基于變分漸近法的雙周期梯形波紋板等效模型

鄧兵，鐘軼峰，席森彪，禹遼

(重慶大學 土木工程學院；山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶 400045)

雙周期梯形波紋板是沿兩個平面方向均呈周期性梯形波紋變化的新型輕質結構，具有較強吸能質量比，較好抗彎曲性能。與蜂窩等結構相似，雙周期梯形波紋結構也可以作為夾層結構的芯層使用，由于縱橫波周期分布，雙周期梯形波紋板具有很大的慣性矩和抗彎剛度，有效提高了整個結構的強度和承載能力，并大大降低自重而不影響其他使用性能。該結構既滿足了強度和剛度的力學性能要求，又能保證材料對吸能和隔熱等功能要求[1-5]。

由于波紋板復雜的形貌特征，宏觀剛度特性難以通過彈塑性理論方法得到[6]。雖然有限元法可用于評估結構的剛度，但梯形波紋結構形狀復雜，數值模擬需要精細網格劃分，導致較高的計算成本。由于這類板殼結構的構造和材料分布在面內具有周期性，且周期的尺寸相比整個板的宏觀尺寸小很多，所以在宏觀尺寸上可以看作是均勻分布的，可使用等效模型以簡化復雜波紋板結構的建模[7-9]。

學者們為獲得復雜波紋板結構在各種工況載荷下力學行為的等效模型進行了大量的研究。Briassoulis[10]研究了矩形波紋板的等效抗彎剛度。Samanta等[11]在考慮拉伸和彎曲剛度的基礎上，對梯形波紋板進行了靜態和動態分析。Yokozeki等[12]通過實驗和分析研究了由碳環氧復合材料制成的波紋層壓板的性能。Peng等[13]通過無網格迦遼金法研究了正弦波形和梯形波紋板的等效彈性性質。Liew等[14]使用該方法進行波紋板的幾何非線性分析。張勇等[15]提出了一種將波紋板等效為正交異性板的方法，根據等剛度公式可以將板件的材料參數進行等效。吳存利等[16]將復合材料層合板理論拓展到復合材料波紋板，得到拉伸、耦合和彎曲剛度的解析表達式。高軒能等[17]對槽型波紋板局部屈曲進行了研究，得出整體結構的極限承載力取決于其在半跨荷載作用下槽型波紋截面板的局部屈曲承載力的結論。

現階段對波紋板的研究主要集中在單周期結構(僅一個方向有周期波紋變化)上，雙周期梯形波紋板的力學性能分析缺少必要的研究。筆者利用波紋形狀的周期遠小于整個板結構尺寸的特點，以凸起為中心的典型代表單元——單胞為研究對象，利用變分漸近法[18-20]建立單胞等效剛度的數值計算模型。再通過均勻化技術將雙周期梯形波紋板等效為具有相同剛度特性的正交異性板進行分析?；谠摲椒ǚ謩e計算研究不同結構參數下的等效剛度和變形響應，并與三維有限元模擬結果進行對比，以驗證等效剛度的精確性。

本文利用結構最小構建單元——單胞作為黑箱，通過漸近均勻化過程得到等效板模型的等效剛度，大大降低了三維有限元求解的繁瑣程度，便于工程應用，尤其在求解大規模雙周期梯形波紋板剛度中，具有計算簡便的優點。

1 雙周期梯形波紋板降維分析

對于構造上正交各向異性板的等效建模一般采用理論推導的方法，利用彈性力學理論得到該簡化板在各方向的剛度，進而得到等效材料參數[13-14]。本文從能量概念角度建立雙周期梯形波紋板的等效模型。由于雙周期梯形波紋板沿平面兩個坐標軸方向均具有異質性，其典型單胞為三維結構(圖1(b))。板的參考面可視為二維連續介質，該連續介質的每個材料點都有一個相關的單胞作為其微觀結構。

圖1 雙周期梯形波紋板降維分析及坐標系Fig.1 Dimensional reduction analysis and coordinate system of bi-periodic trapezoidal corrugated plate

將典型三維單胞分割為l1、l2、l3、l4、l55部分(其中l4=l2，l5=l1)，波紋板高度為h，板厚度為t，如圖1(b)所示。引入兩組坐標系：全局坐標系xi和局部坐標系yi。對于降維后的板結構，場變量是定義在參考面上的(x1,x2)的函數，x3消失(如圖1所示)。全局和局部坐標的關系可表示為yi=xi/η(η是小參數，下標i,j=1,2,3；α=1,2)。在降維模型中，原三維結構的場變量可用剩余宏觀坐標xα和局部坐標yj表示，其偏導數為

