號在光纖中傳播的標準歸一化NLSE可表示為

式中:j為虛數；q(t,λ)、t和z分別為信號、時間和距離的歸一化系數；λ為NLSE的特征值。對NLSE進行NFT變換,可得到Zakharov-Shabat系統[2],即

式中:q*(t,λ)為信號q(t,λ)關于特征值λ的共軛對稱信號；P(λ,q(t,λ))為Lax運算符中的P算子[2]；v(t,λ)為特征向量,該特征向量為一個2×1的矩陣,令v(t,λ)=[v1(t,λ),v2(t,λ)]T,則v1(t,λ)和v2(t,λ)分別為v(t,λ)中的兩個特征向量分量。

設v(t,λ)=[v1(t,λ),v2(t,λ)]T為式(2)在邊界條件lti→m∞v(t,λ)=e-jλt下 的 一 組 解,令a(λ)=(t,λ)ejλt,b(λ)=(t,λ)e-jλt,其 中a(λ)和b(λ)稱為非線性傅里葉系數,可得出信號q(t,λ)的NFT表達式為

式中:^q(λ)為 連 續 譜；~q(λk)為 離 散 譜；a'(λk)為a(λk)的導數；λk為信號q(t,λ)的第k個特征值；N為信號q(t,λ)包含特征值的個數。由式(3)可知,信號q(t,λ)的NFT由連續和離散譜兩部分組成。

NFT有解析和數值法兩種方法。解析法只能在矩形脈沖等少數波形中使用,具有一定的局限性,而數值法則適用于所有的波形。數值法通常使用Newton-Raphson搜索算法對特征值進行求解[3]。

以矩形脈沖和高斯脈沖為例。解析法只能求出矩形脈沖的連續和離散譜,而數值法可求出矩形脈沖和高斯脈沖非線性譜,文獻[2]中求出了矩形脈沖為脈沖的幅度)分別在A=2和6時的NFT連續譜和離散特征值圖像。

選取數值法中的The Ablowitz-Ladik Discretization法和Newton-Raphson搜索算法求高斯脈沖q(t,λ)=A e,式中:T為脈沖持續時間；T0為初始脈沖持續時間。圖1所示為A=1和2時的NFT連續譜和離散特征值關系圖,解析法則不能求出該函數的非線性譜。

圖1 NFT連續譜和離散特征值關系圖

1.2 達布變換

達布變換(Darboux Transformation,DT)能夠以遞歸的方式構造多孤子信號。設q(t,λ1,λ2,…,λk)為多孤子信號,且φ(t,λk+1)=[φ1,φ2]T為式(2)的解,則可構造新的信號為

圖2 特征值波形

2 系統模型

從理論上講,光譜域中的4個自由度都可進行調制,即特征值的虛部產生歸一化的振幅并調節脈寬；第2自由度是特征值的實部,調節頻率偏移；第3和4自由度分別是離散譜的相位和振幅,它們分別改變了孤子的相位和位置。本文采用調制特征值虛部的方式來進行信號傳輸。系統框圖如圖3所示。

圖3 實驗系統框圖

第1步,建立特征值與發送碼元的對應關系。本文在驗證過程中選取λ1和λ2兩個特征值,發送端由純虛數[8]特征值結合DT合成傳輸信號,用λ1合成的信號調制發送碼元0,用λ2合成的信號調制發送碼元1。信號通過光調制器產生適合在光纖中傳輸的光信號。

第2步,信道由n段光纖和EDFA構成,發送端傳來的光信號經過一段距離的光纖后放大進入接收端。

第3步,接收端由光濾波器、光檢測器和NFT模塊構成,經信道傳來的光信號經過濾波和檢測后,由Newton-Raphson搜索算法解調出相應的特征值,從而解調出相應的傳輸碼元[8]。

圖4 幅度對特征值的影響

3 影響特征值的因素

3.1 脈沖幅度對特征值的影響

在無信道條件下,用Newton-Raphson搜索算法解調不同幅度的孤子波形,由圖4可知,脈沖幅度變大時,解調出的特征值增大,近似為線性變化。當信號經過信道后,會受到色散和噪聲的影響,為了更準確地解調特征值,應對幅度進行修正。修正過程為,首先對接收信號進行歸一化處理,然后恢復原始幅度,進一步引入修正系數,最后得到的信號為

