地震作用下大型渡槽結構輸水功能可靠性分析

張威，王博，徐建國，黃亮

(1.河南財經政法大學 工程管理與房地產學院，鄭州 450046；2.鄭州大學 a.水利科學與工程學院；b.土木工程學院，鄭州 450001)

渡槽結構具有排洪、導流和跨流域調水等多種功能，是重要的輸水建筑物，渡槽結構的正常服役與抗洪排澇、農業灌溉和居民的日常飲水等休戚相關[1-2]。渡槽槽身之間的伸縮縫，一般采用橡膠類等強度較弱的止水材料連接。然而，不少渡槽結構處于地震高烈度區，在強烈地震作用下，渡槽槽身節段間極易發生錯動，使止水拉裂[3]，引發槽內水體大面積泄漏，甚至全線輸水中斷。不僅如此，泄漏水體沖刷槽墩底部，迫使基底土壤處于飽和狀態，也會引發渡槽結構二次破壞乃至局部或整體坍陷；在北方寒冷地域，還可能引起槽墩和樁基等的凍脹破壞[4]。因此，深入研究伸縮縫止水在地震作用下的動力響應及其對渡槽結構輸水功能可靠性和服役安全的影響具有重要意義。

在渡槽結構設計中，一般直接依據設計規程[5]給定渡槽槽身節段之間伸縮縫的寬度及其變化限值，這種處理忽略了混凝土材料自身的變異性對結構抗震性能產生的影響。事實上，在施工工序、工藝和環境溫度等綜合因素的影響下，混凝土結構的力學性能存在較大差異。周浩[6]研究發現，混凝土彈性模量10%的初始變異性可能導致懸臂梁結構的靜力撓度變異性高達18%～55%左右。考慮混凝土材料隨機性因素的影響，混凝土結構在確定性強烈地震作用下會產生截然不同的倒塌破壞模式[7]，其在強烈地震動激勵下發生動力響應的變異性也很可能會更加顯著。另一方面，混凝土自身表現出高度復雜的非線性力學行為，經典的彈性、彈塑性力學均難以客觀全面地反映混凝土的基本力學性能[8]。在渡槽結構抗震分析時充分考慮混凝土材料的隨機性與非線性特征，對開展渡槽結構輸水功能可靠性研究具有重要的意義。因此，筆者采用混凝土隨機損傷力學模型[9]綜合反映渡槽結構混凝土材料內秉的隨機性與非線性力學行為。在渡槽結構抗震可靠性分析方面，較為廣泛的是采用經典隨機模擬方法[1, 10-13]，然而，計算效率問題限制了這一方法在渡槽結構動力可靠性分析中的應用[14]。近年來，李杰等[15]提出的概率密度演化方法為解決復雜工程結構系統的可靠性分析提供了新的可行路徑。與隨機模擬方法相比，概率密度演化方法從根本上解決了可靠性分析中隨機性與非線性耦合帶來的困難，并已成功應用于上海中心大廈、上海浦東廣電中心等超高層建筑結構的抗震可靠性評估[16]。筆者將援引概率密度演化理論進行渡槽結構的輸水功能可靠性分析。

為了研究渡槽結構輸水功能可靠性與渡槽結構止水布置之間的關系，以某大型渡槽結構為例，基于隨機損傷力學建立反映混凝土力學性能隨機性和非線性的耦聯模型，并結合概率密度演化方法[17-18]，建立了大型渡槽結構輸水功能可靠性分析方法，探究了渡槽結構止水橫向錯動位移對渡槽結構輸水功能可靠性的影響，提出了設計建議。

1 渡槽結構模型

1.1 渡槽有限元分析模型

南水北調中線工程某大型鋼筋混凝土渡槽結構[14]如圖1所示，基于OpenSEES建立其有限元分析模型，如圖2所示。在建模中，考慮箍筋約束對混凝土力學行為的影響，約束區混凝土強度和延性的提升可通過約束圍壓求得[19]，同時考慮鋼筋材料的Bauschinger效應。由于墩系、槽身等構件是在不同工序施工下完成的，因此，應考慮各構件混凝土材料力學性質的隨機性。渡槽結構力學性能參數(基本隨機變量)包括：混凝土抗壓強度fc,r1(C50)、fc,r2(C30)、fc,r3(C30)和結構阻尼比ζ共計4個隨機變量，各變量取值及物理意義見表1。