(1)

為使用變分漸近法進行雙周期梯形波紋板分析，首先需用二維應變量表示原結構的三維位移場

(2)

式中：ui、vi分別表示原三維板和二維板的位移；wi是待求波動函數，下劃線項為參考面(中面)產生的位移，需滿足條件

hv3(xα)=[u3],hvα(xα)=[uα]+[ηy3]v3,2

(3)

式中：[·]表示對單胞體積域積分。

式(3)意味著對波動函數存在約束

〈wi〉=0

(4)

三維線彈性理論的應變場可表示為

(5)

將式(5)代入式(2)，并根據變分漸近法忽略高階小項，得到三維應變場為

Γ11=ε11+ηy3κ11+w1,1

2Γ12=2ε12+2ηy3κ12+w1,2+w2,1

Γ22=ε22+ηy3κ22+w2,2

2Γ13=w1,3+w3,1

2Γ23=w2,3+w3,2

Γ33=w3,3

(6)

式中：二維面內拉伸應變εαβ與彎曲曲率καβ可分別表示為

εαβ(x1,x2)=(vα,β+vβ,α)/2,καβ(x1,x2)=-v3,αβ

(7)

三維應變場可表示為矩陣形式

Γt=Γ33=w3,3

(8)

控制梯形波紋板線彈性行為的應變能可表示為

(9)

式中：De、Des、Det、Ds、Dst、Dt是三維6×6階材料矩陣的對應分塊矩陣。

外載所做的虛功可表示為

(10)

(11)

(12)

δΠ=δU-δW*=

(13)

式中：僅wi是變化的。

2 梯形波紋板的變分漸近降維分析

為使用變分漸近法求解式(13)中的未知翹曲函數wi，首先需評估各項的階數。由于梯形波紋板的厚度與邊長之比很小(η=h/L?1)，可利用該小參數進行降維分析。式(13)中各項的階數評估為

(14)

式中：h與L分別表示板的厚度和邊長；n為最小應變量的階數；μ為材料屬性的階數。

2.1 零階近似

總勢能密度的顯式表達式為

(15)

式中：下劃線項為h/L階或更高階項，在零階近似時可忽略；雙下劃線項為常量，不影響求解未知波動函數，也可忽略。

引入拉格朗日乘子λi以考慮對波動函數的約束，

δ(Π+λi〈wi〉)=0

(16)

求解波動函數的零階近似變分表達式為

(17)

對式(17)部分積分，得到相應的Euler-Lagrange方程

(18)

根據自由表面條件，式(18)方括號內的表達式在板頂、底面應為零，可定義板頂、底面邊界條件為

(19)

式中：上標“+/-”表示作用在板頂、底面上的量。

將上述條件代入式(18)，可求解w||,w3

(20)

式中：

(21)

將求解的波動函數代入式(17)，得到

(22)

式中：A為3×3階拉伸剛度子矩陣;D為3×3階彎曲剛度子矩陣;B為3×3階拉彎耦合剛度子矩陣，其具體表達式為

(23)

零階近似三維應變場可重構為

(24)

應力場重構為

(25)

2.2 一階近似

由式(25)可知，零階近似只能得到平面應力，為得到分析破壞至關重要的面外應力，需進行下階近似。為此，可將零階翹曲函數攝動為

(26)

將式(26)代入式(13)，得到一階近似主導項為

(27)

式(27)的Euler-Lagrange方程為

(28)

(29)

式中：

其中：( )±=( )++( )-,( )?=( )--( )+。

至此，修正到一階的近似能量為

(30)

式中：

(31)

2.3 三維場重構

降維模型的可靠性取決于其對原三維結構位移、應力和應變場重構的準確性。為此，有必要提供重構關系以完善降維模型，即用二維變量和x3表征三維位移、應力和應變場。

由式(4)，可重構三維位移場為

Ui=ui+x3(C3i-δ3i)+Cjiwj

(32)

式中：Ui、ui分別為三維位移和二維位移。

由式(12)重構三維應變場為

(33)

三維應力場可重構為

(34)

由上述推導過程可知，通過提取出雙周期波紋板結構的單胞，分析其單胞結構上的受力特點并結合周期性邊界條件，即可得到等效剛度特性(見圖2)；再通過均勻化技術將雙周期梯形波紋板轉換為具有相同剛度特性的正交異性板進行分析；最后，將等效板模型分析得到的全局部位移、應變代入所求位置的三維單胞內進行重構，可得到局部應力、位移場分布。

圖2 雙周期波紋板等效剛度特性求解過程Fig.2 The solution process of equivalent stiffness of bi-periodic trapezoidal corrugated plate