式中:q'為修正后的信號；β為信號歸一化后理論上恢復原始幅度的系數；因實際中受到噪聲的影響并不能很好地恢復原始幅度,所以引入α為信號q的修正系數,修正系數隨著傳輸距離m的改變而改變。為了精確解調出特征值的大小,通過實驗得到一系列α的具體值,表1給出了λ=0.2j、0.5j、0.8j和1.0j時在不同m下的α取值。

表1 α在不同m下的取值

在傳輸過程中,信號受到色散影響,接收到的波形會發生畸變,引起相位偏移,從而導致表1中的修正系數α隨著傳輸距離m的增大而減小。

3.2 脈沖持續時間對特征值的影響

無信道條件下,用Newton-Raphson搜索算法解調不同脈沖持續時間的波形,得到的結果將有所差異。若脈沖持續時間選的不好,很有可能導致結果出錯,圖5仿真了采樣點為256時不同特征值下的最佳脈沖時間,在此情況下,特征值能夠被很好地恢復。若減小特征值對應的脈沖持續時間,會造成信息缺失。由圖可知,脈沖持續時間對特征值的影響較為明顯。

3.3 采樣點數對特征值的影響

采樣點數對特征值的影響在一定程度上變化較小,基本規律為采樣點數越多效果越好。但考慮到硬件實現和減少計算復雜度,采樣點數的選擇應遵循以下規律:在幾乎不影響解調的前提下,采樣點數越少,計算復雜度越低,硬件越容易實現。圖6所示為采樣點數和誤差之間的關系(誤差指經過NFT解調后的特征值和原始特征值之間的差值)。由圖可知,當采樣點數為256時,誤差控制在10-2以內,該采樣點數可作為仿真實驗的采樣點數。

圖6 采樣點數和誤差的關系圖

總的來說,影響特征值的因素主要有脈沖的幅度、脈沖持續時間以及采樣點數。相比于脈沖的幅度和脈沖持續時間,采樣點數對特征值的影響相對較小。對于單孤子脈沖而言,特征值影響因素只能改變特征值大小,不改變特征值個數。圖7所示為影響特征值的各因素變化與造成誤差的關系圖,為了確保采樣點數幾乎不影響整體解調性能,選取采樣點數為1 000,由圖可知,特征值不宜過大也不能太小,最佳選擇在0.1j～j之間。

圖7 誤差圖

在傳統的特征值通信中,發送端用DT或非線性傅里葉逆變換(Inverse Nonlinear Fourier Transform,INFT)理論合成發送波形或在信道傳輸孤子波形,通過信道后,接收端用NFT理論求解特征值。但孤子波形對特征值的要求較高,不具有普遍性。而在特征值通信中,不同特征值組合通過信道后結果不同,傳輸距離受限。傳統方法沒有對特征值的影響因素作深入分析,也沒有提出修正系數α的概念,引入α后不僅提高了傳輸距離,更能在很大程度上降低誤碼率。

在Matlab軟件仿真系統中,采樣點數越多,結果越精確,但硬件實現難度大。傳統方法沒有提到采樣點數和特征值之間的關系,由圖6和7可知,采樣點數和誤差的關系是減小硬件復雜度的主要依據。

4 實驗仿真

4.1 仿真參數設置

實驗采用圖3所示的系統框圖,采用Matlab和Optisystem軟件進行仿真。參數設置為:入纖光功率為0；二階色散系數β2=16 ps/nm/km；非線性系數γ=3×10-19m2/W；光纖線性衰減系數a=0.2 dB/km；噪聲為高斯白噪聲；采樣點為256；傳輸速率為1 Gbit/s。傳輸鏈路中每段光纖長50 km,即信號每經過50 km光纖連接一個EDFA,放大器增益為10 d B,噪聲為5 d B。

4.2 仿真結果分析

通過大量實驗仿真發現,一般情況下解調的特征值不能恢復到初始特征值,傳統的特征值通信在不引入修正系數α的條件下,傳輸距離有限,以λ1=0.5j、λ2=1.0j為例,由圖8可知,傳輸距離為250 km時基本能解調出兩個特征值。誤碼率為0.002、傳輸距離為1 000 km時,解調出的特征值出現了嚴重的混疊現象,誤碼率大概為0.25。由此可知,在特征值為λ1=0.5j、λ2=1.0j的情況下,800 km基本為此時的極限距離。圖9所示為入纖光功率為0 dBm的條件下,1 000 km內不同距離下的誤碼率。由圖可知,800～900 km后誤碼率增加至10-1量級。