圖1 渡槽結構立面簡圖Fig.1 Schematic of the aqueduct structure

圖2 渡槽有限元模型Fig.2 Finite element model of the aqueduct

表1 渡槽結構的隨機變量Table 1 Random variables of aqueduct structure

為了研究渡槽結構止水在抗震設防烈度8度地震作用下的響應規律，擬采用與該渡槽所在場地類型接近的二類場地下的Chi Chi地震波，并將地震動的加速度幅值調至0.2g，沿橫槽向施加一致激勵。地震動加速度調幅后的加速度時程和相應的反應譜分別如圖3和圖4所示。渡槽結構槽墩排架底部與地基固結，盆式橡膠支座設置于兩墩頂。為了提高渡槽結構地震響應分析的精度和效率，采用開源OpenSEES平臺[20-21]，基于纖維梁單元建立渡槽結構的有限元模型。槽內設計水深2.21 m，采用附加質量法[22]將水體固結于槽身考慮水體對渡槽結構動力響應的影響。

圖3 Chi Chi地震加速度時程曲線(0.2g)Fig.3 Chi Chi earthquake time history curve (0.2g)

1.2 渡槽結構伸縮縫及有限元建模

渡槽結構采用壓板式止水模式[23-24]，設計伸縮縫的寬度為40 mm。在承受0.06 MPa水壓力以及張開40 mm、橫向錯動40～60 mm、豎向位移40 mm三向位移聯合作用下具有穩定可靠的止水效果，能滿足渡槽結構正常運行要求。如圖5所示，止水帶厚7 mm，U形鼻子半圓環的內、外半徑分別為8、15 mm，鼻高50 mm，使變形環節的展開長度不小于接縫三向位移的矢徑，達到可吸收接縫位移而不會在止水帶中產生較大應力的目的。止水帶表面還布置了勒筋和燕尾，以提高抗繞滲能力并達到固定效果。止水帶與底部混凝土間采用GB膠板粘接。

圖4 Chi Chi地震動加速度反應譜(0.2g)Fig.4 Chi Chi earthquake acceleration response spectrum (0.2g)

圖5 橡膠止水示意圖(單位：mm)Fig.5 Sketch of the rubber water stop (unit: mm)

橡膠止水材料彈性模量為6.1 MPa，泊松比為0.49，密度為1×103kg/m3。在有限元分析模型中，采用零長單元來模擬橡膠止帶，三向剛度均取值為6.1 MPa。

1.3 混凝土隨機損傷本構關系模型

已有研究表明，混凝土隨機損傷本構模型可基本全面地反映混凝土材料的典型非線性和隨機特性[9]。基于此，選用該模型模擬渡槽結構中混凝土，以期探究考慮混凝土材料隨機性影響下渡槽結構輸水功能可靠性規律。不失一般性，可將混凝土任一代表性體積元抽象為如圖6所示的并聯微彈簧系統[9]，且單根微彈簧服從理想彈脆性應力-應變關系，通過考察細觀微彈簧的隨機斷裂，進而可得混凝土材料的隨機損傷演化規律。

通過微彈簧的隨機斷裂可將損傷表示為

(1)

式中：Af為斷裂的面積；A0為初始總面積；n表示在當前荷載作用下斷裂的彈簧根數；N為彈簧總數；Δi為第i根彈簧的斷裂應變；H(·)表示Heaviside函數；ε為應變量。

圖6 細觀隨機斷裂模型Fig.6 Microscale random fracture model

令彈簧總數趨于無窮，損傷變量可按隨機積分形式表述為

(2)

式中：D為混凝土損傷因子；Δ(x)為一維斷裂應變隨機場；x為空間坐標。

基于連續介質損傷力學理論[9, 16]，混凝土材料的一維損傷本構關系可表達為

σ=(1-D)·E0·(ε-εp)

(3)

式中：σ為混凝土應力；E0為混凝土初始彈性模量；εp為混凝土塑性應變。

該模型可采用如圖7所示的曲線表達在一維反復加、卸載條件下混凝土的應力-應變力學行為。

圖7 混凝土一維損傷本構關系Fig.7 One-dimensional damage constitutive relationship of concrete

對于箍筋約束區混凝土，可通過修正損傷演化函數式(2)來反映約束作用對有效彈性應變發展和損傷演化的減緩效應，即約束混凝土的損傷演化函數表示為[16]

(4)

式中：γ為減緩系數[9]。

為了兼顧大型渡槽結構隨機結構地震響應分析的精度和效率，采用纖維梁單元模擬渡槽結構各部件，進而建立其整體有限元分析模型。

2 渡槽結構輸水功能可靠性分析方法

2.1 渡槽隨機結構分析的概率密度演化方法

考慮結構自身特性和外部激勵的隨機性[18]，可將渡槽結構的運動方程廣義表達為

(5)

設X=(X1,X2,…,Xm)T為渡槽結構中感興趣的響應量，則依據概率守恒原理，渡槽結構隨機動力響應的概率密度滿足偏微分方程[17-18]

(6)