3 模型驗證與討論

為討論和分析典型雙周期梯形波紋板的剛度特性，同時，對構建的模型進行驗證，選取結構參數為(見圖3)：高度h=10 mm，厚度t=0.5 mm，周期長度l=30 mm；結構總長度為20個周期600 mm×600 mm；單個周期l1=5 mm，l2=5 mm，l3=10 mm。材料屬性為各向同性：彈性模量E=206 GPa，泊松比v=0.3。

圖3 結構的單胞及網格劃分Fig.3 Unit cell and meshing of the unit cells

考慮周期結構在x1和x2方向上均具有20個周期，采用ABAQUS有限元軟件建立三維模型和等效模型，并賦予相應的結構參數。

3.1 模型驗證

由于波紋方向與平面坐標一致，A13、A23、D13、D23消失；對于正交各向異性板，x1和x2方向的扭轉剛度是不同的，D22取平均值；雙周期波紋形狀沿x1和x2方向相對坐標原點對稱，則拉彎耦合剛度B11=B13=B22=B33=0；因為兩個方向周期間距相同，A11=A22，D11=D22。基于構建的等效模型計算得到的等效剛度列于表1，并與普通平板的剛度進行比較。由表1可看出：雙周期梯形波紋板的拉伸剛度A較平板分別下降至37%、15%、37%、10%；彎曲剛度D分別增加了2.96、2.23、2.96、15.84倍。這主要是因為雙周期梯形波紋板的平面內應變過程需先將梯形拉直，再產生類似平板的拉伸，使得其面內拉伸剛度有所降低；而等效模型為符合Kirchhoff假設，其相對厚度較平板提高很多，等效彎曲剛度較平板有較大增加。在保持總質量不變的前提下，彎曲剛度有較大增加，可實現結構的輕型化。

表1 雙周期梯形波紋板與普通平板的剛度比較Table 1 Stiffness comparison between bi-periodic trapezoidal corrugated plates and flat Plates

分別建立結構的實體模型和以等效剛度為基礎的等效板模型，分別使用411 804個實體單元(C3D20R)和1 575個殼單元(S8R5)。圖4對比了兩種模型在不同載荷(跨中施加集中載荷50 N和均勻載荷500 Pa)與邊界條件(四邊固結CCCC和兩邊自由兩邊固結FFCC)下的位移分布。可看出等效模型與三維模型在相同載荷下的位移分布吻合較好，四邊固結(CCCC)施加集中力和均布載荷的最大誤差分別為1%和1.2%；兩邊自由兩邊固結(FFCC)

圖4 雙周期梯形波紋板在不同載荷和邊界條件下的位移比較Fig.4 Displacement comparison bi-periodic trapezoidal corrugated plate under different loads and boundary condtions

施加集中力和均布載荷的最大誤差分別為3.17%和1.6%。驗算比較最大誤差在5%以內，等效模型具有較好的吻合性。因此，基于變分漸近法得到的等效剛度是準確的，可用于評估宏觀剛度特性。

基于得到的等效剛度，同時對梯形波紋板和等效平板建模，通過線性屈曲分析求解結構的臨界特征值列于表2。

表2 三維實體結構和等效板全局屈曲模態和臨界荷載(N)比較(前5階)Table 2 Comparison of first five buckling loads (N)and mode shapes between three-dimensional solid structures and equivalent plates

續表2

由表2可以看出，等效板模型的全局屈曲模態和三維梯形波紋板的有限元結果相吻合，屈曲臨界荷載誤差整體較??；隨著模態階數的增加，誤差整體出現增大的趨勢，原因在于，等效模型的屈曲模態受屈曲波長的影響，但最大誤差(第5階3.51%)仍低于5%。因此，等效模型具有較高的精確性和有效性。

3.2 局部場重構

基于2.3節推導公式，將四邊固結CCCC和集中載荷50 N下等效板模型分析得到板中點處(圖1(c)所示)的全局位移、應變代入對應三維單胞內進行重構，得到局部應力、位移分布(圖5、圖6)。值得注意的是，目前大多數簡化模型無法預測出準確的局部場分布。

圖5 板中點處單胞內局部應力分量分布Fig.5 Distribution of local stress components within the unit cell at the center of the plate

圖6 板中點處單胞內局部位移分量分布Fig.6 Distribution of local displacements within the unit cell at the center of the plate

由圖5應力分布云圖得知，在發生應變時，梯形板的應力分布不均勻，凸起沒有完全承受荷載，在x=5 mm和x=25 mm處(平板和凸起的相交處)出現最值，應力在平板和凸起的相交處變化比較明顯。σ11和σ22在凸起位置有明顯應力增大現象且均為負值。σ33沿平板基本保持不變，但在交點處出現應力突變。這就合理解釋了在交點處應力先破壞的現象。

