基于二維三組元聲子晶體帶隙特性的振動研究

彭中波，李 成，高 陽

(重慶交通大學 航運與船舶工程學院, 重慶 400074)

0 引 言

聲子晶體[1]是具有彈性波帶隙特殊特性的周期性結構材料，是將多種材料或是微腔結構按照一定周期進行排列組成[2-4]。當彈性波在結構中傳播時，處在帶隙頻率范圍的彈性波會被衰減掉而無法繼續傳播[5]。聲子晶體的帶隙特性和組成該結構的材料參數相關，也和對應的結構參數有關，包括散射體的密度、彈性模量、散射體的形狀尺寸、填充率、晶格形式[6-8]等。聲子晶體獨特的帶隙特性，使其在實際的噪聲隔離和振動控制等方面都具有潛在的應用前景[9]。

由于聲子晶體所具有的特殊帶隙特性，近年來吸引了大量學者對其進行研究。徐麗[10]利用平面波展開法，對二維二組元聲子晶體散射體的排列方式，及不同散射體材料下的帶隙特性進行了計算；張明[11]利用時域有限差分法，對二維二組元聲子晶體在不同基體及散射體下的帶隙進行了計算；張昭等[12]對不同散射體形狀及填充率情況下的薄板型聲子晶體的帶隙及減振特性進行了計算；趙元年等[13]設計了一種二維Suzuki晶格聲子晶體薄板，考慮到散色體填充率及板厚對帶隙的影響，結合有限元法對該薄板結構的帶隙及傳輸特性進行了計算；姜超君[14]等在散射體單一參數的基礎上，利用有限元法對多參數情況下的二維二組元聲子晶體的帶隙進行計算。

現有研究對于聲子晶體帶隙影響因素及有限周期結構振動減振特性，大都集中在二維二組元方面。筆者設計了一種二維三組元固態聲子晶體結構，結合有限元軟件COMSOL對所設計結構的帶隙進行計算，同時對有限周期結構下的傳輸特性進行計算，驗證了能帶結構計算方法的正確性和有效性。進一步討論了該結構散射體填充率、包覆層厚度對第一帶隙的影響因素。并在此基礎上利用不同種材料的散射體再次對其傳輸特性進行計算，分析不同周期數下同種散射體，及同種周期數下不同散射體，對有限周期聲子晶體結構振動特性的影響。

1 有限元模型及計算方法

筆者設計的二維三組元聲子晶體單元結構如圖1(a)，圖1(b)為第一Brillouin區，圖1(c)為該單元構成的4×4有限周期聲子晶體結構。該單元結構是由散射體包裹上一層包覆層材料后，再嵌入到基體材料中構成。內部A為散射體，中間B為包覆層，外部C為基體。單元結構的晶格常數為a,散射體半徑為r1,包覆層半徑為r2。

目前對于聲子晶體能帶結構求解的方法有很多，常見如平面波展開法、時域有限差分法、集中質量法、有限元法[15-16]。筆者采用有限元法對設計的聲子晶體進行能帶結構計算。結合Bloch定理，將理想狀態下具有周期性結構的聲子晶體，用圖1(a)設計的單元結構進行代替,并對其設置周期邊界條件及引入Bloch波矢,再令波矢k對不可約Brillouin區的高對稱邊界(圖1(b)中的陰影部分)進行掃描，從而求解出聲子晶體的能帶結構。

為對所計算的能帶結構進行驗證，更好觀察對應帶隙頻率范圍彈性波的衰減，建立有限周期聲子晶體結構計算模型如圖2,利用COMSOL有限元軟件的固體力學模塊，于結構的一側施加邊界載荷,對其進行傳輸特性計算,傳遞公式如式(1)：

(1)

式中：out(solid.acc)為振動加速度輸出；in(solid.acc)為振動加速度輸入。

2 仿真計算及分析

2.1 能帶結構及傳輸特性計算

利用圖1所述單元結構進行能帶結構計算，其中a=20 mm,r1=5.5 mm,r2=8.8 mm，對應的材料參數見表1。

表1 材料參數

對圖2中的有限周期聲子晶體結構傳輸特性進行計算，能帶結構及傳輸特性如圖3。

由圖3可知，在前8階能帶結構圖中存在著2個完全帶隙，對應的帶隙范圍分別為229.58～552.14 Hz及996.8～1 227 Hz。在這2個帶隙對應的頻率范圍內，傳輸特性圖中相對加速度的對數值均小于0，即在結構一側所施加的振動激勵在聲子晶體結構中傳播時，振動激勵所產生的彈性波受到了衰減，且彈性波衰減的頻率范圍和能帶結構的帶隙范圍基本吻合，這很好的驗證了能帶結構計算方法的可行性。同時也說明了聲子晶體對于帶隙頻率范圍內的彈性波，有很好的衰減抑制作用，達到減振的目的。

2.2 填充率及包覆層厚度對第一帶隙的影響

保持該結構晶格常數a=20 mm，包覆層厚度d=3 mm，只改變散射體半徑以研究該結構第一帶隙的變化情況。散射體半徑從4 mm增加到6.5 mm,對應的計算結果如圖4。由圖4可知，當散射體半徑逐漸增大(即填充率增大)，第一帶隙起始頻率由278.03減小到222.44 Hz，截止頻率由505.33增大到656.69 Hz。第一帶隙截止頻率增長速度明顯大于起始頻率下降速度，因此整體帶寬呈現增長趨勢，帶寬由227.3增長到432.25 Hz。