式(6)的初始條件為

pXΨ(x,ψ,t)|t=0=δ(x-x0)pΨ(ψ)

(7)

式中：x0為x的初始值，δ(·)為Dirac delta函數。

式(6)即為廣義概率密度演化方程，揭示了渡槽結構響應的概率信息隨時間的演化規律。通過求解式(5)～式(7)，可獲得渡槽結構響應量的概率密度函數

(8)

進而得到給定閾值下Xlim的渡槽結構時變可靠度

(9)

2.2 與蒙特卡洛模擬方法的比較研究

為了驗證概率密度演化方法在渡槽結構可靠性分析中的適用性，分別采用蒙特卡洛模擬和概率密度演化方法計算渡槽結構的隨機動力響應，并進行對比研究。采用GF偏差選點方法[25]，優化選取200個離散代表性樣本點集開展基于概率密度演化方法的隨機結構分析，并進行10 000次蒙特卡洛模擬，分別獲取結構響應的統計矩信息。

對于蒙特卡洛模擬，前k階響應統計矩可按式(10)、式(11)計算。

(10)

(11)

(12)

(13)

式中:NPDEM為基于概率密度方法選點的代表點個數，k=2,3,4,…。

分析中取NMCS=10 000；NPDEM=200，Pi為第i個代表點對應的賦得概率，可由Voronoi定義計算求得[25]。需要指出的是，在概率密度演化方法中，代表點通過數學理論上的論證與優化，使得僅采用少量“優質”的代表性點便能獲得足夠精確的隨機響應，并極大地提高了計算的效率。這與傳統的蒙特卡洛方法采用大量非優化的隨機樣本點思路不同。

依據止水相對位移的前4階統計矩，對比圖8、圖9(圖中MCS代表蒙特卡洛方法，PDEM代表概率密度演化方法，下同)可知，概率密度演化方法計算結果具有與蒙特卡洛方法相同的高精度特性。概率密度演化方法僅需要200次確定性分析，而傳統的蒙特卡洛模擬卻需要數千上萬次的分析成本(如文中采用的10 000次)。可見，概率密度演化方法在精度滿足要求的情況下，計算效率上具有顯著的優勢。

圖8 第1階、2階矩對比圖Fig.8 Comparison of the first and second order moments

為了深入分析渡槽結構動力響應的更多概率信息，圖10給出了基于概率密度演化方法的截口概率密度函數與基于蒙特卡洛方法的截口響應直方圖對比，圖11給出了不同時刻下的概率分布函數(圖中3條實線為基于概率密度演化方法的計算結果)和經驗分布函數(圖中三角、矩形和圓形標識為基于蒙特卡洛方法的計算結果)。

圖9 第3階、4階矩對比圖Fig.9 Comparison of the first and second order moments

圖10 截口概率密度函數與截口響應直方圖對比Fig.10 Comparison of intercept probability density function and intercept response histogram

圖11 概率分布函數和經驗分布函數圖對比Fig.11 Comparison of probability distribution function and empirical distribution function

圖10和圖11所示的概率密度函數與概率分布函數均為求解廣義概率密度演化方程所得，而基于蒙特卡洛方法的經驗分布函數則由式(14)計算所得。

(14)

式中：I{·}為示性函數。由于基于蒙特卡洛方法的計算結果受帶寬影響，因此，圖10中直方圖不能用于反映結構響應的密度演化信息；而基于概率密度演化方法，通過對概率密度演化方程的求解，可以獲得結構響應的截口概率密度函數(如圖11所示)，這也就自然解決了傳統的基于矩方法導致概率信息不封閉的問題。

2.3 渡槽結構輸水功能可靠性分析流程

采用GF偏差選點方法[25]選取若干渡槽隨機結構樣本，并計算相應的賦得概率。以此為基礎，采用某實際地震波對渡槽結構進行橫槽向地震動激勵，得到一組確定性地震響應分析結果。利用概率密度演化方法對渡槽結構隨機地震響應數據進行處理，可獲取渡槽結構止水處響應量的概率密度演化信息。通過與吸收邊界條件相結合，可開展渡槽結構的輸水功能可靠性分析。渡槽結構隨機動力響應分析與可靠性求解流程如圖12所示。

圖12 隨機結構分析與可靠性評估流程Fig.12 Flow chart of stochastic structural analysis and reliability assessment

3 渡槽結構輸水功能可靠性

在渡槽輸水過程中，相鄰槽身之間結構止水的橫向錯動是造成渡槽止水處漏水的主要因素?；诖?，重點分析在地震作用下渡槽結構“相鄰槽身之間止水橫向錯動(Dr)”的響應規律，建立Dr與渡槽結構輸水功能可靠性之間的關聯機制。