根據圖6位移云圖，在梯形凸起的頂點處出現極值，單胞突起的對稱點呈現相反的位移變化。經過凸起位置，位移會發生突變，隨后會保持平板的位移變化特征趨勢。重構的U3最大位移與整體模型相一致，最大誤差僅為1%。

3.3 幾何參數影響分析

雙周期梯形波紋板結構參數主要包括l1、l3、h和t。當材料屬性不變時，利用圖3(b)所示的三維單胞模型討論雙周期梯形波紋板結構參數對等效剛度特性的影響規律，保持單胞凸起部分長度不變，改變參數l1、l3、h和t，研究等效剛度的變化規律。

圖7為其他參數不變，l1在6～18 mm范圍內變化時結構等效剛度變化情況。由圖7可知，隨著梯形板的結構參數l1即凸起間距的增大，拉伸剛度逐漸增大，彎曲剛度逐漸降低，且都呈現出非線性變化。主要原因在于，隨著凸起間距的增大，板中凸起結構越來越稀疏，結合應力云圖可知單胞凸起的組合特性愈發不明顯，結構更趨近于普通平板。

圖7 凸起間隔長度對結構剛度特性的影響Fig.7 The influence of interval length on the structural stiffness

圖8為其他參數不變，高度h在6～18 mm范圍內變化時結構等效剛度變化情況。由圖8可知，隨著h增大，拉伸剛度逐漸減小，彎曲剛度逐漸增大，且彎曲剛度較拉伸剛度變化更加明顯。主要原因在于隨著梯形凸起高度的增加，結構的薄板特性越不明顯，構造異性特征更加突出。

圖8 板高度h對結構剛度特性的影響Fig.8 The influence of height h on the structural stiffness

圖9為其他參數不變，厚度t在1.0～3.0 mm范圍內變化時結構的等效剛度變化情況。由圖9可知，結構隨著幾何參數板厚t的增加，拉伸剛度和彎曲剛度都逐漸增大。拉伸剛度A隨著板厚度t呈現出線性變化，且A22增長較快；彎曲剛度D呈現出非線性增長，增長速率逐漸加快。分析其原因是隨著板的厚度增加，梯形板的構造正交異性特性逐漸模糊，呈現實體的特性。

圖9 板厚t對結構剛度特性的影響Fig.9 The influence of thickness t on the structural stiffness

腰部長度受到l2和l3的影響，為方便分析，只需要改變結構參數l3即可。圖10為l1=12 mm、

圖10 結構參數l3對剛度特性的影響Fig.10 The influence of l3 on the structural stiffness

h=12 mm、t=2mm、l3在4～12 mm范圍內變化時梯形波紋板的等效剛度變化規律。由圖10可知，隨著梯形板的結構參數l3增大即頂部變寬時，拉伸剛度逐漸減小，彎曲剛度逐漸增大，分析原因是，在頂部變寬的過程中，凸起部分承受水平荷載能力逐漸減小。l3對結構等效剛度的影響比l1對等效剛度影響小。

4 結論

1)基于變分漸近法建立了雙周期梯形波紋板的等效模型，得到各剛度系數解析式和局部場重構關系，適用于波紋的周期遠小于結構尺寸的情況。由于等效板模型的近似能量與原三維波紋板能量盡可能接近(通過對能量泛函變分主導項的漸近擴展分析加以保證)，可用于不同材料波紋板的計算等效彎矩和等效最大拉、壓應力等。

2)將構建的剛度計算方法以及建模方法應用于雙周期梯型波紋鋼板全局性能分析中，計算得到的全局位移和屈曲模態與Abaqus有限元結果相吻合，但計算效率大為提高。同時，將等效板模型分析得到的全局部位移、應變代入所求位置的三維單胞內進行重構，得到局部應力、位移分布。

3)利用三維單胞模型得到了雙周期梯形波紋板結構參數(板高度h、板厚度t和凸起間隔長度l1和腰部長度)對等效剛度的影響規律。隨著凸起間距的增大和板高度的減小，板凸起的組合特性愈發不明顯，更趨近于普通平板，導致拉伸剛度逐漸增大，彎曲剛度逐漸降低；而隨著板厚度和腰部長度的增加，梯形波紋板的構造正交異性特性逐漸降低，彎曲剛度呈上升的趨勢。未來可結合隔熱、減振等性能，對雙周期梯形波紋板的實際應用提供理論依據，使其在土木建筑、航空航天等領域得到更廣泛的應用。