保持晶格常數a=20 mm，散射體半徑r1=5 mm不變，只改變包覆層厚度，研究該結構第一帶隙變化情況。包覆層厚度從7增加到9.5 mm，對應的結果如圖5。由圖5可知，隨著包覆層厚度增大，第一帶隙的起始頻率、截止頻率均下降，起始頻率由314.96減小到200.11 Hz，截止頻率由715.22減小到421.2Hz。截止頻率下降速度大于起始頻率的下降速度，使得整體帶寬呈現下降趨勢，帶寬由400.22減小到221.09 Hz。

2.3 不同周期數對振動特性的影響

為了更進一步探究該二維三組元結構在振動激勵下的減振效果，同時為了避免單一散射體材料不具備說服性，也為了更好的說明不同周期結構對于振動特性的影響。保持振動激勵力大小不變，依次對鉛、鋼、鋁散射體構成的4×4、6×6有限周期聲子晶體傳輸特性進行計算。硅橡膠、環氧樹脂的材料參數如表1，保持結構尺寸不變，散射體鉛、鋼、鋁的材料參數見表2。

表2 散射體材料參數

對鉛、鋼、鋁散射體對應下的能帶結構分別進行計算，計算結果如圖6。接著對鉛、鋼、鋁散射體對應下的4×4、6×6有限周期結構的傳輸特性分別進行計算，計算結果如圖7。

圖6可知，3種散射體計算的能帶結構在前8階均有2個完全帶隙。鉛的帶隙頻率范圍為292.65～576.58 Hz及967～1 227 Hz；鋼的帶隙頻率范圍為354.4～604.44 Hz及967.26～1 227 Hz；鋁的帶隙頻率范圍為571.57～721.21 Hz及 969.1～1 227 Hz。同時可以看出圖7傳輸特性圖中鉛、鋼、鋁散射體對應的振動衰減頻率范圍與圖6能帶結構圖中的帶隙頻率范圍基本一致，進一步證實了能帶結構計算方法的可行性。同樣振動激勵所產生的彈性波在這些帶隙頻段內均受到了衰減，即是起到了減振的作用。

由圖7還可看出，同種散射體下的聲子晶體在不同周期數下對于振動的衰減作用不同。在對應帶隙頻率范圍內，3種散射體對應下的6周期結構對振動的衰減效果明顯好于4周期結構，減振效果更好。但在非帶隙對應頻率范圍內，同種散射體結構下的聲子晶體，當增加周期數時，振動不但沒有衰減，反而進一步被放大。圖7(a)中頻率范圍為80～260 Hz、620～730 Hz、900～950 Hz及1 260～1 300 Hz；圖7(b)中頻率范圍為70～210 Hz、590～730 Hz、900～950 Hz及1 260～1 300 Hz；圖7(c)中頻率范圍為100～390 Hz、530～560 Hz、740～780 Hz、890～950 Hz及1 260～1 300 Hz，在這些非帶隙對應的頻率范圍內，當增加聲子晶體的周期數時會使得振動被進一步放大。

2.4 不同散射體材料對振動特性的影響

由2.3可知，當用鉛、鋼、鋁3種不同散射體材料，分別計算各自對應有限周期結構的傳輸特性時，低頻段振動衰減的頻率范圍均不同。因此，有必要探究在相同的周期數下使用不同散射體構成的聲子晶體對于振動特性的影響。由于6周期結構聲子晶體對振動的衰減效果比4周期好，筆者將鎢、鉛、鋼、鋁在6個相同周期數下的傳輸特性進行比較，傳輸特性如圖8。

由圖8可知，在230～710 Hz頻率范圍內，在6周期結構下，金屬鎢在230～520 Hz內實現 290 Hz頻率范圍振動的衰減；金屬鉛在300～550 Hz內實現250 Hz頻率范圍振動的衰減；金屬鋼在360～580 Hz內實現220 Hz 頻率范圍振動的衰減；金屬鋁在580～710 Hz內實現130 Hz頻率范圍振動的衰減。由此可知，隨著散射體密度增大，對應的衰減頻率會越低，且衰減的頻率范圍也會越寬，減振效果越好。

由于金屬鎢密度最大，由圖8還可知，其相對加速度對數值也最小，對于振動的衰減效果也最好。想要對低頻的振動進行有效的控制，起到很好的減振作用，在聲子晶體有限周期下使用密度越大的散射體，對于振動的衰減效果也越好。

在頻率范圍970～1 240 Hz內，4種散射體材料對于振動衰減效果區別不大，因此在此頻段內，想要實現振動的衰減，對于散射體金屬密度的要求并不大，常見金屬均能對此頻段的振動進行有效的控制。

3 結 論

筆者設計了一種二維三組元聲子晶體結構，結合有限元法，對其能帶結構及有限周期聲子晶體結構的傳輸特性，分別進行了計算。傳輸特性中出現的衰減頻率范圍和能帶結構相對比基本吻合，驗證了能帶結構計算方法的正確和有效性。

當改變散射體填充率及包覆層厚度時，對應的第一帶隙起始、截止頻率均會改變，隨之帶隙的帶寬也會改變。將鉛、鋼、鋁3種散射體各自對應下的4×4及6×6有限周期數的傳輸特性進行計算，同時將同種周期數下的鎢、鉛、鋼、鋁4種散射體的傳輸特性進行比較，探究對于振動特性的影響。研究結果表明：在同種散射體不同周期下，當增加周期數時，對于帶隙頻率范圍內振動的衰減效果也會增強，而在非帶隙頻率范圍內振動反而可能會被放大。對于不同散射體同種周期下，在一定低頻段內(230～710 Hz)散射體的密度越大，對于振動的衰減效果越好，衰減頻率范圍也越廣；在相對頻段內(970～1 240 Hz)，散射體的密度對于振動衰減效果區別并不大，常見金屬均能對此頻段的振動進行有效的控制。可以得出，該二維三組元聲子晶體結構所實現的低頻帶隙范圍對船舶的減振降噪具有潛在的應用前景。