全部隨機結構樣本Dr的時程曲線如圖13所示。由圖13可知，結構響應隨著損傷演化和非線性程度的發展產生了一定的隨機漲落。這一漲落效應在渡槽結構處于初始彈性階段或弱非線性狀態(約前10 s)表現得并不明顯；然而，隨著地震動激勵引起的渡槽結構損傷累積，渡槽結構的非線性程度加劇，對隨機性的擾動變得愈加敏感，并隨著激勵的變化產生顯著的漲落效應(約10～40 s之間)。由圖13還可發現，有少部分樣本結構的位移響應超越了40～60 mm的臨界值。顯然，在渡槽結構的抗震設計中，忽略混凝土材料力學性質隨機性的影響有可能導致結構抗震分析與設計的不合理，對渡槽結構的輸水功能安全帶來風險。

圖13 Chi Chi地震作用下全部樣本Dr的時程曲線Fig.13 Time history curves of all samples Dr under earthquake action

分別采用兩種不同的有限差分算法，即Lax-Wendroff(L-W)差分格式和總變差減小(Total Variation Diminishing，TVD)差分格式[17, 26]，求解Dr響應的概率密度演化方程，獲得了渡槽結構時程響應的均值和均方差(StD)曲線，如圖14所示。盡管L-W差分格式具有二階精度，但在結構響應概率密度函數的不連續點處具有震蕩現象并使得某些情況下的計算失真[27]，因此，該方法僅在驗證TVD格式差分精度時使用。圖14中兩種算法結果吻合一致，說明在采用TVD格式差分算法求解概率密度演化方程中的差分時間步長取值合理。為了提高差分求解的精度，采用無振蕩TVD格式的高階精度差分算法求解概率密度演化方程。

圖14 Dr的均值和均方差曲線Fig.14 Mean and mean square deviation curves of Dr

圖15和圖16分別給出了渡槽槽身節段一與槽身節段二之間相對位移響應的概率密度隨時間演化的曲面圖和等值線圖。由圖15和圖16可見，渡槽結構的位移響應隨時間呈現出隨機漲落效應。這一渡槽結構地震響應的豐富概率信息，可用于表達Dr隨時間的波動規律，為開展渡槽結構輸水功能可靠性分析奠定了基礎。

圖17為3個典型時刻的概率密度曲線。顯然，該概率密度函數形狀不規則，且分布的寬度和形狀隨時間發展均發生不斷變化。這意味著渡槽結構在地震激勵下的動力響應是復雜多變的隨機損傷演化過程，混凝土材料力學性能的隨機性導致了渡槽結構在地震作用下響應的隨機漲落效應，并表現在Dr隨時間的變化上。因此，在渡槽結構輸水功能設計中需考慮混凝土材料隨機性的影響，這對開展渡槽結構止水的抗震性能研究大有裨益。

圖15 概率密度曲面Fig.15 Probability density surface

圖16 概率密度等值線Fig.16 Probability density contour

獲得渡槽結構止水動力響應的概率密度信息后，施加與失效閾值相應的吸收邊界條件，可求得渡槽結構輸水功能的可靠性指標。在0.2g地震激勵下，對渡槽槽身節段一與節段二之間相對位移閾值Dr分別取40、45、50、55、60 mm，可計算其在不同閾值下的可靠度，如表2所示。5個閾值下渡槽結構輸水功能的可靠度曲線如圖18所示，渡槽結構的輸水功能可靠度隨時間呈現階梯式下降的規律。在5個不同失效閾值下，渡槽結構輸水功能可靠度迥異，也從側面說明了失效閾值對輸水功能可靠性的影響較大。

在渡槽結構止水的抗震設計時，一般取失效閾值為50 mm作為設計指標。上述研究表明，當設定渡槽結構止水失效閾值為50 mm時，在幅值為0.2g的Chi Chi地震波橫槽向激勵下，渡槽結構的輸水功能可靠度為86.93%。

4 結論

基于混凝土隨機損傷力學模型和概率密度演化理論，提出了渡槽結構輸水功能可靠性分析方法。主要研究結論如下：

1)與經典隨機結構分析方法相比，基于概率密度演化理論的可靠度分析更加高效且精準，該方法能夠獲得渡槽結構在地震動激勵下的完備概率密度信息。

2)渡槽結構止水相對位移限值是影響渡槽結構輸水功能可靠性的重要因素，尋求提高止水相對位移失效閾值是提高輸水功能可靠性的有效途徑。

3)考慮混凝土材料參數的隨機性會使渡槽結構止水在同等地震激勵下的位移響應出現顯著變異特性。因此，在渡槽結構抗震設計中應合理考慮混凝土力學性質隨機性的影響。