圖8 特征值隨傳輸距離的變化

圖9 0 dBm入射光功率時誤碼率隨傳輸距離的變化

但引入修正系數α后,能很好地區分開兩個不同的特征值。在解調特征值的算法中,信號q的修正系數α隨著特征值的大小和傳輸距離的改變而改變。將表1中的α取值代入系統可清晰地區分出λ1=0.2j、λ2=0.8j和λ1=0.5j、λ2=1.0j兩種情況下,1 kbit信息在2 000 km距離傳輸的特征值變化情況。圖10仿真了兩種特征值取值隨傳輸距離的變化情況。可以看出,α在表1下的取值能夠很好地區分開兩個特征值,且傳輸距離在2 000 km以內時誤碼率為0。由于受到噪聲和色散的影響,在傳輸過程中,隨著傳輸距離的增大,兩個特征值越來越接近,不同的特征值傳輸的極限距離會有所不同。但可確定的是,選取合適的特征值,傳輸距離都可達到2 000 km以上。

圖10 特征值隨傳輸距離的變化

由兩種對比可知,在傳輸系統相同條件下,改進后的特征值通信具有傳輸距離更遠和誤碼率更小的優勢。隨著入射光功率的增大,特征值偏差逐漸增大,誤碼率逐漸增大。以λ1=0.5j、λ2=1.0j為例,圖11所示為不同傳輸距離下入射光功率與誤碼率的關系。由圖可知,在誤碼率為10-3量級下,傳輸距離為500 km時,入射光功率可以增大到12 dBm；傳輸距離為2 000 km時,入射光功率只能增大到5 d Bm。即在保證通信質量的前提下,光功率增大,非線性效應增強,傳輸距離減小。

圖11 入射光功率與誤碼率的關系

4.3 特征值取值范圍優化

理論上講,特征值可取任何虛數。但由于不同特征值對應的孤子波形幅度和持續時間都不同,在該仿真條件下,受到馬赫-曾德爾調制器(Mach-Zehnder Modulator,MZM)對幅度的限制,特征值取值趨向于一個范圍。在長距離傳輸過程中,由于噪聲和能量轉移的影響,隨著傳輸距離增大,兩個特征值越來越靠近。圖12所示為發送1 kbit的信息傳輸2 000 km,取λ1=0.2j和λ2=x·j(x=0.3,0.4,0.5,…,1.3)時兩個特征值大小之差。λ=0.1j時,需要的采樣點數較多,為了降低復雜度,取采樣點數為256,忽略λ=0.1j的取值,所以從λ=0.2j開始取值,x以0.1為間隔依次取值。由圖可知,從λ=0.4j開始,到λ=1.2j之前,信息都可傳輸2 000 km的距離且能區分出原始特征值。取λ1=0.2j、λ2=1.3j及其以后的取值時,λ2合成的波形過于集中在一個小范圍內,且幅度過大,受到MZM和采樣點數的影響,采樣后的波形失真嚴重,無法體現出原始波形的信息,所以傳輸2 000 km后解調出的兩個特征值產生混疊。因此在圖3的實驗系統框架下,特征值取值范圍應固定在λ=0.2j到λ=1.2j之間,且原始特征值之差應≥0.2j。

圖12 λ=0.2j與其他特征值在傳輸2 000 km距離后的差值

5 結束語

本文根據NFT理論和DT對特征值進行調制解調。考慮了脈沖幅度、脈沖持續時間和采樣點數3個影響因素后,選取兩個不同的特征值。在發送端利用DT生成兩種孤子脈沖,承載信息后一次發送1 kbit的信號,通過OptiSystem軟件仿真系統,在接收端歸一化處理,訓練出修正系數,然后使用搜索算法得到信號NFT的數值解,并從中提取出特征值從而恢復原始信號。進一步通過仿真實驗得出了特征值的取值范圍,加強了系統的可實現性。

本文僅在特征值取純虛數的情況下對單特征值進行了優化,下一步工作中可以對多特征值通信進行研究,以達到更高的傳輸速率。